利用(yòng)收益率時(shí)序信息改進 SDF 估計(jì)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：實證結果顯示，因子(zǐ)收益率的(de)時(shí)序信息可(kě‌¶©)以改進 SDF 估計(jì)。

The cross-section and time series of ↑↓∞stock returns contains a≤≠© wealth of information about≠'€ the stochastic discount fa&®​ctor (SDF).

2020 年(nián) 5 月(yuè)，Review of Financial Studies 推出了(le)題為(wèi) New Methods in the☆δ∞£ Cross-Section 的(de)專刊‌​♠。兩位專刊編輯也(yě)特地(dì)寫了(le)一(yī)篇同名[≤×♥✘1]文(wén)章(zhāng)（Karolyi and Nieuwerbu☆♥rgh 2020）介紹這(zhè)期專刊。而上(sh‌₽¥àng)面這(zhè)句話(huà)就(jiù)出自(zì)該文(wén)α✘₹摘要(yào)的(de)第一(yī)句。它傳遞出了(le)相(xiàng)當多(duō)的(de)信息♥☆量。

首先，人(rén)們之所以關心 SDF，是(shì)因為(§£↔™wèi)它和(hé) mean-variance e₹≥✘fficient frontier 是(shì £)等價的(de)[2]；後者決定了(le)最大(dà×¥ )夏普率，而最大(dà)化(huà)樣本外(wài)（條件(ji ÷↔àn)）夏普率一(yī)直都(dōu)是(shì)人(rén)們的(✘↔™de)目标。所以對(duì) SDF 的(de)估計(jì)無疑對(d≤¥±uì)這(zhè)方面有(yǒu)很(h∑$ěn)大(dà)的(de)啓發。在上(shànε>g)面這(zhè)句英文(wén)中，和(hé)本文(wén)最相(xi‌↔àng)關的(de)關鍵詞是(shì) time series，即股票(piào)收益率的(de)時(shí)序信息。

最近(jìn)兩年(nián)，在利用(yò→γ&ng)股票(piào)平均收益截面（cros↕↕♠βs-section）信息估計(jì) SDF（或者 SD ε¥↑F 的(de)等價物(wù) —— 多(duō)因子(zǐ)模型[£‍Ω§3]）方面出現(xiàn)了(le)很(hěnΩ‌₩×)多(duō)佳作(zuò)，其中頗具代表性的(de)γ✔見(jiàn)刊的(de)文(wén)章(zhāng)包括 2019¶★λ¥ 和(hé) 2020 年(nián)分(fēn)别£✔獲得(de) Journal of Financial Economi★λ<↔cs Fama-DFA best paper award 的(de)雄文(wén)K↓↕‌×elly, Pruitt, and Su (2019) ¶σ‍ 和(hé) Kozak, Nagel, and Sa♦∞§​ntosh (2020)[4]。不(bù)過，利用(yòng)收φ¥≠益率時(shí)序信息來(lái)改進 ♥λγ SDF 估計(jì)方面的(de)研究則寥若晨星。

你(nǐ)問(wèn)為(wèi)什(shén)麽，因為(wε↕"èi)時(shí)序收益率難預測啊！我們來(lái)理(lǐ)一(yī)理(lǐ)。↕β根據 Hansen and Jagannathan (19 ≠91)，SDF 和(hé)個(gè)股 ≥÷excess return 滿足如(rú)下(xià)關ε≤系：

其中  是(shì) SDF，且由于  表示超額收益，因此滿足  。如(rú)果從(cóng)上(shàng)式出發，δ$↔則意味著(zhe)想要(yào)更好(hǎo)的(de)估計(jì) ‌★ SDF，就(jiù)需要(yào)對(duì)個(gè)σ§¥股收益率進行(xíng)時(shí)序預測。★♥λ但(dàn)這(zhè)無疑是(shì)很(&π×$hěn)困難的(de)。因此，有(yǒu)必要(y¶♦♥≥ào)把上(shàng)式進行(xíng)簡化(huà)。大(dà)量實證研究表明(míng)，股票(piào)的←‍₹(de)收益率和(hé)各種公司特征（fi≤♥ ™rm characteristics）相(xiàng)關，因此可(↑‌✔↔kě)以利用(yòng)有(yǒu)限個(gè)公司特征把上(shàng)式中​>≈的(de)  ——  期 SDF 對(duì)股票(piào)的(de) loading 向量 —¥₽∞>— 轉化(huà)為(wèi)如(rú)下(xià)☆λ₽α的(de)形式：

其中  是(shì)  階矩陣，代表  個(gè)股票(piào)在  個(gè)公司特征上(shàng)的(de)取值π✘，而 SDF 的(de)表達式轉化(huà)↔♦®為(wèi)：

由上(shàng)述對(duì)  的(de)假設可(kě)知(zhī)，  和(hé)  滿足  。看(kàn)到(dào)這(zhè)裡(lǐ)就(jiù)一(yī)目了&$(le)然了(le)，  （  階向量）代表了(le)  個(gè) managed portfolios 的(de)收益率 —— 每✘ γ®個(gè)組合都(dōu)是(shì)以  的(de)某一(yī)行(xíng)（即原始  的(de)某一(yī)列，即某個(gè)公δ↓"δ司特征）為(wèi)權重的(de)多(duō)空(kασ€ōng)組合。而在上(shàng)式中，  是(shì) SDF 對(duì)這(zhè)些(xi∞​÷ē)組合的(de) loading 向量。通(tōng)過這(zhè)個(gè)變化(huà)，我們把 SDF 和(hé↓β≤)  個(gè)基于公司特征構造的(de)投資組$ ☆α合 —— 因子(zǐ)！—— 聯系起來(lái)了(le)。由資産定價原理(lǐ♣↔‍)可(kě)知(zhī)，  期 SDF 的(de)最優權重為(wèi)：

其中，  為(wèi)因子(zǐ)的(de)協方差矩陣。那(nà)麽，我‌≈¶們是(shì)否距離(lí)利用(yòn≥₹→βg)時(shí)序信息更接近(jìn)了(δ♠le)呢(ne)？在上(shàng)述最優解中，為(wè"≤i)了(le)更好(hǎo)的(de)估計(j'↕&ì) SDF，需要(yào)估計(jì)時(shí)變的 >÷✔(de)因子(zǐ)預期收益率。這(zhè)件(jiàn)事(shì)兒(ér×★✔ )又(yòu)有(yǒu)另一(yī)個(gè)令人(r≥®én)興奮的(de)名字：因子(zǐ)擇時(shí)。但(dàn)是(shì)因子(zǐ)擇時(shí)何€$↕÷其容易？尤其當因子(zǐ)的(de)個(gè)數(shù)  很(hěn)大(dà)的(de)時(shí)候。是‌<(shì)否還(hái)有(yǒu)辦法從(cóng)縮減因子(zǐ)個(gè)數(shù)的(de)角度把問(wèn)題進一(yī)步簡化(huà)呢(ne)？©‍好(hǎo)消息是(shì)，答(dá)案是(shì)肯定的(de)。我"≈↑>們請(qǐng)出第二個(gè)武器(qì)：Kozak, Na✔βgel, and Santosh (20≥₩18)[5]。Kozak, Nagel, and Santosh (2018) ₹<的(de)研究表明(míng)，在不(bù≥∏♠)存在無風(fēng)險套利機(jī)會(huì)的(de)₹±‍¥假設下(xià)，那(nà)些(xiē)能(néng)夠解☆ 釋資産共同運動（即協方差矩陣）的(de)因子(zǐ)γ₹同樣能(néng)夠解釋資産的(de)預期超額收益。在這(zhè)α'σγ個(gè)結論下(xià)，隻需要(yào)把上(shàng↕★)述因子(zǐ)理(lǐ)解成資産，然後對(duì)它們的(de)協方€₹​<差矩陣做(zuò) PCA。由于前幾個(gè)主成分(fēn)極大(‌™dà)的(de)解釋了(le)這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)的(de)共↔ ♠≤同運動，因此它們也(yě)将解釋因子(zǐ)的(d₩‍'™e)預期收益。在這(zhè)個(gè)假設下(xià)，對(duì) SDFα®₹≈ 的(de)估計(jì)可(kě)以進一(yī)步簡化(huà)為(₩≠'÷wèi)：

其中  表示由若幹主成分(fēn)構成的(deΩ★)投資組合的(de)收益率向量，而 SDF 最優權重為(wèπ←i)：

将其帶回 SDF 的(de)表達式，就(jiù)可(kě)以得(de)到≈™(dào)利用(yòng)了(le)時(shí)序信↓↓₽息的(de) SDF 估計(jì)：

我們來(lái)回顧一(yī)下(xià)上(shàng)述兩步走≈↕，來(lái)看(kàn)看(kàn)是(sh ∑×ì)怎麽得(de)到(dào)的(de)最終的(de) SDF 的(λ ∑de)估計(jì)。第一(yī)步把股票(piào)收益率轉化( &≈huà)為(wèi)因子(zǐ)的(de)收益率（每個(gè)因子(€$zǐ)組合是(shì)按照(zhào) firm chaΩ✘£₽racteristic 構造的(de) managedφ↔↓♥ portfolio），并指出通(tōng)過對(₩α​duì)因子(zǐ)收益率擇時(shí)在理(lǐ)¥✔☆論上(shàng)可(kě)以更好(hǎ☆≈o)的(de)估計(jì) SDF；而第二步中将上(shàng)述因子↓¶(zǐ)視(shì)作(zuò)資産，進一(yī)步通(tōng)€γ'λ過 PCA 将需要(yào)估計(jì)的(de)時φ¶'♦(shí)變收益率個(gè)數(shù)從(cóng)  個(gè)因子(zǐ)轉化(huà)成比  小(xiǎo)的(de)多(duō)的(de)有(yǒu)限£♦π個(gè)主成分(fēn)的(de)個(gè)數(s₩∑hù)，使得(de)擇時(shí)成為(wèi)可(kě)能(néng)。上(shàng)述推論意味著(zhe)，一(yī)旦能(néng)夠比較準确地(dì)預測  ，就(jiù)可(kě)以利用(yòng)時(shí)序信息更好(hǎo♥Ω→©)的(de)估計(jì) SDF。

那(nà)麽實證結果是(shì)否支持這(zhè)個(gè)猜想呢✔↑(ne)？Haddad, Kozak, and Santos←₩≤h (2020) 這(zhè)篇發表在本文(wén)開(k​✘āi)篇提到(dào)的(de) RFS 專刊上(≈$§πshàng)的(de)論文(wén)給出了(le)肯定的(☆​de)答(dá)案。在實證中，該文(wén)利用‌∏♠(yòng)美(měi)股中常見(jiàn)的(de) 50♥≥♦★ 個(gè)因子(zǐ)為(wèi)出發點。通(tōng)過 PCA 發現(x↕♣iàn)，前 10 個(gè)主成分(fēn)就(jiù)可(kě)以解 ☆β釋将近(jìn) 75% 的(de)波動。

在接下(xià)來(lái)的(de)實證中，他∞ ☆$(tā)們最終選擇了(le)前 5 個(gè)主成分(fēn)。π→δδ再加之市(shì)場(chǎng)組合，一(yī)共六個(gè)“資‌ φ産”。它們的(de)收益率就(jiù)對(duì)應了(le)最終γ≤λ​ SDF 表達式中的(de)  。為(wèi)了(le)預測它們，該文(wén)使π£$ 用(yòng)了(le)一(yī)個(gè)最為( ¥♦wèi)基本的(de) predictor —— BM spre₹& ™ad。由于每個(gè)主成分(fēn)組合僅僅是(₹§ £shì)原始 50 個(gè)因子(zǐ←β≥)的(de)線性組合，因此隻需要(yào₩×÷∏)先計(jì)算(suàn)原始因子(zǐ)的(de) BM spread≈‍ 再按特征向量為(wèi)權重計(jì)算(suàn)每€¥∞個(gè)主成分(fēn)的(de) BM spread↕≠÷。實證數(shù)據表明(míng)，BM spread 在樣本外← "✘(wài)預測  的(de)效果很(hěn)不(bù)錯(cεαβuò)。

另一(yī)方面，下(xià)圖給出了(le)利用(yòng) BM  ♠≥spread 預測不(bù)同主成分(fēn)≠✘在樣本內(nèi)外(wài)的(de)效果（因為(wèi)一(y✔¶"πī)共有(yǒu) 50 個(gè)原始因子(zǐ)，因此一(y£♥®​ī)共有(yǒu) 50 個(gè)主成分(fēn)）。不(bù)難看(k₹¶₩àn)出，實證結果顯示樣本外(wài)的(de)預測效果僅僅對(duì)前幾個(↓β∏↕gè)主成分(fēn)有(yǒu)效。但(dàn)這(zhè)并不(bù)影(yǐng)響，因為(w€×™≥èi)圖中灰色虛線（右軸）顯示了(le)每個(gè)主成分(fēn)解釋的(de)方♦ε₹✘差的(de)比例，可(kě)見(jiàn)前幾個(gè)主成分(fēn)≠≈極大(dà)解釋了(le)原始因子(zǐ)資産的(de)←​✘<共同運動。這(zhè)個(gè)實證結果完美(měi)的(de)符合 Kozak∏₩, Nagel, and Santosh (2018) 的(de)結♥​論，即隻有(yǒu)前幾個(gè)主成分(fē≠σn)（最能(néng)解釋波動的(de)那(nà)些 ±π(xiē)）才有(yǒu)用(yòng)。

我很(hěn)欣賞的(de)是(shì)，→λ≈Haddad, Kozak, and Santosh (2020) ‌¶$Ω并沒有(yǒu)試圖用(yòng)更多(d↔♠≠↔uō)的(de)變量或更複雜(zá)的(de)模型，而是(shì)僅僅用(yò★​≥<ng)了(le) BM[6]，來(lái)預測  。由資産定價理(lǐ)論可(kě)知(zhī¥•¶♦)，SDF 的(de)最優參數(shù)  同時(shí)是(shì) mean-varia♦λ↔ nce efficient portfoφ↔±lio 的(de)權重，因此可(kě)以通₩©¥(tōng)過夏普率來(lái)判斷時(shí)序信息是(shì)否對(φφ ≠duì)估計(jì) SDF 提供了(le)增量貢獻。為(wèi)此，Haddad, Koza€®∏k, and Santosh (2020) 考慮了(le)以下(xi∞™¶à)五種不(bù)同的(de)處理(lǐ)方‌ε✔式：

Factor investing：不(bù)擇時(shí)，用(yòng) unconditiona® φl 估計(jì)；

Market timing：僅對(duì)市(shì)場(chǎng)因₽≤子(zǐ)擇時(shí)，對(duì)五個(gè)主¶♠成分(fēn)不(bù)擇時(shí)；

Factor timing：同時(shí)對(duì)市(shì)場(chǎng)和(hé)五個(gè)主¥™成分(fēn)因子(zǐ)擇時(shí)；

Anomaly timing：對(duì)市(shì)場(chǎng)不(bù)擇時(‌☆shí)，對(duì)五個(gè)主成分(fēn)擇時(sλ∏♠←hí)；

Pure anom. timing：市(shì)場(chǎng)權重設為(wèi) 0，主成分(fēn)因子(↑•™zǐ)權重由 conditional 預期相(xiàng)對(duì) un≠€conditional 預期的(de)偏離(lí)決定。

這(zhè)五個(gè)處理(lǐ)方式的(de)♦ δ₹樣本內(nèi)外(wài)夏普率如(rú)下(xià)表所示。以樣本外☆® (wài)夏普率為(wèi)例，最好(hǎo)的(de)結§≥≤✘果是(shì) anomaly timing 和(σ∏hé) factor timing 兩種，這(zhè)說(shuō♥"×​)明(míng)利用(yòng)對(duì)因子(zǐ)擇時(shí)₽™是(shì)有(yǒu)益的(de)（能(néng)夠增大(dà)夏普率）。不∑Ω≈(bù)過有(yǒu)意思的(de)是(shì)，anomaly timin©₽g 戰勝了(le) factor timing 則說(shuō)明(m↕≠íng)，雖然對(duì)因子(zǐ)擇時(shí)是(shì)有(yǒu)益↕≈↓的(de)，但(dàn)是(shì)對(duì)（美(měi)股）市(shì)¶≈‌∞場(chǎng)擇時(shí)（似乎）是(§$shì)徒勞的(de)。

除了(le)從(cóng)夏普率角度來(≤♦‍lái)評估，我們自(zì)然也(yě)關心對(duì) SDF 的(de)‍>估計(jì)。由 Hansen and Jagannathan¶★" (1991) bond[7]可(kě)知(zhī​<)，任何資産的(de)夏普率的(de)上(shàng)限由  決定。在我們的(de)設定下(xià)，由于  ，所以任何資産夏普率的(de)上(shàng)限為(wèi)  。因此，通(tōng)過考察 SDF 的(¥₹λde)條件(jiàn)方差的(de)大(‌±dà)小(xiǎo)，就(jiù)可(kě)以判斷利用(yòng)時(shíλ‌)序信息是(shì)否改進了(le) SDF 估計(jì)。

作(zuò)為(wèi)比較，Campbell and Cochran≠↔e (1999) 對(duì) SDF 方差的(de)估 ←&計(jì)為(wèi) 0 到(dào) 1.2 之間(j​×&iān)。而 Haddad, Kozak, and Sant&÷∞¥osh (2020) 的(de)估計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高¶→(gāo)于這(zhè)個(gè)區(qū)間(jiān)σ♦←↕，也(yě)高(gāo)于不(bù)進行(xíng)因子(←‍≤zǐ)擇時(shí)的(de)結果（下(xià)圖）。結果顯示，若不(b¥ ¶∞ù)進行(xíng)因子(zǐ)擇時(shí)，  的(de)估計(jì)為(wèi) 1.67，而若隻進行(π≥∏​xíng)市(shì)場(chǎng)擇時(shí)，這(zhè)個(★↔ gè)數(shù)值僅僅上(shàng)升至 1.71。而一(yī)旦加入因γ&✔•子(zǐ)擇時(shí)，   則高(gāo)達 2.96。

進一(yī)步的(de)，下(xià)圖顯示了(€♦le)  如(rú)何随時(shí)間(jiān)波動。當考慮因子(zǐ≠↕)擇時(shí)後，  的(de)波動範圍較僅考慮市(shì)場(chǎng)擇時(sh₩λí)要(yào)大(dà)得(de)多(duō)。這‍σ♣(zhè)說(shuō)明(míng)如(rú)果不 ♥λ(bù)考慮因子(zǐ)擇時(shí)，将會(huì)丢失掉很(hěn)↔₹多(duō) SDF 的(de)信息。

最後，該文(wén)還(hái)研究了(le) SDF 方差和(hé)宏¶↕₩€觀經濟之間(jiān)的(de)關系（下(xià)圖）。不(★←bù)過，幾位作(zuò)者也(yě)強調，這(zhè)部分(fēn)研究λ'←是(shì)偏實證性質的(de)。人(rén)們不(bù)應急于從(cóng)回歸系數(s¶∏ βhù)的(de)正負中盲目得(de)出因果  推斷，而是(shì)應該以這(zhè)些(xi >♦ē)客觀存在的(de)實證數(shù)據為(wèi)起點，更好(hǎoφ®≈≥)的(de)研究 SDF 和(hé)股票λ€₹(piào)預期收益的(de)截面差異。

以上(shàng)就(jiù)是(shì)ε¶₹≥ Haddad, Kozak, and Santosh≈λ (2020) 一(yī)文(wén)的(de)核心結果。其實Ω♠，這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)的(de)标題¥≤正是(shì) Factor Timing —— 因子(zǐ)擇∞✘→'時(shí)。然而，我沒有(yǒu)選擇因子(zδ★σǐ)擇時(shí)作(zuò)為(wèi)這(zhè)篇小(xiǎo✘¥φ§)文(wén)的(de)标題。其原因是(shì)，這φ↓&(zhè)四個(gè)字實在是(shì)太火(huǒ)，我怕一(yī)些≠&¶β(xiē)小(xiǎo)夥伴會(huì)被這(zh'σ®è)個(gè)标題吸引進來(lái)，但(dàn)↔↔ ​在看(kàn)完後卻留下(xià)一(yī)句“這(zhè)不(bù✘λ×≠)是(shì)我想要(yào)的(de)”。正如(rú)當初我看(kà↔λ<πn)完這(zhè)個(gè)這(zhè)篇論≈Ω→✘文(wén)的(de)标題就(jiù)激動的(de)讀(dú)下(xià→★≈)去(qù)，但(dàn)卻發現(xiàn)它的φ&(de)內(nèi)容 —— 雖然夠硬核 —— 但(dàn)是•↔•(shì)并不(bù)是(shì)你(nǐ)我心中想象的(de)那(nà)種因γ★子(zǐ)擇時(shí)（RFS 畢竟不(bù)是(shì) JPM…£ …），你(nǐ)懂(dǒng)的(de)。

Anyway，Campbell Harv♠ δey 曾說(shuō)過，因子(zǐ)擇時(shí)這(zhè)件(jiàn)←₽事(shì)兒(ér)雖然非常難，但(dàφε↓λn)卻是(shì)值得(de)研究。因此，雖然是(shì∏→≠)從(cóng)估計(jì) SDF 入手，但≠®Ω(dàn)考慮到(dào) SDF 和(hé) mean-varianc&←e efficient frontier ≤∏β以及多(duō)因子(zǐ)模型的(de)等價性，該文(wén∑♦±)的(de)實證結果以及通(tōng)過 PCA 的(de)處理(lǐ)方♦®®✘式依然能(néng)給我們啓發。

最後，再忍不(bù)住吐槽一(yī)句：也(y♠÷©ě)許不(bù)久的(de)将來(lái)，我們就(jiù)能(δ≈∑&néng)看(kàn)到(dào)有(yǒu)人(rén)把 A 股的(★★"de)數(shù)據套在相(xiàng)↔​似的(de)方法中，然後搖身(shēn)一(yī)"£變成為(wèi)另一(yī)篇（次）頂刊論文(wén)也(yě)不(bù)§δ∞ 一(yī)定，就(jiù)像最近(jìn)剛被 JFE ≤↔ 接收的(de)某篇（還(hái)是(shì)賣個(gè)關子(™♦zǐ)吧(ba)）。

備注：

[1] 不(bù)完全一(yī)樣，論文(wén)的(de)名字是(sh<₽ì) New methods for the cross-secti≥♥Ωon of returns，專刊标題是(shì) New methods in±↑'® the cross-section。

[2] 見(jiàn)《尋找 Mean-Variance Frontier》。

[3] 見(jiàn)《FF3 們背後的(de)資産定價理(lǐ)論》。

[4] 忍不(bù)住吐個(gè)槽，這(zhè)↑↑兩篇真是(shì) JFE 這(zhè)兩年(nián)在資産定價方面的(‍♦de)扛把子(zǐ)，其它的(de)大(dà)部分(fēn)……

[5] 見(jiàn)《Which Beta (III) ?》。

[6] 當然，我們僅僅看(kàn)到(dào)了(le)<♣§'發表出來(lái)的(de)版本。

[7] 見(jiàn)《尋找 Mean-Variance Frontier》。

參考文(wén)獻

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