更有(yǒu)效的(de)信息聚合方法 ?

發布時(shí)間(jiān)：2022-06-16 | ± ♥ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：協變量的(de)高(gāo)維數(shù)時(shí)代，數(shù)不(∑εbù)勝數(shù)的(de)公司特征都(dōuγ"×↕)和(hé)預期收益相(xiàng)關，然≥φπ而它們之間(jiān)存在不(bù)能(néng)忽視(shì)的(♥↕Ωγde)相(xiàng)關性。在這(zhè)個(gè)背景下(♥₽♠xià)，如(rú)何更好(hǎo)地(dì)聚合協變 ₩σ量包含的(de)預測信息?

對(duì)于資産定價而言，相(xiàng)信到(¥α↔dào)現(xiàn)在你(nǐ)已經接受了(le)協變量的(de≈☆★×)高(gāo)維數(shù)時(shí)代（Kozak,£↕ Nagel and Santosh 2020，Giannone>★σ, Lenza and Primicer£≥←i 2021）。需要(yào)補充背景知(zhī)識的₹ (de)小(xiǎo)夥伴請(qǐng)參考《稀疏性幻覺》。然而，面對(duì)層出不(bù)窮的(de) factor zoo（C₩ ×ochrane 2011，Harvey,‍α Liu and Zhu 2016）背後的(de)公司∏<∑€特征，一(yī)個(gè)自(zì)然的(de)問(wèn)題✔α£★是(shì)：如(rú)何有(yǒu)效地(dì)聚合它們所✔ 包含的(de)預測信息，從(cóng)而形成關于預期收益率更好(hǎo)$₹的(de)預測？

在這(zhè)方面，學界和(hé)業(yè)界的(Ω∑de)嘗試從(cóng)未停止過。比如(rú)，最直接的(de)方法是(shì) Fama-MacB×•eth regression。當然，一(yī)旦協變量個(↑®↔∑gè)數(shù)激增後，這(zhè)個(gè)方法就(jiù)會(h><γuì)受到(dào)各種計(jì)量經濟學問(wèn)題的(de)§α♥困擾。又(yòu)比如(rú) rank-base<↓★d approach，即根據取值高(gāo)低(dī)将股票(piào)在每個™©δγ(gè)公司特征上(shàng)排名，然後求均值得(de)↑≠ α到(dào)綜合排名。這(zhè)個(gè)方法±∏在 Stambaugh, Yu and Yuan (‌>‍2015) 以及 Stambaugh and Yuan (201★☆¶←7) 中大(dà)放(fàng)異彩，也(yě)同時(shíα₽≥)出現(xiàn)在 Asness, Frazzini andγ♦∑σ Pedersen (2019) 的(d•₩e) QMJ 因子(zǐ)構造之中。再比如(rú)各種機(jī)器(qì)學習(xí)算(s☆®αuàn)法，這(zhè)其中以 PCA 為(wèi)代表（Kelly,'∏¥ Pruitt and Su 2019，Kozak, Nagel and φSantosh 2020），也(yě)在聚合預測信息的(de)¥©εφ時(shí)候發揮了(le)很(hěn)大(dλ≥±à)的(de)作(zuò)用(yòng)₩ ✔。另外(wài)，Lettau and Pelger (2020a, b)× ♦ 的(de) risk premium δ♥→φPCA 也(yě)是(shì)這(zhè)類方™≠δ£法的(de)拓展。《實證資産定價理(lǐ)論新進展》一(yī)文(wén)的(de)聚合因子(zǐ$≠→≠)信息一(yī)節對(duì)上(shàng)述方•$法有(yǒu)更多(duō)的(de)介紹。

除此之外(wài)，Light, Maslov and Ryt®♦chkov (2017) 通(tōng)過将預期收益率視(shì)為(λ♣φ≥wèi)隐性變量（latent variable），利用(yòng) part®¶♦ial least squares（PLS）提出了(le)一(yī)種新的(d↓"↔↑e)方法。該方法實操起來(lái)方便，在直覺上(shàng>>∏✘)也(yě)頗具吸引力。

令 $\mathcal{F}_t$ 表示 $t$ 時(shí)刻所有(yǒu)的(de)信息，則 $t$ 時(shí)刻關于股票(piào)收益率的(de)最佳<↔'預測為(wèi)：

$\displaystyle \mu_{it}=\mathbb{E}[R_{it+1}|\mathcal{F}_t].$

由已實現(xiàn)收益率和(hé)預期收益率之間(♥₽§jiān)的(de)關系，我們進而有(yǒu)：

$\displaystyle R_{it+1}=\mu_{it}+\varepsilon_{it+1}.$

對(duì)于進行(xíng)分(fēn)析的( €de)計(jì)量經濟學家(jiā)而言，預期收益率 $\mu_{it}$ 是(shì)無法觀測的(de)，而且他(tā)也(yě)↔™不(bù)具備 $\mathcal{F}_t$ 所包含的(de)全部信息。取而代之的(de)是(shì)，他(tā)能(n "éng)夠觀測并收集大(dà)量的(de)公司特征 $X_{it}^a, a=1,\cdots,A$ 。在此基礎上(shàng)，Light, Maslov and Rytchkov ©π (2017) 方法的(de)核心假設是(s™€★hì)隐性變量 $\mu_{it}$ 是(shì)公司特征空(kōng)間(jiān)中唯一 £&π(yī)和(hé)未來(lái)收益率有(yǒu)關的(de)變量，即公∞ 司特征和(hé)預期收益率滿足如(rú)下(xià)關系←λ（在擴展的(de)模型中，他(tā)們假設預期收益率由多(d±&δ™uō)個(gè)隐性因子(zǐ) span 而成，感興趣的(de >)小(xiǎo)夥伴請(qǐng)閱讀(dú'≈ ‌)原文(wén)）： $\displaystyle X_{it}^a=\delta_t^a(\mu_{it}-\bar{\mu}_t)+u_{it}^a.$ 在該模型中， $\bar{\mu}_t$ 為(wèi) $t$ 時(shí)刻預期收益率在截面上(shàng)的(de)均值，而↕α $\delta_t^a$ 刻畫(huà)了(le)公司特征和(hé)±δ♠↓ demean 之後預期收益率的(de)關系。

由于預期收益率是(shì)隐性變量，因此計(jì)量經濟學家(j ¶★iā)的(de)任務就(jiù)變成如(rú)何通(tōng)過可(kě)•φ↔觀測到(dào)的(de)已實現(xià★σn)收益率 $R$ 和(hé)公司特征 $X$ 來(lái)估計(jì) $\mu$ 。為(wèi)此，Light, Maslov and Rytchkov (₩↕☆φ2017) 使用(yòng)了(le) PLS。從(cóng)直覺上(s εhàng)說(shuō)，PLS 類似 PCA，也(yě)是(s•‍hì)從(cóng)一(yī)大(dà)堆變量（公¥¥γ司特征）中提取公共的(de)信息。然而，它們之間(j₩↕iān)的(de)差異是(shì)，PCA 提取的(de)目φ‍标是(shì)最能(néng)解釋這(zhè)些(xiē)變量共同$±₽運動的(de)信息，而 PLS 的(de)目标則是(shì)從(cóng)這φ‍(zhè)些(xiē)變量之中提取出信息，使得(dα≈e)該信息和(hé)目标（即被預測的(de)）變量之間↕™✘✔(jiān)的(de)協方差最大(dà)化(huà)。

The main objective of PLS i☆∞÷♦s the extraction of a common fa≤♦ctor from a set of predictive variabl©∑§es that has the highest covariance wi¥ ₹'th the predicted (target) va§↑ riable. In contrast to PCA and factor α∞analysis, which also extract one •✔or few factors that concisely describeδ♣₽ the variability of data an$‍₩∏d correlations between predictor >πλs, respectively, PLS identifies a∏♣ε factor with the best ability to prφεedict the target variable even tσ±hough this factor may no★↕t be the most important ™₹πsource of common var™αiation in the predictors.

按照(zhào) Light, Maslov and Rytchk‍αov (2017) 自(zì)己的(de)話δ♦φ←(huà)說(shuō)，PLS 的(de)這(zhè)個(gè)特點正是(↕÷shì)它相(xiàng)比于 PCA 的(α↔≈de)優勢所在。因為(wèi)有(yǒu)些(xiē)公共信息僅僅解釋了₩α(le)特征的(de)共同波動但(dàn)是(s↑↔₩✔hì)卻和(hé)預期收益率無關，這(zhè)些(xiēφ")信息對(duì)于解釋資産的(de)預π≠♠期收益率來(lái)說(shuō)是(s↕ ¥‌hì)沒有(yǒu)幫助的(de)，因此會(huì)影(yǐng)響 β↔PCA 的(de)結果，而 PLS 卻不(bù)會€∏(huì)。為(wèi)此，該文(wén)提出了(le)一(yī)個(gè)兩步截面回‌$>歸來(lái)估計(jì)預期收益率：

在第一(yī)步中，用(yòng) $t$ 期已實現(xiàn)收益率分(fēn)别對(d™₹‍uì) $t-1$ 期每個(gè)公司特征獨立進行(xíngΩ$§)截面回歸，得(de)到(dào)每個(gè)特征各自(zì)的(de∏¶♥)斜率 $\lambda_t^a$ 。在第二步中，對(duì)每個(gè)公司 $i$ ，将 $t$ 時(shí)刻的(de)公司特征 $X_{it}^a$ 對(duì)第一(yī)部得(de)到(dào)的(de) $\lambda_t^a$ 進行(xíng)回歸，得(de)到(dào)斜率 $\hat{\mu}_{it}$ 。Light, Maslov and Ry™γ tchkov (2017) 證明(míng)了(le)第二≈×步回歸所得(de)到(dào)的(de)斜率的(↔$©de)統計(jì)特性，指出它就(jiù)是(shì) $t$ 時(shí)刻截面上(shàng) d>'σ♣emean 之後預期收益率的(de)估計♠<α(jì)（up to a scaling factor）。

值得(de)一(yī)提的(de)是(shì)，在∏Ω∑ 上(shàng)述兩步估計(jì)中，第一(yī≥✔)步僅用(yòng)到(dào)了(le) $t$ 和(hé) $t-1$ 時(shí)刻的(de)信息，而第二步僅用(yòng)到(α≥©☆dào)了(le) $t$ 時(shí)刻的(de)信息。因此這(zhè)不(bù)僅僅是(shì)₹ε一(yī)個(gè)事(shì)後的(de) in-sample tes¶•↕∞t，而且還(hái)是(shì)在實際投資中可(kě)以用(yòng)來≠★(lái)構造樣本外(wài)投資組合的(Ω₹♦de)方法。在樣本外(wài)使用(yòng)時(shα≠σ§í)，有(yǒu)兩點需要(yào)注意。首先，上(shàng)述估計(jì™$)值和(hé)真實 demean 預期收®Ω↕•益率差了(le)一(yī)個(gè) scaling fac<γ'>tor。第二，即便沒有(yǒu) scaling factor 的(γα₽de)顧慮，上(shàng)述估計(jì)也(yě)是(sφ§hì)截面上(shàng) demean 的δ £(de)預期收益率。所以如(rú)果基于該預期收益率的(de)估計(jì)來↕☆✔"(lái)進行(xíng)樣本外(wài)選股，那(n♥"→à)麽 portfolio sort 無疑就(j""£ iù)是(shì)最自(zì)然的(de)選擇，因為♠♦(wèi)它不(bù)受 scaling 或者 shift 的(deγ↑)影(yǐng)響。這(zhè)也(yě)正是(shì) Light, ÷✘γ→Maslov and Rytchkov (2σ→Ω017) 在實證中采用(yòng)的(de)方法。此外(wài)，在實操層面，還(hái)有(yǒu)另外(wài)一(y♥¥ī)個(gè)技(jì)巧。上(shàng)述↑λ"∏兩步法的(de)第一(yī)步類似 Fama-λΩ¶↕MacBeth 的(de)第二步，使用(yòng)¶σ♠單期收益率對(duì)單期公司特征回歸（FM 是(¶☆shì)對(duì) beta 回歸），得(de)到(dào) $t$ 期的(de) $\lambda_t^a$ 。考慮到(dào)單期數(shù)據噪聲比較大(dà)，β"×因此可(kě)以使用(yòng)過去(qù)一×™(yī)段時(shí)間(jiān)的(dλ♦≈e)數(shù)據，并在每一(yī)期 $s\le t$ 進行(xíng)估計(jì)，并将它們的(de) $\lambda_s^a$ 取平均得(de)到(dào)更準确的(de) $\lambda$ 。

在實證中，該文(wén)選擇了(le)文(w×± ±én)獻中常見(jiàn)的(de) 26 個(gè)公司₩≤特征作(zuò)為(wèi)被聚合的(de)對±∑≥•(duì)象。下(xià)圖展示的(de)就(ji≤β∏ù)是(shì)該文(wén)的(de) portfolio sort>←↕ 結果，其中 Panel A 在估計(jì) $\lambda$ 時(shí)僅使用(yòng)了(le) $t$ 和(hé) $t-1$ 期的(de)信息；後面三個(gè) Panels 則利用(yòng)了(leε± ≤)上(shàng)述多(duō)期平均技(jì)巧。得'≤(de)到(dào)預期收益率的(de)估計(jì)之後，根據其¶↑♠♠高(gāo)低(dī)将股票(piào)分(fēn ÷)成 10 組，然後檢驗每組以及 10 – 1 組的 γ&(de)收益率（同時(shí)考慮等權和(≠₩σhé)市(shì)值加權）。

從(cóng)結果中可(kě)見(jiàn)：（1）無論等權還(hái)α₩是(shì)市(shì)值加權，以 PLS 得(de)到(dào)的(₹ >de)估計(jì)值構造的(de)對(duì) σ沖組合總能(néng)獲得(de)顯著的(de)超額收益；（2）當使用(y₽™÷®òng)多(duō)期平均來(lái)估計(jì)時£α&(shí)，超額收益率無論在經濟上(shàng)還(>±¶hái)是(shì)在統計(jì)上(shàn→ ♦λg)都(dōu)更加顯著。除此之外(wài)，通(tōng)過比較信息聚合和(hé)§≥這(zhè) 26 個(gè)單一(yī)變量，作(zuò)者同樣指出兩點¶‍§×：（1）這(zhè)些(xiē)變量在預測收益率方面确實‌↓ &存在一(yī)些(xiē)共性，這(zhè)也(y♦÷∏ě)支撐了(le)該文(wén)提出的(de)模型；（2）盡管如($£rú)此，不(bù)同變量仍然包含了(le)關于預期收益率的(de)不(bùΩ‌)同信息，隻不(bù)過每個(gè)單一(yī)變量都(dōuσ©<♣)是(shì)其所包含預測信息的(de)噪聲版本。

為(wèi)了(le)說(shuō)明(míng) ×∏ PLS 的(de)過人(rén)之處，Light, Ma✘"•§slov and Rytchkov (2017) 将其和(h✔€ε&é)本文(wén)第一(yī)節提到(dào)的(dλ¶e) Fama-MacBeth regression、rank-base♠☆d approach、PCA 以及 factor a∏≠∏δnalysis 進行(xíng)了(le)對(du$↕β<ì)比。後面這(zhè)些(xiē)信息聚合方法的(de¶π)實證結果如(rú)下(xià)表所示。

以構造的(de)對(duì)沖組合超額收益率的(dπ≈e) t-statistics 而論，PLS 方法優于上σλ(shàng)述其他(tā)信息聚合方法，而和(hé) PLS 最接近(jìγ≈n)的(de)要(yào)數(shù) rank-ba↓★±sed approach。就(jiù)這(zhè)÷₽✔個(gè)結果而言，學界和(hé)業(yè)界常用(yòng)的(de) ←δ← rank-based approach♥♥∑♦ 也(yě)是(shì)很(hěn)有(yǒ₽∞¥u)效的(de)方法。

本節在 A 股市(shì)場(chǎng)對(duì)上(shàng)述 PL∞∑•S 方法進行(xíng)實證，看(kàn)看(kànδ£γ)和(hé)人(rén)們更熟悉的(de) rank-basλε☆↕ed approach 相(xiàng)比結果如↑±(rú)何。實證中使用(yòng) BetaPlus 小(xiǎo)組在《一(yī)個(gè)混合四因子(zǐ)模型》一(yī)文(wén)中介紹的(de)十個(g☆₩¥ è)協變量，它們包括賬面市(shì)值比（BM）、短(du♠®α×ǎn)期反轉、特質波動率、MAX、異常換手率、SUE、ROA®&、應計(jì)量、動量以及流動性沖擊。計(jì)算Ω↔(suàn)說(shuō)明(míng)見(ji λ àn)下(xià)表。數(shù)據窗(chuā $βΩng)口橫跨 2000 年(nián) 1 月(yuè) 1 ₽£日(rì)至 2022 年(nián) 5 月(yuè) 31 日(r☆•ì)。

對(duì)于 PLS 來(lái)說(shuō)，首先每月(yuè)對(∏↔'$duì)每個(gè)指标在截面上(shàng)進行(xí© £ng)标準化(huà)（具體(tǐ)數(shù)'γβ據處理(lǐ)方法請(qǐng)參考《因子(zǐ)投資：方法與實踐》的(de) 3.1 節），然後采用(yòng)≈前文(wén)介紹的(de)兩步回歸法，估計(jì)每個(gè§)月(yuè)每支股票(piào)的(de)預期★$收益率，并以估計(jì)值的(de)高(gāo)低(dī)作(zuò)>¥ε為(wèi)分(fēn)組排序的(de)依據。在實證中≤β★π，在兩步法的(de)第二步中，對(duì)于 $\lambda$ ，我們同時(shí)考慮了(le)以下(x£↑ià)幾種情況：（1）僅用(yòng)當期 $\lambda$ ；（2）分(fēn)别使用(yòng)過去↓ ™γ(qù) 12 個(gè)月(yuè)、→‌36 個(gè)月(yuè)以及 60 個(gè)月(♠©$yuè) $\lambda$ 均值的(de)情形。為(wèi)了(le)和(hé) PLS 方法比較，實證中•&的(de)另一(yī)種信息聚合方法采用(yòng)Ω"₽平均 z-score 方法，即同樣每月(yuè)在 ¶截面上(shàng)将每個(gè)變量标準化(huà)得(→♠©±de)到(dào) z-score，并通(tōng↑→)過其和(hé)預期收益率的(de)關系¶"調整其方向，然後取十個(gè)變量 z-score 的(dεπe)均值作(zuò)為(wèi)該股票(piào)當月(y€→¥÷uè)最終的(de) z-score，并以 z$λ¶α-score 的(de)高(gāo)低(dī)進行(xínσ÷σ≤g)分(fēn)組排序的(de)依據。由于在 PLS 方法中使用(yòng)最✔↔φ長(cháng) 60 個(gè)月(yuè)的(deα§)數(shù)據計(jì)算(suàn) $\lambda$ 均值，因此為(wèi)了(le)統一(yī)比較，實↓≠φ₩證的(de)窗(chuāng)口的(de)起始時(shí)間(jiān)≤¶δ較數(shù)據起始時(shí)間(jiān♣♠¶)後移 60 個(gè)月(yuè)，即從(cón↕ ♥g) 2005 年(nián) 1 月(yuè) 1π→≥↔ 日(rì)開(kāi)始。下(xià)面兩張表分(fēn)别給出了(‍≠↕&le)等權和(hé)市(shì)值加權的(de)結果。

觀察上(shàng)述結果，可(kě)以總結出兩♥✔點：（1）由于估計(jì)誤差，使用(yòng)當期 $\lambda$ 作(zuò)為(wèi)第二步的(de)輸入難以取得(de)很&→ γ(hěn)好(hǎo)的(de)結果，而一(yī)旦采用(yòng)了α✘ ✔(le)過去(qù) $T$ 期 $\lambda$ 均值之後，PLS 方法的(de)結果都(←✔↔dōu)有(yǒu)明(míng)顯的(de)提¶'∞✔升。（2）然而，無論是(shì)等權還(hái)是™>δ(shì)市(shì)值加權，即便使用(yòng)了(le)過去(qù) ₽'60 期 $\lambda$ 均值，PLS 方法的(de)聚合結果都(dōu)β≤'✔不(bù)如(rú) z-score 均值法，這(zhè)體(tǐ)✘γ₽‍現(xiàn)在兩種方法構造的(de)多(duō>←•$)空(kōng)對(duì)沖組合月(yuè)均收益率的(de)差÷★×異上(shàng)。但(dàn)是(shì)值得(de)一(yī)提¶↑δ♣的(de)是(shì)，如(rú)果僅看(kàn)多(duō)頭，那(nà)麽÷™當采用(yòng)市(shì)值加權時(shí)，以過₩✘¥∏去(qù) 60 期 $\lambda$ 均值為(wèi)第二步輸入的(de) PL•σS 方法和(hé) z-score 方法十分(fēn)接近¥ ♦§(jìn)。

和(hé) Light, Maslov and Rytchkov (201≤∏£≤7) 一(yī)文(wén)基于美(měi)股的(de)結果相(xiàng)比☆ ♦，在業(yè)界更常用(yòng)的(dα♠§φe) z-score 均值面前，PLS 兩步βσβ法似乎并沒有(yǒu)什(shén)麽過人(rén)‍β↑之處。但(dàn)是(shì)，我們也(yě)不(σ±bù)應僅僅基于以上(shàng)有(yǒu)限的(de)結果就(ji‍¶β←ù)那(nà)麽快(kuài)對(duì) PLS 方法在 A 股的(d✘★πe)表現(xiàn)下(xià)定論。今後可(kě)以通(tōng§ )過更多(duō)的(de)穩健性分(fēn)析來≤σ(lái)考察其能(néng)夠發揮的(de)作(zuò)用¥₽(yòng)。

在協變量的(de)高(gāo)維數(shù)時(shí)$↑代，如(rú)何聚合不(bù)同變量涵蓋的(de)預測信息是(shì)非常≥®π 重要(yào)的(de)課題。在這(zhè)方∞ ≥面，研究的(de)思路(lù)應著(zhδσ&"e)眼于剖析并有(yǒu)效利用(yòng)不('×bù)同變量所涵蓋的(de)共有(yǒu)信息、每個(gè)•‌£₽變量所攜帶的(de)獨有(yǒu)信息，以及剔除每個(g♦$≈è)變量所涵蓋的(de)巨大(dà)的(de)噪聲。Lig&•‍∑ht, Maslov and Rytchkov (&↔∑‌2017) 為(wèi)此提供了(le)有(yǒu₩∏∏)益的(de)思路(lù)。

然而，我們對(duì)信息聚合的(de)追求Ω 并不(bù)能(néng)止步于此。信息聚合的(de)目标是(shì)為(wèi)了(le£π±σ)獲得(de)更加準确的(de)估計(jì)，因此無論是(shì)采用∞☆(yòng)前文(wén)介紹的(de)Ωδ↑ PLS 還(hái)是(shì)其他(tā)方法（盡管這(zhè)♣¥"些(xiē)方法的(de)效果有(yǒu)所差異），聚合後的(de)變±✘σ♥量較單變量來(lái)說(shuō)都(dōu)會(huì)獲得(de)≈✘™↓更加顯著的(de)超額收益。然而，這(zhè)後面↓ ★一(yī)個(gè)巨大(dà)的(de)但(dàn)卻往往被人(ré© ±&n)們忽視(shì)的(de)假設是(shì)，被用(♣∞yòng)來(lái)信息聚合的(de)單變量都(dōu)是(shì)真¶→ ≈實的(de)。可(kě)是(shì)，如(rú)果某些(xiē)或絕大≥≠♥(dà)部分(fēn)協變量和(hé)預期收益率之間(ji♣γ↔λān)的(de)關系是(shì)虛假的(de)（p-hacking），那(nà)麽聚合之後又(yòu)會(huì)±σ如(rú)何呢(ne)？是(shì)否會(huì)“錯(cuò)上(σshàng)加錯(cuò)”呢(ne)？如(rú)果是"↑✔±(shì)的(de)話(huà)，又(yòu)是(shì)否有(yǒu)什(s€‍★§hén)麽更好(hǎo)的(de)辦法來(↔lái)降低(dī)聚合的(de)危害嗎(ma)？

我們擇日(rì)再議(yì)。

（Hint：對(duì)于這(zhè)個(gè)問(w‍↕èn)題，Rytchkov and Zhong (20φ↔$20) 給出了(le)答(dá)案。）

參考文(wén)獻

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