Toward a better factor model

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：當傳統檢驗無法有(yǒu)效比較多(duō)因子(z♦≈≠'ǐ)模型時(shí)，一(yī)些(xiē)新方法的(de)誕生(shēn•♥g)彌補了(le)它的(de)不(bù)足，讓人(rén)們朝著(zh→£♣e)找到(dào)真正意義上(shàng)更優的(de)多(d  uō)因子(zǐ)模型又(yòu)邁進了(le)←₽∞©一(yī)步。

1 實證中的(de)困惑

你(nǐ)是(shì)否在比較不(bù)同的(de)多(duō)因子(zǐ)πα模型時(shí)因為(wèi)下(xià®↑≈)面這(zhè)些(xiē)自(zì)相(xià‍¥ γng)矛盾的(de)結果而倍感困惑？

1. 往多(duō)因子(zǐ)模型中加入一(yī)個(gè)額外(wài&φ​)的(de)因子(zǐ)，但(dàn)是(shì) test assets 的↔§∏(de) pricing errors 卻增加了(le)。€×₩ 

2. 一(yī)個(gè)多(duō)因子(zǐ)模型能(néng)夠解釋其他​¶¶"(tā) test assets 的(de)超額收益，但(d​€àn)是(shì)卻對(duì)構造因子(≠♣★βzǐ)的(de) sorted portfolios 的(de)超額收益無↓↕  能(néng)為(wèi)力。

3. 對(duì)因子(zǐ) mimicking portfolio 的(d§∞₽e)改造或新因子(zǐ)的(de)加入确實提升了(le)多(duō)因子(z‌"σǐ)模型的(de)定價能(néng)力，但(dàn)這(z₽♠hè)些(xiē)因子(zǐ)卻有(yǒu)更高(gāo)的(φ✔σde)換手率和(hé)更昂貴的(de)交易成本。

……

你(nǐ)并不(bù)孤單，這(zhè)些(xiē)是(shì)人(rén)••↕們在實證資産定價或多(duō)因子(zǐ)模型研究中會(huì)碰上(×πβ&shàng)的(de)問(wèn)題。在諸多(duō)情景中，上(s$∞hàng)述問(wèn)題 1 大(dà™ Ω)概是(shì)最普遍的(de)，比如(™<rú)在美(měi)股中，當給使用(yòng)市(shì)值和(hε‍≥é) accruals 雙重獨立排序構造的(de) test asset₽↔λ"s 定價時(shí)，Fama and Fr£β•∞ench (1993) 三因子(zǐ)模型竟然優于 Fama and F©×rench (2015) 五因子(zǐ)模型，盡管後者比前者↑<多(duō)了(le)兩個(gè)解釋變量。

我們就(jiù)從(cóng)問(wèn)題 1 說∏β✘✘(shuō)起。當檢驗多(duō)因子(zǐ)模型時(shí ♦∑)，最常見(jiàn)的(de)做(zuò)法是(shì)用(yòng)一(★←'×yī)組 test assets 分(fēn)别對"™₩(duì)多(duō)因子(zǐ)模型回 δ歸，得(de)到(dào)每個(gè) §$§test asset 的(de) pricing÷' error（即  ）。有(yǒu)了(le)這(zhè)些(xiē)  ，可(kě)以考慮它們絕對(duì)值的(de)均值，也(yě)可(kěπσ)以用(yòng) Gibbons, Ross and Shanken ( ♦☆1989) test（GRS test）檢驗所有(Ω×yǒu) pricing errors 是(shì)否聯合為(wèi←​ )零。如(rú)果在模型 A 下(xià)，test₽↕§ assets 的(de) pricing err¥✔φors 比在模型 B 下(xià)更小(xiǎo)，≥σε™人(rén)們通(tōng)常就(jiù)會(huì)認為(← wèi)模型 A 優于模型 B。

從(cóng)上(shàng)述描述可(kě)以看(kàn)出，這(zhè$​≠φ)種方法很(hěn)大(dà)程度依賴于選擇了(le)哪些(xiē)∑ε↑♠ test assets 來(lái)檢驗模型。‍≥ &由于它們在回歸模型中是(shì)被解釋變量，因此 Eugen≤↓e Fama 把這(zhè)種檢驗方法稱為(wèi) Left-Hand-Side (LHS) approach（Fama and French (2018)）£'$ 。

LHS approach 至少(shǎo♣÷)存在兩個(gè)問(wèn)題。第一(yī)，模型比較的(de)±↔結果是(shì) test assets specific↓$'↕。當人(rén)們使用(yòng)不(bù)同 test assets©≈ 時(shí)，檢驗結果可(kě)能(néng)出現(xiàn''♣)逆轉；而且也(yě)無法保證不(bù)同多(duō)因子(zǐ)模≈↔型的(de)發明(míng)者不(bù)÷↔£₹去(qù)選擇最适合自(zì)己模型的(de) test ★‌​assets（data snooping）。而第二個(gè)問ε¥'(wèn)題，正如(rú)上(shàng)面的(de)例子¥‍♥×(zǐ)所示，就(jiù)是(shì)當模型中加入更多(d∑γuō)因子(zǐ)後，test assets 的(de) pricing☆' errors 不(bù)降反升，導緻人(rén ±)們得(de)出錯(cuò)誤的(de)結論。

若某個(gè)模型中的(de)因子(zǐ)是(shì)另一(yī)個(gè)¶‌☆∏模型因子(zǐ)的(de)子(zǐ)集，♦φ☆§它們被稱為(wèi) nested models，例如(rú)&≈✘✔通(tōng)過往模型 A 中加入新的(de)因∏‌ ©子(zǐ)而構造出模型 B 時(shí)，模型 A 和(hé) ‍βφB 就(jiù)是(shì) nested₹< models；如(rú)果模型中有(yǒu)非重合的©‌∑(de)因子(zǐ)，那(nà)麽它們被稱為(wèi) ☆←÷±non-nested models。對(duì)于 nested‍≠★ models，更多(duō)的(de)因子(zǐ)反而造成 ₹♥test assets 的(de) pricing errors 上→λ"↓(shàng)升，則著(zhe)實令人(rén)困惑。€&以下(xià)通(tōng)過一(yī)個(gè)簡單的(de)數(shù∞®•‌)學模型來(lái)解釋背後的(de)原因。

假設存在模型 A 和(hé) B，前者中有(yǒ×≥u)因子(zǐ) 1（記為(wèi)  ），後者中包括  和(hé)另一(yī)個(gè)因子(zǐ) 2（記為(wèi)  ），令   表示 test asset 的(de)超額收益。當使用​λ(yòng)模型 B 時(shí)有(yǒu)：

其中  表示 test asset 在模型 B 下(xià)的(de) pr₩‌←icing error。類似的(de)，當使用(yòng)模型 A 時( ☆shí)有(yǒu)：   

其中  為(wèi) test asset 在模型 A 下(xià)∏←©的(de) pricing error。另一(yī)方面， ♥假設因子(zǐ)  和(hé)  之間(jiān)滿足如(rú)下(xià)回歸模型： 

這(zhè)個(gè)式子(zǐ)意味著(zhe)将因子(zǐ) 2 § 視(shì)為(wèi) test asset 并使用(yòng)模型≈→♥ A 對(duì)其定價，因此  為(wèi)因子(zǐ) 2 在模型 A 下(xià)•₩的(de) pricing error。将 (3£∏) 代入 (1) 有(yǒu)：   

比較 (4) 和(hé) (2) 可(kě)知(zhī)：

即test asset 在兩個(gè)模型下(xià)定價誤差，即  和(hé)  ，的(de)差異取決于  的(de)大(dà)小(xiǎo)。此外(wài)，讓情況變得(d€π&‌e)更加 tricky 的(de)是(shì)，pricing ✘φerror 本身(shēn)可(kě)正可÷₽♣↓(kě)負，而當人(rén)們說(shuō)“更低(dī)”¥₹∏≈時(shí)意味著(zhe)它的(de)絕對(duì₩∞φ )值更接近(jìn)零。所以，通(tōn♠↔π$g)過 test asset 的(de) pricing ≠λerror 來(lái)比較上(shàng)述兩個(gè)£©≥模型，取決于  和(hé)  這(zhè)二者本身(shēn)的(de)大(dà)小(xδ₽☆↓iǎo)和(hé)正負号，以及  這(zhè)一(yī)項的(de)大(dà)小(xiǎo  ↑)和(hé)正負号。因此，在一(yī)些(xiē)情況下(x××£ià)，LHS approach 會(huì)出現(★₩"¶xiàn)加入更多(duō)因子(zǐ)，pricing errors 反倒¶β &增大(dà)。

既然問(wèn)題已經清楚了(le)，那(nà)麽為(wè♦↕✘εi)了(le)解決它是(shì)應該找更合'‌<•理(lǐ)的(de) test assets，還(‍∞hái)是(shì)找處理(lǐ) pricing errors（  ）的(de)更好(hǎo)的(de)檢驗方法呢(ne✘♦)？有(yǒu)大(dà)佬說(shuō)“都(dōu)不(bù)是↕×→(shì)”。

2 A Right-Hand-Side Approach

對(duì)于上(shàng)述問(wèn)題，Barillas and S≠≤β hanken (2017) 給出了(le)答(dá)案。該文(w≤↔¥≥én)以 Which alpha? 為(wèi)✔ π題，給出了(le)一(yī)個(gè)簡單  €卻又(yòu)頗讓人(rén)驚訝的(de)結>β論：test assets 對(duì)于比較多(duō)因子(zǐ±¶​ )模型來(lái)說(shuō)是(shì)無關的(¥αδde)。OK，更嚴謹的(de)話(huà)，應該'✔£≥說(shuō)如(rú)果模型中隻考慮 traded fa♥≤÷ctors，那(nà)麽 test assets 是(shì)無關 ×≥的(de)。如(rú)果有(yǒu) non-traded fa£≠&ctors，則它們的(de) factor mimicking portfΩ'olios 需要(yào)通(tōng)過 test ass€☆ets 構造，因此是(shì)有(yǒu)關的(d≤"αe)。不(bù)過為(wèi)了(le)本文(wén)的(de)§×介紹，我們就(jiù)考慮簡單的(de)情況。Barillas and ∑¶₹Shanken (2017) 的(de)結ε→"論對(duì) nested assets 和(hé) non-neεσ€​sted assets 都(dōu)成立。

該文(wén)的(de)核心出發點是(shì πφ×)，當比較多(duō)因子(zǐ)模型時(shí)，除了(le) t♦♠←φest assets 之外(wài)，也(yě)應該檢驗模型能₹§(néng)否解釋彼此的(de)因子(zǐ)：Our central insight in this contextΩ≤♣€ is a simple one — that mo>←§≠dels should be compared in terms oλ¥f their ability to price all ♠↓♥returns, both test ass≥↓©ets and traded factors. 舉例來(lái)說(shuō)，假如(rú)模≠∑₩→型 A 和(hé) B 各自(zì)包含因子£≈↑(zǐ) 1，2，3 和(hé)因子(zǐ) 1，4，5。在比較它們時(sh≠♠₽≤í)，Barillas and Shanken (2017‍δ) 主張把這(zhè)兩個(gè)模型包含的(de)全部 5 個(gè)®γ×因子(zǐ)也(yě)一(yī)同視(shì)作(zuò)↓×$Ω test assets，它們将和(hé)之前額外(wài)選定的(de)§™∞> test assets 一(yī)起，被用(yòng)來(lái)∏↓±Ω檢驗模型 A 和(hé) B 的(de)定價能(néng)力。當把所有(yǒu)待比較模型的(de)因子(zǐ)加入 te¶<st assets 之後，“神奇”的(de)事(shì)情發生(sh>±σσēng)了(le)。對(duì)模型  下(xià)的(de)一(yī)組定價誤差  ，令  為(wèi)殘差的(de)協方差矩陣，則  就(jiù)是(shì)這(zhè)些(x✘★ iē)  構造的(de)最大(dà)夏普率平方（¥σmax squared Sharpe ratio），記為(wèi)  。Gibbons, Ross and Shanken (£↕®₹1989) 證明(míng)了(le)  等于由模型中所有(yǒu)因子(zǐ) + te₩€st assets 共同構造的(de)最大(dà)夏普率平方與僅使用≤​±<(yòng)全部因子(zǐ)構造的(de)最大(dà)夏普率平方之差。

假設比較兩個(gè)模型，它們的(de)因子(zǐ)記為(wèi)  和(hé)  ，一(yī)組額外(wài) test asπγsets 的(de)超額收益為(wèi)記為(w≤↓"≠èi)  （其中  、  、  都(dōu)代表多(duō)個(gè)因子(zǐ)和(h"§é) test assets）。根據 Barillas and Sh↓©←≥anken (2017) 的(de)觀點，  、  以及  應該通(tōng)通(tōng)被當作(zuò) t¥& ∑est assets 檢驗兩個(gè)模型（顯然模型 1 能(néng)夠解釋 ♠↑÷  ；模型 2 能(néng)夠解釋  ）。在這(zhè)種設定下(xià)，模型 1 的(de)定價能(néng)力表示γ≈為(wèi)：

同理(lǐ)，模型 2 的(de)定價能(néng)力表示為>♣(wèi)：

當模型 1 優于模型 2 時(shí)，應該有(yǒu)   。這(zhè)個(gè)公式的(de)直觀理 '→​(lǐ)解是(shì)，相(xiàng)較于模型 2 來(lái)說(shuπ®βō)，模型 1 本身(shēn)的(de)因子(zǐ) span 而↔  成的(de) tangency portfol¥±io 的(de)夏普率的(de)平方更大(dà)，加入其他(tā)®↔✘ test assets（  和(hé)  ）之後的(de)提升更小(xiǎo)（即  更小(xiǎo)）。簡單的(de)代數(sh¥♥♦§ù)運算(suàn)可(kě)知(zhīλ∏↑↕)：

由于額外(wài)的(de) test assets 同時(shí)出現(xδ​≈iàn)在上(shàng)式左右兩側，它對(duì ‍✔φ)于夏普率平方的(de)增量貢獻是(shì)一(yī)樣的(de φα≥)，因此可(kě)以被消去(qù)，(5) 變 ↑£♠為(wèi)：

這(zhè)就(jiù)是(shì)為(wèi)什(shén)麽當把所$↓≠±有(yǒu)因子(zǐ)也(yě)作(zuò)為(wèi) te↔βγst assets 後，額外(wài)的(de) test assets₩₹∏ 對(duì)于比較模型來(lái)說(shuō✘&)就(jiù)無關了(le)。上(shàng)式中的(de)>♠ 關系正是(shì) Barillas an₩✘d Shanken (2017) 希望傳達出來(lái)的∏←(de)最重要(yào)的(de)觀點。

It turns out that test assets ♣•εφtell us nothing about mod♠ el comparison beyond what we ¥™learn by examining the extent to whi&∏ch each model prices the fact ₹↔₹ors in the other models. So • ↔the test assets can be ¶ £ignored for this purpose. This is the→>‍ main message of our  ₽φ≠paper.

對(duì) (6) 進行(xíng)化(huà)簡，最終得(de)∏β到(dào)如(rú)下(xià)結論，即如(rú)果模型™↔γ 1 優于模型 2，則應該有(yǒu)：

即由模型 1 的(de)因子(zǐ)  構造的(de)最大(dà)夏普率平方高(gāo)于由模型 2 的($ε♦de)因子(zǐ)  構造的(de)最大(dà)夏普率平方。從(có♥‌₽ng) (7) 出發可(kě)知(zhī)，當比♣σ★ 較不(bù)同模型時(shí)，隻需考察它們各自(zì)的(de)因→♠子(zǐ)能(néng)夠 span 出來(lái)的(de) ta>∑ngency portfolio 的(de)夏普率平方即可(kě÷<‌♠)。由于這(zhè)個(gè)檢驗僅考慮因子(zǐ)而因↓↔‍•子(zǐ)出現(xiàn)在多(duō)因子(zǐ)模型★₹•≠的(de)右側，因此這(zhè)個(gè)方法÷δ¶‌又(yòu)被稱為(wèi) Right-Hand-Side (RHS) approac←±↓h。

Barillas and Shanken (201₹×7) 對(duì)這(zhè)個(gè)方法的(de) implic↔¥&ation 以及它在檢驗 nested 和(hé) non-‍∞γnested models 時(shí)的(de)作(zuò)用(yòn¶ ε​g)進行(xíng)了(le)系統的(de)討(tǎo)論。Fama and ©✔French (2018) 也(yě)對(duì)這(zhè)個£σ(gè)方法進行(xíng)了(le)系統的(de)​&↔✔實證研究。使用(yòng) RHS approach 代×↑↓替 LHS approach 不(bù)會(huì)遇到(dào)本文(α♠₩✔wén)開(kāi)篇的(de)問(wèn)題 1。在某個(gè)模↑↑±•型中加入額外(wài)的(de)因子(zǐ)時(shí)，如(rú)果該因₽♠®≤子(zǐ)不(bù)能(néng)被現(xiàn)有(yǒu)因子(zǐ¶φ<) span，則它的(de)加入一(yī)定會€→(huì)提升夏普率平方，從(cóng)而讓人(rén)得(de)↑↓α→出包含更多(duō)因子(zǐ)的(de)新§→¶模型優于老(lǎo)模型這(zhè)樣符合直覺的(de)結±₽•↕論。一(yī)般來(lái)說(shuō)，當★÷越來(lái)越多(duō)因子(zǐ)被加入到(dào)模型中，它的(de)σ→ ex-post 最大(dà)夏普率平方總♥π≈能(néng)提升。然而，從(cóng)簡約性（The Law o​"f Parsimony，見(jiàn)《因子(zǐ)投資：方法與實踐》的(de) 4.4 節：多(duō)因子(zǐ)模型的(de)簡約性）的(de∞δ$​)角度來(lái)考慮也(yě)有(yǒu)必要(y"®§γào)限制(zhì)模型中因子(zǐ)的(de)個(gè)數(shφ¶ ù)。但(dàn)無論如(rú)何，Barillas and Sha✔∞nken (2017) 提出的(de) RHS approach 還(h∑↑ái)是(shì)給檢驗多(duō)因子(zǐ)模型提出了®÷₩(le)新思路(lù)。為(wèi)了(le)得(de)到(dào)更好(hǎ•βo)的(de)多(duō)因子(zǐ)模型，應同時(shí)考慮₹←  LHS 和(hé) RHS 兩種方法。

當然，以最大(dà)化(huà) ex-post 夏普率平方為(wèi)目标★δ$評價因子(zǐ)模型也(yě)絕非沒有(yǒu)弊端。比如(rú)通(tōng)過選擇奇葩的(de)因子(zǐ)、改變因Ω∑Ω子(zǐ)的(de)構造或者使用(yòng)頻(§↓♦pín)率更高(gāo)的(de)數(shù★ ≈↔)據（Fama-French 三/五因子(zǐ)模型用(yòng₽≠→ )年(nián)報(bào)數(shù)據吃(chī)了(le)©&​±這(zhè)方面的(de)虧），就(jiù↓✔¶)可(kě)以輕松提升最大(dà)夏普率平方。但(dàn)是(shì)，這♠≥★(zhè)些(xiē)做(zuò)法會(huì)帶來(láiβ∑)新問(wèn)題，處理(lǐ)不(bù)好(hǎo)也(yě)會(huì)讓 ε‌人(rén)們離(lí) “更好(hǎo)的(de)多(®✔™duō)因子(zǐ)模型”越來(lái)越遠(yuǎφ÷✘>n)。不(bù)過我們先賣個(gè)關子(zǐ)，等到(dào)本文(wén)第<©'€ 4 節在討(tǎo)論。

3 A Specification Test∞™β‍

在這(zhè)一(yī)節我想討(tǎo)論一(yī" '∏)下(xià)本文(wén)開(kāi)篇的(de)Ωπ♠α問(wèn)題 2。目前學術(shù)界提出的(de)所有(yǒu)主流多(du>♣"ō)因子(zǐ)模型（見(jiàn)《因子(zǐ)投資：方法與實踐》4.1 節的(de)詳細介紹），它們在構造因子(zǐ)投資組合時α≠(shí)，均是(shì)沿用(yòng)了(le) Fama and Fr&®ench (1993) 的(de)方法，即采用(y"♥§òng)市(shì)值和(hé)另一(yī)個(gè)變量（如(rú) 'λHML 中的(de) BM）進行(xíng)雙重排÷§§®序（唯一(yī)的(de)例外(wài)是(sh£πì) Carhart (1997) 的(de)動量因子(zǐ)），♥σ将所有(yǒu)股票(piào)劃分(fēn)成若幹個(g‍↑ è)組合，然後利用(yòng)這(zhè‌Ω∑)些(xiē)組合構造最後的(de)因子(zǐ) γ♥投資組合。對(duì)于因子(zǐ)來(lái)說(shuō)∞​​α，這(zhè)些(xiē)用(yòng)來(lá‌≈i)構造改因子(zǐ)的(de)基礎組合€∞±可(kě)以被稱為(wèi) basis portf‍λ∑€olios。

當人(rén)們檢驗和(hé)比較多(duō)因< ♣♣子(zǐ)模型時(shí)，LHS approach 關注的(de)是(s↕✘÷•hì)其解釋 test assets 的(de)能(néng)力，而上(¶"shàng)一(yī)節介紹的(de) RHS approach 雖 ←然在 test assets 中也(yě)考慮了(le)因子(zǐ)，但(dà ≥n)依然沒有(yǒu)考慮不(bù)同因子(zǐ₽​±¶)背後的(de) basis portfolios。如(rú)果一(yī)個(gè)多(duō)因↕÷γ子(zǐ)模型是(shì)優秀的(de)，那(nδ‍à)麽合理(lǐ)的(de)預期是(shì)它π™>至少(shǎo)應該能(néng)解釋自(zì$§β∑)己的(de) basis portfolios。如(rú)果它在解釋其他(tā)資産方面呼風(fēn✘'→≠g)喚雨(yǔ)，卻對(duì)自(zì)己的(de) basis portf≥→olios 無能(néng)為(wèi)力，那(nà)麽就×‍≥(jiù)難以令人(rén)信服。不(bù)₽σ↔過，無論是(shì)學界還(hái)是(shì)業(y×←€"è)界，似乎很(hěn)少(shǎo)有(yǒu)人(ré<®n)關注這(zhè)些(xiē) basis←εΩ★ portfolios，也(yě)沒有(yǒu)專門(mén)的(de™δ©)檢驗方法。

直到(dào) Liao and Liu (2020) 出現(xià✘‍↕n)。這(zhè)是(shì)一(yī)篇雖然尚未發表，但(dàn)我↓γ★個(gè)人(rén)非常喜歡的(de) working paper。它針¥‍對(duì)多(duō)因子(zǐ)模型檢驗中的(∑♦✔¶de)截面回歸方法（見(jiàn)《多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗》或《因子(zǐ)投資：方法與實踐》的(de) 2.2.2 節）提出了(le)全新的(de) two-→€​pass estimator。概括的(de)說(shuō)，該方法在廣義σ ☆矩估計(jì)（GMM，見(jiàn)《Generalized Method γ÷±of Moments》）框架下(xià)通(tōng)過矩條件(jiàn)研α÷≤↑究了(le) two-pass estimator，并找到(∑δ dào)了(le)一(yī)個(gè)最優的(de)權>®重矩陣，使得(de)被估計(jì)參數(shù)的(d¥♦e)方差最小(xiǎo)，進而保證了(le)估計(×φ$jì)量的(de) efficiency。因此該估計(jì¥∏)量也(yě)被稱為(wèi) optimal cross-sect​₩ional regression (OCSR) estimator。®♦  

一(yī)般來(lái)說(shuō)，two-pass 截面回歸檢驗可(kφ↑γ$ě)以被表示成以下(xià)矩條件(jiàn)（這(z✘✔←hè)裡(lǐ)的(de)因子(zǐ)  可(kě)以使 traded 或 non-trade÷•'d factors）：

其中前兩組矩條件(jiàn)對(duì)應 two-pass regressi&₹‍on 中的(de)第一(yī)步，即估計(jì)資産對(duì)因子(zǐ)£≠σ↑的(de)暴露；第三組矩條件(jiàn)則對(duì)®¶σ±應 two-pass regressioδα≥n 中的(de)第二步，即截面回歸估計(jì)因子(zǐ)溢價。除了(le)上(shàng)述矩條件(j÷♦iàn)之外(wài)，Liao and✔☆∑✔ Liu (2020) 還(hái)在框架中注σ 入了(le)一(yī)個(gè)約束，即允許一(yī)組資産☆↕£σ在待檢驗的(de)模型下(xià)的(de) pricing≤♣≠≤ error（  ）為(wèi)零（相(xiàng)當于減少(shǎo)了(le)待估計(jìδ€ )參數(shù)的(de)個(gè)數(shù)）：

和(hé) GMM 同時(shí)使用(yòng)所有(§π☆★yǒu)矩條件(jiàn)進行(xíng)估計(jì)不(b✘'≈ù)同，該方法本質上(shàng)還(hái)是(shì)傳承了(l€→e) two-pass regression。因此雖然問(wèn)題被表述為≈"(wèi)矩條件(jiàn)的(de)形式，但(dà± β≤n)在實際求解時(shí)，前兩組矩條件(jiàn)和(hé$☆÷)第三組矩條件(jiàn)以及約束是(shì)分(fēn)開(kāi)的♣→₩(de)。首先利用(yòng)前兩組矩條件(ji★♦λàn)估計(jì)出因子(zǐ)暴露，然後再利用(yòng)它們作(zu↑βò)為(wèi)參數(shù)，通(tō₽ ng)過第三組矩條件(jiàn)和(hé)約束來(lái)估計(jì)因子(¶ zǐ)溢價和(hé)資産的(de) pricingβ♦γ₽ error。

在傳統的(de) GLS/OLS 中，它們的(de)差異 ↕±源于截面回歸估計(jì)因子(zǐ)溢價時(shíλ÷☆₩)，N 個(gè)資産的(de)權重矩陣（比如(rú) OL≈‍≈S 就(jiù)是(shì)個(gè)單位陣）。而 OCS≈α‌©R 和(hé) GLS/OLS 最大(dà)的(de✔‌∑)差異就(jiù)是(shì)權重矩陣的(de)選✘₽擇。經過一(yī)系列計(jì)量經濟學推導，Liao a←∑£→nd Liu (2020) 給出了(le)最優的(de)權重÷"矩陣，使得(de)他(tā)們的(de) estimator 擁有(yǒu)和(hé) GMM≤≥ 一(yī)樣的(de)優秀特性，但(dàn)卻遠(yuǎn)比直接求♦₹  解 GMM 簡單的(de)多(duō)。這(zhè)也(yě)正是(shì)該方法最吸引人(rén)的(de€®)地(dì)方。實證結果顯示，該方法比傳統的(de) OLS/GLS 在§↕↕α估計(jì)因子(zǐ)溢價方面都(dōu)有(yǒu)優勢。★∞λ

OK! 說(shuō)了(le)半天你(nǐ)也(yě)許要(yào)問(w✘♣←>èn)，這(zhè)和(hé)本節一(yī)開(kāi)始提到(§>✔¥dào)的(de) basis portfolios 有(y‍α↑ ǒu)關系嗎(ma)？在 Liao and Li← u (2020) 一(yī)文(wén)中，除了(α>ε₹le)提出 OCSR estimator 之外(wài)，兩位作(zγ→♥uò)者也(yě)給出了(le)一(yī)個(gè) specificatio©≈‌←n test，這(zhè)就(jiù)和(hé)¶  basis portfolios 有(y≠→✔₽ǒu)關了(le)。前文(wén)已經說(shuō)了(le)，Liao and Liu (20↓$20) 的(de)框架允許一(yī)組資産在多↑© ∞(duō)因子(zǐ)模型下(xià)的(de) ®εpricing errors 是(shì)零；而這(£∞zhè)個(gè) specificat ¥ion test 就(jiù)是(shì)用(yòng)來(lá¶×i)檢驗這(zhè)組資産的(de) pσ ricing errors 到(dào)底是(shì)否♥β±±為(wèi)零，即

放(fàng)在我們的(de)場(chǎng)景下(xià)，隻需®×₩>要(yào)把該模型的(de) basisσ>₽δ portfolios 和(hé)其他(tā)資産一(yī)起作(z'✔uò)為(wèi) test assets，并假∏α←§設 basis portfolios 滿足 pricing error±​<s 為(wèi)零的(de)約束。在求出最優‍₹€權重矩陣之後，利用(yòng) specification test 就(βεjiù)可(kě)以檢驗 basis portfolios 是(shì)否λ‌∞®滿足該約束。如(rú)果原假設被拒絕，則該模型無法為↑×®(wèi) basis portfolios>δ☆ 定價。

Liao and Liu (2020) 依照(zhào)上(shàn≤<×g)述思路(lù)比較了(le)近(jì<♠n)年(nián)來(lái)最引人(rén)關注的(de)兩↔'✘個(gè)模型，Fama and French (201$♥≈5) 五因子(zǐ)模型（FF5）和(h¶≈é) Hou, Xue and Zhang (2015) 的(de) q<♥¶-factor model（曆史背景見(jiàn)《從(cóng) Factor Zoo 到(dào) Factor W≥÷ar，實證資産定價走向何方？》）。Specification test 結果 γ×↕顯示，FF5 的(de) basis portfolios 的(d→≤e)檢驗結果 p-value 為(wèi) 0.121（無法拒絕原假設∞∑↔β），而 q-factor model 的​★(de) basis portfolios 的(de)檢驗結果Ωα↔ p-value 為(wèi) 0.000（可(kě)以♦§在任何常見(jiàn)的(de)顯著性水(sh< uǐ)平下(xià)安全的(de)拒絕原假設）。因此，FF5 可(kě)以解釋自(zì)己的(de) basis p ∑≥ortfolios，而 q-factor model 卻不(bù)能(n<∞♥éng)。

除此之外(wài)，針對(duì) FF5 和(hé) q-fa₩≠¶ctor model 均是(shì)通(tōng)過 LHS app‍∞roach（時(shí)序回歸檢驗）來(lái)評估它們的(de)定價能(n"≈'éng)力，Liao and Liu (↔™÷2020) 也(yě)使用(yòng)他(tā)們≥♣φ¶提出的(de) OCSR estimator 進行(xíng≥×∞)了(le)比較。對(duì)于一(yī)個(gè)優秀的↔>♠↓(de)多(duō)因子(zǐ)模型來(lái)說(shuō₽&δ↓)，雖然時(shí)序回歸檢驗和(hé)截面回歸檢驗有(yǒu)所×↕差異，但(dàn)我們依然可(kě)以預期 test ass¶α★ets 在模型下(xià)的(de) pr​®≤∞icing errors 在兩種方法下(xià)式接‍βσ近(jìn)的(de)，否則該模型就(j← σiù)不(bù)那(nà)麽靠譜。結果嘛，再一(yī)次讓人(rén)震驚：¶¶" FF5“完勝”q-factor mode‌βαΩl。

根據上(shàng)圖所示（無論是(shΩ→ì)市(shì)值加權還(hái)是(shì)等權構造 test asset₽♠s），對(duì)于考慮的(de) 156 個(gè) •¥test assets，當使用(yòng) ☆↑FF5 為(wèi)模型時(shí)，它們在兩種方​Ω÷法下(xià)的(de) pricing errors ≥δ十分(fēn)一(yī)緻；而在 q-f   actor model 下(xià)卻表現(xiàn)出來(lái)很(ε€↕hěn)大(dà)的(de)差異。綜合這(zhè)個(gè)λ↕結果和(hé)前述 specificat©↓✔ion test，我們可(kě)以得(de)出初步的(de)結論：q-factor model 可(kě)能(néng)存在模型設定偏誤。♠© >

雖然既有(yǒu) LHS approach ♦≈←的(de)實證結果一(yī)邊倒的(de)✔✔支持了(le) q-factor model 相(xiàng)對(β duì)于 FF5 的(de)優越性（Hou et∑λ← al. (2019)），但(dàn)上(shàng)÷φ 述實證結果無疑為(wèi)人(rén)們重新評判 FF5ε€≥ 和(hé) q-factor model 提供了(le)新的(de)依據。∞¶頗有(yǒu)意思的(de)是(shì)，FF 曾在評價 q-factor m↓¶odel 時(shí)提到(dào)：More important, '×φ★they (HXZ) are primarily concerned w ₹×ith explaining the returns assoc​§€iated with anomaly variables not ∑£ ≥used to construct theiεε♠εr factors. 通(tōng)過 Liao and Li<→₹εu (2020) 的(de) specification test，上(shà♠↓∑ng)述觀點得(de)到(dào)了(l ♥$βe)驗證。一(yī)個(gè)多(duō)因子(zǐ)模型至少(shǎo)應 ÷ ←能(néng)夠解釋自(zì)己的(de) bas α ↕is portfolios，這(zhè)個>‍ ↓(gè)條件(jiàn)應該成為(wèi)尋找更好(hǎ"≠•πo)的(de)模型時(shí)的(de)必要(yào)條件(jiàn&€)。

4 展望

在總結本文(wén)和(hé)展望未來(lái)之前，先來(↕‍lái)回應一(yī)下(xià)第二節最後提出的(de)問(wèn)題≥≠±€，即以最大(dà)化(huà) ex-post 夏普率平方​‍​為(wèi)目标構造模型的(de)弊端，它也(yě)和(hé)♥∞♣本文(wén)開(kāi)篇的(de)問(wèn)題β< λ 3 息息相(xiàng)關。無論是(shì)研究因子(zǐ)還(hái)是(shì)比較多(du∏♠ō)因子(zǐ)模型，以最大(dà)化(huà) ex-po∞β↑£st 夏普率平方為(wèi)目标會(huì)帶來(lái)兩個(g₹αè)問(wèn)題：（1）因子(zǐ)研究本末倒置，數(sh←♣☆ù)據先行(xíng)；（2）因子(zǐ)的(de)理(lǐ≤₽£)論表現(xiàn)越來(lái)越脫離(lí)實際。

對(duì)于第一(yī)個(gè)問(wèn)題，一↓€↓'(yī)個(gè)驚人(rén)的(deπ£φ)例子(zǐ)是(shì)在美(měi)股上(shàn→α∑↑g)針對(duì)低(dī)波動股票(piào)γ¶​§構造的(de)反轉因子(zǐ)，它自(zì)己的(de) ex-post ₽ 夏普率平方是(shì) Fama-French 三因子(zǐ)模型的(de →•∏) 9 倍；五因子(zǐ)模型的(de) 4 倍。但(dàn)顯β"‌然，沒有(yǒu)人(rén)會(huì)在 FF3/5 和(hé) ★★這(zhè)個(gè)反轉因子(zǐ)之間(jiān)選擇後者。這(zhè)個(gè)例子(zǐ)說(shuō↓¥)明(míng)，我們在追求更好(hǎo)的(dφ‌≤↑e) tangency portfolio 時(shí)，應該時(s↕εhí)刻注意檢查因子(zǐ)本身(shēn)是(sΩ§hì)不(bù)是(shì)有(yǒu)邏輯，而非單純依靠數(γ↓πshù)據。Fama and French (201♦≈8) 曾說(shuō)，實證資産定價中的(de)因子‌≈ (zǐ)是(shì)來(lái)自(zì)對(duì)αλε曆史平均收益率中某種模式的(de)發掘。一(yī)旦因子(zǐ)背後缺乏理♠₽$(lǐ)論支撐，那(nà)麽因子(zǐ)研究就(jiù)會(huì✘±<‌)退化(huà)成以提升 ex-postδ©$ tangency portfolio 為(wèi)≤÷目标的(de)數(shù)據挖掘。（這(zhè)也( ×yě)是(shì) Fama 對(duì)動量因子(zǐ)始 ™÷δ終持謹慎态度的(de)原因。）對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題÷♣≠，金(jīn)融學作(zuò)為(wèi)理(lǐ)論緊密聯系實際₽♦的(de)一(yī)門(mén)學科(kē)，它要(yào)求理(lǐ)↑♣ 論能(néng)夠很(hěn)好(hǎo)的(de)≥₩指導實際。這(zhè)意味著(zhe)在比較多(d $uō)因子(zǐ)模型時(shí)，不(bù)應（僅）考慮×≈★因子(zǐ) on paper 的(de)收益率以及通(tōφ₽↔ng)過這(zhè)些(xiē)收益率計(jì)算(suàn)出的∞&(de)夏普率，而是(shì)要(yào)考慮投資者實際可(kě)交易↓ ↓出來(lái)的(de)因子(zǐ)的(de)收益率（即扣掉✔→​交易成本之後）。

越來(lái)越多(duō)實證結果顯示，使用αβ≥γ(yòng)更高(gāo)頻(pín)率的¶&¥>(de)變量或者使用(yòng)一(yī)些(✘∞xiē)不(bù)走尋常路(lù)的(d♥‍e)構造方法均可(kě)以提升因子(zǐ<βλ‍) on paper 收益率，然而這(zhè)些(xiē)提升都(dōu↔↕∏)是(shì)以更高(gāo)的(de)換手率和(hé)交易成本為(wèi)代​α價。仍以 FF5 和(hé) q-factor model 為(wèi®✘♠←)例，它們二者都(dōu)包含盈利因子(zǐ)，然而♦×∑ FF5 使用(yòng)年(nián)度數(shù)據而 δ♥→Ωq-factor model 使用(yòng)季度數(shù)據； ×β♥且 q-factor model 使用(yòng)三重排序來(lái)構造因★×子(zǐ)。這(zhè)些(xiē)差異導緻了(₽£Ωle) q-factor model 中盈利因子(zǐ)的(de) on ™π★paper 收益率要(yào)比 FF5 的↔↔(de)版本高(gāo)的(de)多(duō)。最終，‍ 以最大(dà)化(huà)夏普率平方來(lái)看(kàn)，q-fa✔α"γctor model 也(yě)優于 FF5。

但(dàn)是(shì)考慮了(le)交易成本又​>(yòu)會(huì)怎樣呢(ne)？Detzel, Novy-Mar→<x and Velikov (2021) 系統☆∏比較了(le)不(bù)同多(duō)因子←₽→¶(zǐ)模型在扣除交易成本後，因子(zǐ)都(dōu)能(néng)↑$∞©實現(xiàn)的(de)最大(dà)化(huà)夏普率平方（前文α≠<∏(wén)《Factor War 外(wài)傳》曾介紹過該文(wén)，當時(shí)該文(wén)還(hái)沒↓Ω有(yǒu)被挂到(dào) SSRN，如(rú)>β今已經可(kě)以下(xià)載）。結果如(rú)下(xià≤∞±×)圖所示，一(yī)旦考慮因子(zǐ)實際的(¶÷​de)收益率，模型比較的(de)結果就(jiù)可(kě)能<α✘(néng)發生(shēng)反轉。

說(shuō)完了(le)這(zhè)兩個(g'≠§è)問(wèn)題，最後來(lái)總結←≤★一(yī)下(xià)。近(jìn)年(nián)來(lái)，學™≥™♦術(shù)界以尋找更好(hǎo)的(de)多(λ&↓duō)因子(zǐ)模型為(wèi)目标做(zu $∞ò)出了(le)很(hěn)多(duō)有(yǒu)"↓€δ益的(de)嘗試。就(jiù)我個(gè)人(rén)γ♣的(de)看(kàn)法，一(yī)個(gè)可♦♣♠(kě)參考的(de) protocol 也(yě)慢(màn)慢(màn)®×₽的(de)浮出了(le)水(shuǐ)面：

以此為(wèi)指引，有(yǒu)理(lǐ)由相(λוxiàng)信我們終将會(huì)遇到(dào)更好(hǎo ↔©γ)的(de)多(duō)因子(zǐ)模型。

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何↑♠情況下(xià)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息及數(shù)據‍‍Ω或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)任何人(rπ'±én)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià✔±©₹)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)> 對(duì)任何人(rén)因使用(yòng←₽±φ)本文(wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de≤∞‌<)任何損失負任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外δ↔(wài)，文(wén)中圖表均直接或間(jiānφ¶☆¶)接來(lái)自(zì)于相(xiàng)應論文(÷≠ wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò)者和(hé£σ±<)期刊所有(yǒu)。