Risk Parity vs Tail Risk Pari↕σ★ty

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：本文(wén)探討(tǎo)了(le)将尾部風(f"& ≠ēng)險融合到(dào) Risk Parity 進行(xíβεng)資産配置的(de)方法。有(yǒu)效利用(yσ÷‌òng)高(gāo)階矩信息可(kě)以提高(gāo)投資組合的(d™€σe)風(fēng)險收益特征。

1 引言

近(jìn)日(rì)，Rob Arnott、Campbell Har↓≠vey 等人(rén)在 JPM 上(shàng)發表<™∑了(le)一(yī)篇題目頗為(wèi)浪漫的(de)文(wén)章(zhελδ£āng)（Arnott et al. 2019）：愛(ài)麗(l±‌Ωì)絲夢遊仙境；抱歉、錯(cuò)了(le)，應該是(♥≥÷shì)愛(ài)麗(lì)絲的(de)因子(zǐ)島冒險之旅（Al<$ice’s adventures in factorland）。我最初 ±₽看(kàn)到(dào)這(zhè)個(gè)标題時(shí)感受到(dào£γ™®)的(de)畫(huà)風(fēng)是(s ≠αhì)這(zhè)樣的(de)（年(niá∞¥✘≤n)齡暴露帖）。

言歸正傳，這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)嚴肅討(☆$tǎo)論了(le)投資人(rén)在因子(zǐ)投&↓資中常犯的(de)三大(dà)類錯(cuò)誤σλ£↑，從(cóng)而導緻了(le)因子(zǐ)投資的(π∏€de)效果很(hěn)差。這(zhè)三類問(wèn)題是(shì)：

我想以上(shàng)面的(de)第二點為(wèi)引子(zǐ)開(kāi)啓β€今天的(de)話(huà)題。對(duì)此，Arnott ♣®Ωet al. (2019) 以美(měi)股上(shàng)₹✔¥©的(de)動量因子(zǐ)為(wèi)例做(zuò)了(le)∞↑÷解釋。下(xià)圖黑(hēi)色曲線是(shì)實際動量因§★§‌子(zǐ)的(de)累積收益率；紅(hóng)色曲線是(s☆★₽hì)假設動量因子(zǐ)收益率符合正态分(fēn)布♣π↕時(shí)的(de)收益曲線。兩條曲線的(de)巨大(↓≠§dà)分(fēn)歧出現(xiàn)在金↕γ↑☆(jīn)融危機(jī)期間(jiān)©$×‌，說(shuō)明(míng)正态分(fēn)布根本無•§法很(hěn)好(hǎo)的(de)描述因子(zǐ)收益率的(de)尾部 •風(fēng)險。

再來(lái)看(kàn)看(kàn) A 股®÷φ☆。下(xià)圖是(shì)上(shàng)證指數(shù) φ★自(zì) 2005 年(nián) 1 月(≈σyuè) 4 日(rì)至 2019 年(nián) 5 ≤₹月(yuè) 31 日(rì)的(de)日(rì)頻(pσ∏♣'ín)收益率分(fēn)布（柱狀圖）。以該分↑≥∏₹(fēn)部的(de)均值和(hé)方差構建出的(de)ασ正态分(fēn)布曲線是(shì)圖中紅‍λ&(hóng)色曲線。上(shàng)證指數(shù)的(d★≠e)經驗分(fēn)布呈現(xiàn)出明(míng)顯的('∞de)尖峰肥尾，正态分(fēn)布難以捕捉其尾部風(f↓↔Ωγēng)險。

上(shàng)面這(zhè)些(xiē)例子(zǐ)§₩↕表明(míng)僅考慮一(yī)階矩和(✔→÷≈hé)二階矩并不(bù)能(néng)很(hěn)好(hǎo)的(de)刻↕π✘畫(huà)資産的(de)風(fēng)險。而這(zhè)也(yě)正是(£♣∏★shì)我們熟知(zhī)的(de) Ri♠'£sk Parity 常被人(rén)诟病的(de)☆α∞∑地(dì)方 —— 它僅使用(yòng)投資↑₽✔組合的(de)标準差（方差的(de)平方根）∏₹‌&來(lái)刻畫(huà)風(fēng)÷✔險，對(duì)尾部風(fēng)險處理(lǐ)不(bù)足。ε♠≠ε今天這(zhè)篇文(wén)章(zhā‍β÷ng)就(jiù)從(cóng)尾部風(fēng)險的(de)角→>↕度對(duì) Risk Parity 做(zuò)一(yī)些(xi‌≈ ¶ē)擴展。它可(kě)以看(kàn)做(zuò)是(shì→₹)《尾部相(xiàng)關性、尾部風(fēng)'₩↔險平價和(hé)聖杯分(fēn)布》的(de)進階。下(xià)文(wén)第二節将使用(yòng)一(yī)些(xiē§ε) A 股上(shàng)的(de)因子(®♥£αzǐ)投資組合對(duì)比 Risk Parity 和¥♣¥(hé) Tail Risk Parity（尾部風(fēng)險'♦平價）的(de)配置效果；第三節介紹 Baitinger, Dragosch,₩¥δ and Topalova (2017) 提出的(d₽πe)将 Risk Parity 擴展到(dào)三、四階矩的(de)配置框€π架；第四節總結全文(wén)。

2 Risk Parity vs Tail R&∞♥✘isk Parity

考慮到(dào)資産分(fēn)布的(de)肥尾特性，λε使用(yòng) Expected Shortfall（ES）₩φ來(lái)計(jì)算(suàn)尾部$↔↑Ω風(fēng)險。它也(yě)稱作(zuò) Exp₩×♣₹ected Tail Loss 或 conditio•£nal value at risk（CVaR），代表了(le) •"¥α 分(fēn)位數(shù)左側尾部風( ≈fēng)險的(de)均值，相(xiàng)較于 VaR 能(←∏¶néng)夠更好(hǎo)的(de)刻畫(hu&♣à)尾部風(fēng)險。将 Risk Parity 處理(lǐ) σ 的(de™£)方法延伸至 ES 就(jiù)得(de)到(dào€¶≥) Tail Risk Parity（尾部風(f¶→ēng)險平價）。尾部風(fēng)險平價的(de)目标是(shì)讓不(bù)同資¥≈♠∞産或策略對(duì)投資組合的(de)尾部風"≠(fēng)險貢獻相(xiàng)同。它更多(duō)的(de)是(shì)一(y​✔ī)種理(lǐ)念，而具體(tǐ)實現(xiàn)方法 π¥則因人(rén)而異。在我們的(de)例子(zǐ)中，由于✔≠使用(yòng) ES 刻畫(huà)尾δ ₹≤部風(fēng)險，因此可(kě)以讓不(bù••≥ )同資産對(duì)投資組合的(de)尾部風(fēng)險 ES ☆σ★等貢獻，即資産權重 ω_i 滿足：

上(shàng)式中，ES_p 代表投資組合的(deΩ ☆​) Expected Shortfall。β♠σ"在實際使用(yòng)時(shí)，仍然有(yǒu)個(g♥✔≠è)問(wèn)題。對(duì)于 Ri✔λ≥‌sk Parity，投資組合的(de)波動率 σ_p 對(duì)于資"γ↓γ産權重 ω_i 的(de)偏導數(shù)是(shì)有(yǒu)解釋表達♦±式的(de)；而在上(shàng)述 Tail Risk Pa"↑λ♦rity 中，ES 對(duì) ω_i 的(de)偏導數↔λ(shù)沒有(yǒu)解析表達式。這(zhè)對®↕(duì)于通(tōng)過最優化(huà)求解 ω_i 增加了(le)額外(ε♥wài)的(de)難度。前文(wén)《淺析資産配置的(de)幾種方法》曾指出，如(rú)果資産間(jiān)的(d≤©‌✔e)兩兩相(xiàng)關系數(shù)相(xiàng)同，♦φ↑則 Risk Parity 最優權重滿足 ω_i 和(hé) σ_i 成♠δ★反比。因此，在本文(wén)的(de)實證中采用>$↕™(yòng)類似的(de)簡化(huà)處理(lǐ)方法，即根據資産←σ的(de)收益率數(shù)據計(jì)算(suàn)₩♣★₩出每個(gè)資産的(de) ES_i，然後令資産權重和(hé) ES_i 成₩<≥反比：

接下(xià)來(lái)就(jiù)用(yòng)上(s♥δhàng)述 Tail Risk Parity 配置方法和(hé)→€≠γ Risk Parity 進行(xíng)比較。≥‌Ω為(wèi)了(le)讓對(duì)比更合理(lǐ)，在通(tōng<<≠)過最優化(huà)确定 Risk Parity 的(de≠δ<)資産權重時(shí)，要(yào)求  Ω ≥ω_i 滿足非負且所有(yǒu) ω_i 之和(hé)為(wèi) α ☆1 兩個(gè)約束條件(jiàn)。在計(jì)算×π₽‍(suàn) ES 時(shí)，選擇 1% 分(f∞"₽ēn)位數(shù)。

實證中，回測期為(wèi) 2010 年(nián) 1 月"₹(yuè) 1 日(rì)至 2019 年(nián) 3 月(yuè) 31>& 日(rì)，并考慮中證 500 成分(fēn)股。進行(xínγ↑g)資産配置的(de)投資标的(de)為÷  (wèi)以下(xià) 9 個(gè)因子(zǐ)組合：σ©☆₹beta、earnings yield、growth、l ' everage、momentum（事(shì ♣→€)實是(shì)當成反轉使用(yòng)）、nonlinear s•¶γize、P/B、residual volatilit•‌©y 以及 size。通(tōng)過做(zuò)多(duō)排名前 50 的(de)股票(piào)、做(z>π©±uò)空(kōng)排名後 50 的(de←≤)股票(piào)來(lái)構建投資組合。下(xià)圖展示了(le)上(shàng)述九大(dà)因子(zǐ)投資σδ♥組合日(rì)頻(pín)收益率的(de)分(fēn)布和(hé)以它們ε<ε&各自(zì)均值和(hé)标準差對(duì)應的(de)正态分(fΩ">δēn)布。從(cóng)圖中不(bù)難看(kàn)出，這(zh★↑è)些(xiē)因子(zǐ)投資組合也(yě)表現γ±(xiàn)出了(le)尖峰肥尾的(de"±§)特征。

在比較 Risk Parity 和(hé'β≥€) Tail Risk Parity 時(shí)，依照(zhào)這(zhèφ$≥)兩種方法對(duì)這(zhè)九個(gσ™¥è)因子(zǐ)按月(yuè)調倉（每月(yuè)最後一(yī)個(gè)交易₹$日(rì)調倉，不(bù)考慮任何成本，排除因停牌而無法←♦←交易的(de)股票(piào)）。然而計(jì)算(su€♠àn)每個(gè)因子(zǐ)的(de) ES 需要(y¥✔★♥ào)更細的(de)粒度，故而選擇因子(zǐ)日(rì)頻(pín)收益率™≤α，并使用(yòng)不(bù)少(shǎo)于 1 年(nián)的(€∏de) expending 窗(chuāngπ☆)口計(jì)算(suàn)每個(gè)因子(zǐ)×<>φ的(de) ES（為(wèi)了(le)更準确的(de) '™估計(jì) ES，沒有(yǒu)使用(yò↓₽ng)常用(yòng)的(de) rolling 窗(c• ≤huāng)口），因此首次構建投資組合是(shì)在 2010 年(niβσán) 12 月(yuè) 31 日(rì)。這(zhè)些≥§®&(xiē)因子(zǐ)組合的(de)日(rì)頻(pín)累積收益率如(r←¶&ú)下(xià)圖所示。

在回測期內(nèi)，Risk Parity 和(hé) Tail Risk ‌>÷₩Parity 配置結果的(de)累積淨值和(hé)回撤如(rú)下&₩÷(xià)圖所示。在本例中，兩種方法的(de☆©☆&)結果雖然非常接近(jìn)，但(dàn)仍然能(>♥néng)看(kàn)出以 ES 為(wèi)目标的(de) T£‌‍ail Risk Parity 更有(yǒu)效的(de)•γ降低(dī)了(le)投資組合的(de)最大(dà)回撤和(↑¶hé)波動。在回測期內(nèi)，Tail Risk P✔§>×arity 和(hé) Risk Parity 的(de)年(nπ®ián)化(huà)收益率分(fēn)别為(wè​•☆i) 9.00% 及 8.99%；夏普率分(fēn)别為(wèi) 1.22 $©♥和(hé) 1.15；最大(dà)回撤分(fēn)‍♠γ别為(wèi) -8.22% 和(hé) -1÷£‍✘0.52%；最大(dà)回撤天數(shù)分(fēn)β≈₹别為(wèi) 515 和(hé) 69 ↑±λ9。這(zhè)些(xiē)數(shù)據表明(míng)，Tail R§✔<isk Parity 較 Risk Parity  ¥更好(hǎo)的(de)規避了(le)風(fē↔✘©±ng)險。

熟悉我的(de)小(xiǎo)夥伴大(dà)概知(zhī≥§σ≥)道(dào)我要(yào)開(kāi)始“自(♣≥↕≥zì)我否定”了(le)。沒錯(cuò)，上(shàng)面隻是(shì)一'×≥(yī)個(gè)例子(zǐ)，而且二者的(de)差異也(✔λΩyě)很(hěn)小(xiǎo)。為(wèi) §☆此，随機(jī)從(cóng)上(shàng)述 9 個(gè)因πσ₩子(zǐ)中抽取 5 個(gè)，進行(xíng) 50 次實驗，來(lái)×₹考察一(yī)下(xià) Tail Ris♥‌k Parity 的(de)表現(xiàn)。☆≈下(xià)圖展示了(le)在這(zhè) 50 次實驗中，這(‍σ™∞zhè)兩種配置方法 Sharpe Rati∏∞§o 的(de)對(duì)比（圖中實驗的(de)序号，即橫坐☆♣↔←(zuò)标，已經按 Risk Parity 的(de)夏普§α‌率從(cóng)大(dà)到(dào)小(xiǎo)排序了(l'↕¥​e)）。

在其中的(de) 39 次實驗中，Tail Ri≠♠↔&sk Parity 的(de) Sharpe Ratio ®∞φ↔高(gāo)于 Risk Parity，勝率為(wèi)₩♣★↔ 78%。此外(wài)，從(cóng)上(s$↕hàng)圖可(kě)以看(kàn)到(dào)，當 Risk λλ$¶Parity 的(de)夏普率較低(dī)的(de)實驗中± ✔☆（即随機(jī)選出的(de)因子(zǐ)資産本身(s↓→>★hēn)更差），Tail Risk Parity 的(de≈♥→≠)優勢更加明(míng)顯，這(zhè)無疑是(s¶Ω¶hì)一(yī)個(gè)很(hěn)好♠•(hǎo)的(de)結果。作(zuò)為(wèi) robustn¶✔αess check，同時(shí)考慮随機(jī)選¥™→取 3、4、6 個(gè)因子(zǐ)的(de)情況，也(yě)可(k±≥‌ě)以觀察到(dào)類似的(de)結果（下(xi‌φ≤à)圖）。此外(wài)，實證中還(hái)考 ‌≈慮了(le)以 5% 分(fēn)位數(shù)計(jì)算(suàn)←∏±" ES，也(yě)可(kě)以獲得(de)類似的(de)結論，這(zhè)裡Ωσ<×(lǐ)不(bù)再贅述。

本小(xiǎo)節的(de)實證說(shuō)₩§明(míng)，以 ES 為(wèi)代理(lǐ)變量描述尾部風(fēng)險的(de) Taλ>↑∑il Risk Parity 是(shì)一(yī)個(gè)值得(de)Ω©↔嘗試的(de)資産配置方法。相(xiàng)比于 Risk Parity 它有(Ω₹✘yǒu)希望提高(gāo)最終投資組合的(de)風(ε↕∑Ωfēng)險收益特征。當然，尾部風(fēng)險建模或者使用(yòng) empirical data 計(jì)算(sφ÷uàn) ES 都(dōu)可(kě)能(®"πnéng)引入更高(gāo)的(de)誤差。此外(wài)，該方法僅僅是(shì)通(tōng)過尾部風(fε£>βēng)險間(jiān)接的(de)對(φ"duì) Risk Parity 進行(xíng)了(le)→←π改進。下(xià)一(yī)節介紹的(de)方法将直∏£¶±接從(cóng)分(fēn)布的(de)偏度（skewness）和(hé×☆)峰度（kurtosis）入手，将高(gāo)階矩☆ε信息直接融入到(dào) Risk Parity 當中。​∏•

3 将 Risk Parity 擴展至高(gāo®♠ε")階矩

Baitinger, Dragosch, and Toα"palova (2017) 認為(wèi)收益率的 ↔λ(de)三階矩和(hé)四階矩包含了(le)更多(duō)的(de)關↕↑π于風(fēng)險的(de)信息，因此提出可(kě)以考慮在 Risk Parity 中加入三階矩和(hé)四階矩信息。對(duì)于更高(gāo)階矩，因為(wèi)參δ↔™數(shù)估計(jì)的(de)誤差随著(zhe)階數≈​Ω(shù)非線性增加，因此金(jīn)融領域一(yī)般™ ☆不(bù)考慮更高(gāo)階矩。在這(zhè)個(gè)方法中，第一(yī)個(gè>σ$)難點就(jiù)是(shì)計(jì)算(suàn)→π 投資組合的(de)三階矩和(hé)四階矩。下(xià)面以三階矩為(wèi)例>∑♣介紹其計(jì)算(suàn)方法。這(zhè)個(g♦λ≈è)方法出自(zì) Athayde a≤♣→nd Flores (2003)。讓我們從(cóng)熟悉的(de)二階矩說(shuō)起。假設資産的(d Ω≥e)權重向量為(wèi) ω，則投資組合的(de)二階矩為(wèα₹®εi)：

可(kě)見(jiàn)，求解投資組合的(de)二階矩λ™✔✘需要(yào)用(yòng)到(dào)資産之間(jiān÷↕★')的(de)協方差矩陣。因此，為(wèi)了(le)求投資組合的(de)三階₩₽矩，需要(yào)資産之間(jiān)的(de) co-skewnes&' ®s“矩陣”。這(zhè)裡(lǐ)“矩陣”為(wèi)什(sh₩♣én)麽要(yào)加引号呢(ne)？這(zhè)是(shì)因為(π€ wèi) co-skewness“矩陣”不(bù)是(shì)個(gè)×→Ω矩陣，而是(shì)一(yī)個(gè) cubic shape 的≤↑≈✔(de) tensor。下(xià)面請(qǐng)各位調動起空(kōng)間(jiān)想象能(néng)力。這(zhè)個(gè)三階矩 tensor₹ ±★ 可(kě)以想象成以下(xià) n 個(gè) n ×↕ε n 矩陣從(cóng)上(shàng)到(dào≥β★)下(xià)排列成構成一(yī)個(gè)立☆™方體(tǐ)，從(cóng)而得(de)到(dào)一(yī≠≠)個(gè) n × n × n 階 tensor，這(zhα★₽è)就(jiù)是(shì)這(zhè) n 個(g耣÷)資産之間(jiān)的(de)三階矩 tensor。

如(rú)何求解投資組合的(de)三階矩呢(ne)€§？對(duì)于上(shàng)述每一(yī)層的(dγδ★e) n × n 矩陣，運用(yòng)二階矩的(de)計(jì)≤•¶算(suàn)方法，将其左邊乘上(shàng)一(yī)個(gè₽♣→) ω 轉置，右邊乘上(shàng)一(yī)個(gè) ω，因↓₽✔此每一(yī)層得(de)到(dào)一(yī)個(gè)标量，所&>β®以這(zhè) n 層一(yī)共得(de)到(dào) ✘π×Ωn 個(gè)标量（下(xià)圖）。

最後，把上(shàng)述操作(zuò)得(de)到(dào)的(de) nαε‌ 個(gè)标量構成一(yī)個(gè) n 階向量，再和(h§<≤γé)權重向量 ω 進行(xíng)一(yī)次內積，就(jiù)得(de¶£γΩ)到(dào)了(le)投資組合的(de)三階矩。↑÷×上(shàng)述過程的(de)數(shù)學表達式如(rú)下(α>λxià)：

上(shàng)式中，為(wèi)了(le)數(shù)學₹αγ運算(suàn)，将 n × n × n 階 tensor 從(cóng)三維降維展開(kāi)成二維（想想《三體(tǐ)》……）。這(zhè)意味著(zheφ¶©←)将這(zhè) n 個(gè) n × n 矩陣平鋪在一(yī)起構成 M_3 這(zhè)個(gè) n × n λ² 階的(de)矩陣。以上(shàng)就(jiù)是(shì)投資組合 sk§<ewness 的(de)計(jì)算(suàn)方法。對(duì)于投資組合的(de)四階矩 kurtosis，我們需要(yà₹≈o)計(jì)算(suàn)這(zhè)些(xiē)資産間(jiān)的("​de)四階矩 tensor。空(kōng)間(jiān)想象也(yě)↔₩§摟不(bù)住了(le)，索性就(jiù‌↕)直接給出公式，具體(tǐ)請(qǐng)參考 Athayde and Flo&®≤>res (2003)。

其中 M_4 是(shì)降維成二維的(de)四階矩 tensor，它¶≠ 是(shì)一(yī)個(gè) n × n³ 階矩陣。有(yǒu)了(€∏le)投資組合的(de)三階矩和(hé)四階矩的(de)表達式，就(ji≤ ♥≥ù)可(kě)以和(hé) Risk Parity 一(yī)樣✘€&"，計(jì)算(suàn)這(zhè)些(xiē) §高(gāo)階矩對(duì)于資産權重 ω_i 的(de)偏™¥導數(shù)，然後要(yào)求不(bù)同資産對(duì)于組合的(de ↑)不(bù)同階矩貢獻度相(xiàng)同。依照(zhào)這(zhè)個(gè)思路(lù)，Ba∏<itinger, Dragosch, and Topalova (2017)€π‌ 給出了(le)資産配置的(de)最優化(hu>β₽à)方程。下(xià)式中，ARC_{2, i  }、ARC_{3, i}、ARC_{4,≈£☆€ i} 分(fēn)别表示資産 i 對(duì)于投資組合 2、3、&♦∑4 階矩的(de)絕對(duì)風(fēng)險貢獻（A€→​RC 全稱是(shì) absolute  ✔₩risk contribution）。

有(yǒu)小(xiǎo)夥伴可(kě)能(néng)會(huì)注λ>∏意到(dào)，上(shàng)面最優化(huà)問(wèα•λn)題中還(hái)有(yǒu)三個(gè) λ¶♣。加入了(le)三、四階矩的(de) Risk   Parity 理(lǐ)論上(shàng)希望資産×€ 權重同時(shí)滿足以下(xià)三個(gè)約束條件(jiàn)：

在實際求解中，由于上(shàng)述三個(gè)條件(ji<∑✘δàn)難以同時(shí)滿足，因此給每個(gè)約‌σ束加一(yī)個(gè)權重 λ，代表它們的(de)重要(yào)性。₹•比如(rú)，如(rú)果令 λ_2 = 1，λ_3 = λ_4 ♦$= 0，則上(shàng)述問(wèn)題退化(huà)為(wèi)傳統的(>®₩de) Risk Parity 問(wèn)題。在₹£>" Baitinger, Dragosch, and TγΩ¥opalova (2017) 一(yī)文(wén)中，這(zhè•≤)三位作(zuò)者考慮裡(lǐ)以下(xià)這(<$§zhè)些(xiē) λ 取值（其中 ERC_[1,0,0]↑‍> 代表傳統的(de) Risk Parity 方式）。

為(wèi)了(le)考察這(zhè)些(xiē)融合了¥®δ(le)高(gāo)階矩的(de) Risk Parity 資産配置的∞ε↑(de)表現(xiàn)，Baitinger, Drago ♥♠sch, and Topalova (2017) 考£>慮了(le)美(měi)股上(shàng)的(de)一(yīΩ≠♦)些(xiē)常見(jiàn)行(xíng)業(yè)和β♣✘(hé)風(fēng)格因子(zǐ)作(zuò)為(wèi)配置的(de®$)标的(de)。除此之外(wài)，他(tā)們還<•→(hái)考慮了(le)一(yī)些(xiē‌×₽)模拟的(de)資産。

在比較不(bù)同方法的(de)效果時(shí)，除了(le)傳統的(dπ¥e) Sharpe Ratio（下(xià)圖中£​ SR），這(zhè)三位作(zuò)者還(há®∑✔i)考慮了(le) Certainty Equiva >₽↔lent Returns（CER）。這(zhè)是(shì)因為(wèi) S₹"☆R 的(de)計(jì)算(suàn)也(yě)僅僅§±​÷用(yòng)到(dào)了(le)二階矩，故無×←法很(hěn)好(hǎo)的(de)評價這(zδ£hè)些(xiē)配置方法。下(xià)圖給出了(le)考慮不(bù)×<✘λ同階風(fēng)險的(de) Risk Pa¶σrity 方法在上(shàng)述數(shù)據集上(shàng)的(de)配≥✘ε×置效果（圖中 CER 後括号內(nèi)的(de)數(shù"✘&)字表示不(bù)同的(de)風(fēng)險厭(♠&yàn)惡系數(shù)）。

從(cóng)上(shàng)述結果來(lái)看(™​¶£kàn)，如(rú)果僅以 SR 來(lái)論的(de↓♦≈$)話(huà)，考慮了(le)高(gāo)階矩的(de) γ​Risk Parity 和(hé)傳統的(de) Risk Parit≠¥y 互有(yǒu)勝負、難分(fēn)伯仲。以 CER 來(lái)評價的(±♦de)話(huà)則能(néng)從(có ✔£÷ng)一(yī)定程度上(shàng)體(tǐ)現(xiàn)出<™×帶高(gāo)階矩信息的(de) Risk Par✘↓←≈ity 的(de)優勢。對(duì)于上(shàng)述實證結果以及更多(ε♠duō)的(de)仿真數(shù)據集分(fēnλ§δ≥)析結果，Baitinger, Dragosch, and Topal↓φ&ova (2017) 總結道(dào)：在收益分(fēn)布存在明(míng)顯尖峰₽®肥尾特征、且資産間(jiān)相(xiàng)關性更高(gā ₹o)的(de)情況下(xià)，帶高(gāo)階矩信息的(de) Risk P₹σarity 将能(néng)夠比 Risk ParityΩ↓ 有(yǒu)更好(hǎo)的(de)表現(xiàn)。這(zhè)些(xiē)結果表明(míng)帶高(gāo)階矩的(de) ®↔Risk Parity 是(shì)一(σ÷γ→yī)個(gè)值得(de)繼續深入研究的(de)方向。

4 結語

本文(wén)花(huā)了(le)不(b‍×φù)小(xiǎo)的(de)篇幅探討(tǎo)了(le)将尾部風(fēn ≠♠∞g)險融合到(dào) Risk Par♣☆∞ity 進行(xíng)資産配置的(de)方法。利用(yòng)高(gāo)階矩從(cóng)而尋求更好(hǎo)的↔©∑(de)資産配置決策一(yī)直是(shì)學術(shù)界研究的(de✘λ'‌)重點。例如(rú)，Harvey et al. (2010)σα‍ 就(jiù)提出一(yī)個(gè)貝葉斯框架把高(gāo★©₹←)階矩信息融合到(dào)馬科(kē)維茨的(de)均值—₽₩—方差最優化(huà)問(wèn)題中。由于估計(jì)誤差随階數(shù)非線性增大(dà)，因此​©四階以上(shàng)的(de)矩在實際中用(yòng)處有(yǒu)限（F≈<abozzi et al. 2007），所以學ε≈術(shù)界和(hé)業(yè)界把目光(guāng)集中到∞"γ(dào)了(le)三階矩和(hé)四階矩上(shàngφ™Ω)。希望在這(zhè)方面，本文(wén)的(de)介紹能(néng<&÷∏)帶給各位一(yī)些(xiē)啓發。

參考文(wén)獻

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下(xià±≈)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息及數(shù)據或所表述λα<σ的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì≥€×)任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。♦γ♦在任何情況下(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bùσε)對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文(wén)的(de)任&'π$何內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說(shuō∑"∞✘)明(míng)外(wài)，文(wén)中圖↕÷→表均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàng)應論€₹文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版✔←權歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒu)。