有(yǒu)沒有(yǒu)哪個(gè)趨勢指标更∏γ好(hǎo)使？

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：趨勢追蹤策略成功的(de)關鍵在于選擇适當的(de)時(δ"∏shí)間(jiān)尺度、倉位控制(zhì)、投資組合構建以及風(fēng©∞>β)險管理(lǐ)等要(yào)素。與這(zhè)些(xi★≈ē)相(xiàng)比，具體(tǐ)使用(yòng)哪個(gè)方法來(láσ©i)計(jì)算(suàn)趨勢則沒那(nà)麽重要(yào)。

1 引言

市(shì)場(chǎng)中有(yǒu)句老(lǎ∑≥o)話(huà)“趨勢是(shì)你(nǐ)的<¶£&(de)朋(péng)友(yǒu)”。無論是(sφ₩§♥hì)表現(xiàn)不(bù)俗的(de) ≠±CTA 策略還(hái)是(shì)股票(piào)市(shì)場(&&®→chǎng)的(de)動量因子(zǐ)，都(dōu)是(shì)依靠追蹤®✘ "趨勢而構建的(de)成功策略的(de)典範。≠§而在技(jì)術(shù)層面，各種捕捉趨勢的(±♣↓de)方法也(yě)是(shì)層出不(bù)窮：基于收益率的(de)時(s>≈hí)序動量、來(lái)自(zì)技(jì)術(shù)≤¥♠分(fēn)析的(de)均線交叉或通(tōng)道(dào)突破、各種 sta→≥≤te space 模型比如(rú)卡爾曼濾波、基于價格的∞₽(de)線性回歸、甚至是(shì)頻(pín)域分(fēn) "析（如(rú)傅裡(lǐ)葉變換、小(xiǎo)波分(fē§λ↕☆n)析等，見(jiàn)《頻(pín)域分(fēn)析，難覓上(shàng)帝奏出的(de)旋φ≥ε律》）。

當某種方法的(de)回測結果不(bù)是(shì)那(nà)麽給力的(de)時↑‍‌(shí)候，人(rén)們的(de)第一(yī)反應總☆↕是(shì)尋找下(xià)一(yī)個(gè)（更複雜↑<✔(zá)）的(de)方法來(lái)計(jì)算(suàn)趨勢。✘λ然而究其核心，上(shàng)述方法都(dōu)是(shα‍£↕ì)基于價格或者收益率的(de)時(shí)間(jiān)序列計¥•$(jì)算(suàn)出來(lái)的(de)，真的(de)有(yǒδδu)哪種方法或者指标顯著優于其他(tā)方法嗎(ma)？這(zhè)就>λ(jiù)是(shì)本文(wén)關心的(de)π★∑'問(wèn)題。為(wèi)了(le)回答(dá)這(zhè)✘§個(gè)問(wèn)題，Levine an♣δ¥d Pedersen (2016) 提出了(le) trend signature plots（趨勢簽名圖）這(zhè)個(gè)概念。其目的(de)是(shì)把不(bù)同♠↑計(jì)算(suàn)趨勢的(de)方法繪制(zhì)成價格或者收♥←益率的(de)權重随時(shí)間(jiān)變化(huà)的(de)函數(sφ✘‍hù)，以此來(lái)橫向比較不(bù)同的(de)趨勢指标€↑☆。下(xià)面就(jiù)來(lái)用(yòng)時(shí)序動量和(hé ↓)均線交叉來(lái)解釋 trend signature α "plots。

2 時(shí)序動量 vs 均線交叉

為(wèi)了(le)便于討(tǎo)論和(hé)數Ωδ←(shù)學推導，假設我們考慮對(duì)數(shù)價格 —— 因為(w→¶γ☆èi)對(duì)數(shù)價格的(de)差分(fēn)就(jiù)是(sh€€ì)對(duì)數(shù)收益率，這(zhè∏≤ )樣就(jiù)可(kě)以非常簡單的(de)在價格γ☆Ω≈和(hé)收益率之間(jiān)轉換，從(cóng)而比較>♦✔不(bù)同的(de)趨勢計(jì)算(suàn)方法。時(shí)序動量一(yī)般的(de)計(jì)算(suàn)方法為(>±wèi)使用(yòng)過去(qù)一(♣α≠yī)段時(shí)間(jiān)的(d✔"•©e)收益率進行(xíng)加權平均（通(tōng)常₩®的(de)做(zuò)法是(shì)等權），以此得(de)到(d←±≈ào)趨勢指标。假設當前時(shí)刻為(wèi) t，則 t 時(shí)刻的(de)時(©₽₽∑shí)序動量（time series mom&¶✔‌emtum）指标 TSMOM_t 可(kě)以寫成如(rú)下(xià)形式©→：

為(wèi)不(bù)失一(yī)般性，上(shàng)式寫成了(l'Ωe)無窮級數(shù)的(de)形式。在實際應用(yòng)中，對(duì₩¶ )于給定的(de)計(jì)算(suàn)窗(chuāng)口  £ λN，隻需要(yào)令所有(yǒu) s > N 的(de)©→Ω‌權重 c_s 等于零即可(kě)。再來(lái)看(kàn)看(kàn)均線交叉（movi<><ng average crossover）。它是(shì)使用(yòng)快(kuà​&i)、慢(màn)兩個(gè)均線構成的✘®±σ(de)趨勢指标。每個(gè)均線都(dō↕​u)是(shì)給定窗(chuāng)口內(n‍→↑♣èi)價格序列的(de)加權平均（因權重不¶"≠δ(bù)同可(kě)以有(yǒu)簡單移動平均、指數(shù✘≠φ)移動平均等），趨勢信号則是(shì)快(kuài)、慢(màn)兩個(•™♦gè)均線之差。均線交叉的(de)數(shù)學表達式如(rú)下(xià)：

直觀比較 TSMOM 和(hé) MACROSS$↕© 兩個(gè)計(jì)算(suàn)趨勢的(de)方法，它們看(kàn)上£•(shàng)去(qù)似乎差别很(hě≈‌₩₽n)大(dà)。但(dàn)是(shì)， ©通(tōng)過簡單的(de)數(shù)學推導​ ​可(kě)以發現(xiàn) MACROSS 可(kě)以很(hěn)容易的(de)表達為(wèi)收益率序 →≈™列按照(zhào)某種特定權重加權的(de)組₽₹<合。具體(tǐ)來(lái)說(shuō)，從(cóng) <®∏ TSMOM 的(de)定義出發，将其轉化(huà)為(w₩ ±₽èi)如(rú)下(xià)形式：

比較上(shàng)式和(hé) MAC✘•€♥ROSS 的(de)定義就(jiù)可(kě)以看(k÷§àn)到(dào)收益率的(de)權重 c_s 和(hé) MACROSS δ↔★γ權重 w_s^{fast} 及 w_s^{slow} 之間(jiān)的(d<₹±δe)關聯：

該結果意味著(zhe)，隻要(yào)按照(zhào)上(shàng)述±↔ c_s 對(duì)收益率進行(xíng)加權平均，得(de)到(dσδ∑ào)的(de)趨勢信号就(jiù)等價于均線交叉。利用(yòng)這(zhè)種等價性就(j ‍£iù)可(kě)以把不(bù)同的(de)↓←☆趨勢計(jì)算(suàn)方法繪制(zhì)成不(bù)同時 ¥★(shí)刻收益率的(de)權重随 s 的(de)變化(huà×$₽<)，以此得(de)到(dào) trend $"signature plot。需要(yào)指出的(de)是(shì)，通(t‌∏≤↓ōng)過轉換價格權重得(de)到(dào)的(de)♣α 收益率權重序列之和(hé)并不(bù)等于 1。為(wèi)了(l∏π←e)比較不(bù)同方法的(de) trend signature σ&≈♠plots，需要(yào)對(duì)收益 ∞£×率權重進行(xíng)歸一(yī)化(huà)☆¶☆ 處理(lǐ)。

上(shàng)述基于均線交叉的(de)推導也'©(yě)可(kě)以推廣到(dào)更一(yī)般♦‍的(de)情況。假設某種趨勢計(jì)算(suàn)方法是(shì✘≥✔≤)價格序列的(de)加權：Σw_iP_i，則其對(duì)應的(de)‌÷收益率加權系數(shù)為(wèi)：

其中 A 是(shì)将 c_s 序列歸一(yī)化(huàσ≥)的(de)系數(shù)。下(xià)圖展示了(le‍♠•§)三種不(bù)同方法的(de) trend signature plγ ots（橫坐(zuò)标最左側 s = 0 代表≈↓δ著(zhe)最新的(de)時(shí)刻、橫坐(zuò)标增大≤↓±>(dà)代表時(shí)序 lag 增大(dà)），≈☆它們分(fēn)别為(wèi)：

從(cóng)上(shàng)圖不(bù)難看(kàn)出，盡管時(shí)↑∑←α序動量和(hé)均線交叉聽(tīng)起來(lái)截然不(£ γbù)同，但(dàn)它們背後的(de)趨勢簽名其實相(xiàng)差的("✘de)并不(bù)大(dà)；而同屬于均線交•↓☆♥叉的(de)簡單平均和(hé)指數(shù•  ♦)平均，它們之間(jiān)的(de)相(xiàng)似性就¥<βδ(jiù)更高(gāo)了(le) —— 這(zhè)說(shu↕★€ō)明(míng)如(rú)果簡單移動平均的(de)效果不(bù)好(hǎ✔φo)而寄希望于指數(shù)移動平均發揮什( ☆♥δshén)麽神奇的(de)效果，實在是(shì)有(yǒu)些(xi∞♠ē)不(bù)切實際。

3 其他(tā)線性算(suàn)法

本節再來(lái)考慮其他(tā)兩種常見(jià ×££n)的(de)計(jì)算(suàn)趨勢的(de)線性方法：卡爾曼π<•&濾波（Kalman 1960）和(hé)線↕  性回歸。卡爾曼濾波是(shì)一(yī)種從(cóng)帶噪"™聲的(de)動态線性系統中估計(jì)隐含狀态的(de)有(yǒu)效方法。以價格序列為(wèi)例，最簡單的(de)模型是(shì) random ‍​ πwalk + local trend，而 trend 的(de)取值©πλ£是(shì)不(bù)可(kě)觀測的(de)，需要(yào÷♥≠)使用(yòng)卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)。Harve>©↑ y (1984) 指出，當使用(yòng)卡爾曼濾波分(fēn)析 lo'≤φcal trend 模型時(shí)，對(←★§duì) local trend 的(de)最優估計(jì)是(shì)收≠©©益率序列的(de)指數(shù)移動平均。下(xià)圖比較了(le)三種不(bù)同趨 '勢計(jì)算(suàn)方法的(de) tr<™end signature plots：

相(xiàng)比較其他(tā)兩種方法，卡爾曼濾波偏重于賦予近(jìn)期®→λ☆的(de)收益率更高(gāo)的(de)權重。其他(tā)常見(jià♦®n)線性濾波器(qì)還(hái)有(yǒu) HP filter（₽$✘Hodrick and Prescott 19←♦₽97），也(yě)可(kě)以得(de)到(dào)類似的(de)結果，αδ∏這(zhè)裡(lǐ)不(bù)再贅述。再來(lái)看(kàn)看(kàn) OLS 線性回歸。以™&α下(xià)圖為(wèi)例，線性回歸使用(yòng)過去(qù)一® ≥ε(yī)段時(shí)間(jiān)的(d‍™¶↕e)價格序列在時(shí)序上(shàng)進行(xíng)線性拟合 P_s ​♣= α + βs + ε；回歸系數(shù) β 的(de)正負則代表著(ε¥♣<zhe)趨勢上(shàng)漲或者下(xià≈>¥<)降。

具體(tǐ)而言，假設用(yòng)于回歸的(de)（☆♥₽對(duì)數(shù)）價格序列窗(chuāng)口為(wèi) N，則 N‌©£₽ 對(duì)樣本點分(fēn)别為(wèi) (1, α‌↓δP_{t-N+1}), (2, P_{t-N+2}), …, (N-€≠↔1, P_{t-1}), (N, P_t)。由 OLS 的(d↓γβe)定義可(kě)知(zhī)，β 的(de)估計(jì)值為(wèi)β≠±：

其中 \bar P 是(shì) N 期價格均值。此外ε β∞(wài)，通(tōng)過簡單的(de)代數(s↔δ≠hù)運算(suàn)可(kě)知(zhī)：

因此，β 的(de)估計(jì)值可(kě)以進一(yī)步簡化(huà)為€σ(wèi)如(rú)下(xià)形式：

上(shàng)式說(shuō)明(míng)，β 的(de)估計(σ↕jì)值是(shì)價格序列的(de)線性加權。因此我們可(kě)以利用ε∞$↔(yòng)上(shàng)一(yī)節提到(dà♠£✔♥o)的(de)處理(lǐ)方法将它轉化(huà)為(π≤₽wèi)收益率加權，從(cóng)而得(​λde)到(dào) trend signature plot。最後，下(xià)圖比較了(le)三種不(bù)同趨勢計(jì)算(suàn<γ)方法的(de) trend signature plots，說(♥​♦shuō)明(míng) OLS 計(jì)算₩≤¶(suàn)的(de)趨勢信号和(hé)₩✘♦↓ TSMOM 以及 MACROSS 并無本質的(de)區(qū)别：←£∏

在本小(xiǎo)節和(hé)上(shàng)一(y§©ī)節的(de)對(duì)比中，我們在選取不(bù)同趨勢↓§•計(jì)算(suàn)方法的(de)參數(shù)時(shí)，刻意要(←‌'"yào)求它們計(jì)算(suàn)趨勢的(de)時(sh¥¥§í)間(jiān)尺度是(shì)相(xiàng)同的(de)（隻有(y™β"&ǒu)這(zhè)樣的(de)比較才有(yǒu)意義）。這(zhè)一(y↑≈ī)點是(shì)非常重要(yào)的(de)，它說(shuō)明(mín☆>λ‍g)一(yī)旦選定了(le)時(shí)間(jiān)尺度，則不(bù)同的(¶✘de)趨勢計(jì)算(suàn)方法的(de)效果非常♦ ''接近(jìn)。歸根到(dào)底，這(zhè)些(xiē)趨勢計≥‌¶(jì)算(suàn)方法都(dōu)可(kě)以轉化(huà₩¶₽>)成各自(zì)的(de) trend signature ↑≈↔plot 來(lái)表示，雖然它們的(↔​‌λde)形态有(yǒu)些(xiē)差異，但(dàn)其本質仍然都(dō> ​u)是(shì)收益率的(de)某種加權平均。

4 一(yī)個(gè)例子(zǐ)

本節使用(yòng) Levine and ♦☆‍Pedersen (2016) 的(de)例子(zǐ)來(lái)對♥∑(duì)比 TSMOM 和(hé) MACROSS 兩種方法， ₹并說(shuō)明(míng)對(duì)于趨勢策略，計(jì)算(suàn)趨勢λ≥ ♠的(de)時(shí)間(jiān)尺度遠(₹₩σ€yuǎn)比給定尺度下(xià)選擇哪種計(jì)算(suà♥​♥€n)方法更重要(yào)。具體(tǐ)來(lái)說(shuō)，針對(du♠>ì)這(zhè)兩種方法，分(fēn)别考慮一(yī)個(gè♠$α)月(yuè)、三個(gè)月(yuè)和(hé)一(yī€>)年(nián)這(zhè)三個(gè)時(shí)間(jiān)尺度。投資±↔ ↓标的(de)來(lái)自(zì) Mo♥•©skowitz et al. (2012) 中提及的(de) ♣ 58 種資産（包括商品期貨、債券、股票(piào)和(hé‌↔)外(wài)彙）。根據這(zhè)三個(gè)時(shí)間(jiān)尺度'®₹Ω，分(fēn)别選擇 TSMOM 和(hé) M‌→ACROSS 的(de)參數(shù)如(rú)下(xi¶"λà)（MACROSS 中的(de)快(kuài)、慢(m​‌<$àn)均線均使用(yòng)指數(shù)移動平均，$φ參數(shù)表示快(kuài)、慢(màn)均線的(de)質心）：

使用(yòng)這(zhè)些(xiē)方法構建的(de)₹γσ趨勢追蹤策略的(de)收益率、波動率以及夏普率如(rú)下(xià∞€)表所示。

上(shàng)述結果說(shuō)明(míng)，對(duì)于給定的(de)時(shí)間(jiān)尺度，Tσ>SMOM 和(hé) MACROSS 兩種方法的(de)結σ∞↔♠果非常接近(jìn)；而選擇正确的(de)計(jì)算(su≥£àn)趨勢的(de)時(shí)間(jiān)尺‍£↕β度則有(yǒu)助于提高(gāo)策略的(de)收益率和(hé)夏普率≥₩。最後，我們可(kě)以通(tōng)過回歸進一(yī)步比較這(zhè)λγ¥兩種方法。具體(tǐ)的(de)，使用(yòng)三個(gè) ≈∏‍ TSMOM 策略作(zuò)為(wèi)解釋變量來(lái✔∏ ε)分(fēn)别解釋每一(yī)個(gè) M☆¶Ω£ACROSS 策略；反之用(yòng)三個(gè) MACRO✔ ↓∑SS 策略作(zuò)為(wèi)解釋變量≤₽來(lái)逐一(yī)解釋 TSMOM 策略。回歸¶<π結果如(rú)下(xià)。

從(cóng)上(shàng)面的(de)結果可(kσ♣©>ě)以解讀(dú)出如(rú)下(xià)信息：≠®

對(duì)于第三點，它并不(bù)說(shuō)明(míng) T×®£§SMOM 就(jiù)比 MACROSS 更好(hǎo)。造成這(zhè)種現(xiàn)象的(de)原因是€< ©(shì)，三個(gè) TSMOM 信号的(de)'☆ trend signature plots 的(de)組合可(✘α≥✘kě)以更好(hǎo)的(de)模拟每一(yī)個(gèπ®♠∞) MACROSS 的(de) trend signatu✘<→re plot；而反觀 MACROSS，它們的(de) ±• trend signature plots 無法很(hěn)好(×✔β"hǎo)的(de)逼近(jìn) TSMOM 的(de) trend sign↑≈←>ature plot（下(xià)圖）。

5 結語

趨勢追蹤策略成功的(de)關鍵在于選擇适當的(de)時(shí)間(jiān•&)尺度、倉位控制(zhì)、投資組合構建∞>以及風(fēng)險管理(lǐ)等要(yào)素。與這(zhè)些 ♣™ (xiē)相(xiàng)比，具體(tǐ)使用(yòng)λ↑γ×哪個(gè)指标或者方法來(lái)計(jì)算(s​↔•¥uàn)趨勢則沒那(nà)麽重要(yào)。之前我在公衆号寫過一(yī)些(xiē)×♣×關于趨勢（或動量）的(de)文(wén)章(z'₩ ×hāng)，它們包括：

這(zhè)些(xiē)文(wén)章(zhāng)，以©↕δ及今天這(zhè)篇，都(dōu)沒有(yǒu)去(qù)介紹某種具§≠&"體(tǐ)的(de)趨勢策略；相(xiàng)反的(de←β₹©)，它們是(shì)為(wèi)了(le&☆)探究趨勢策略本質而做(zuò)的(de)嘗試。趨勢策略容易嗎(ma)？容易 →​'—— 利用(yòng)兩根均線就(jiù)可(kě)以₽✘>₽“走兩步”，然而做(zuò)不(bù)好(hǎo)很(h₽​₩ěn)容易；趨勢策略困難嗎(ma)？困難 —— 這(zhè)裡(lǐ)面有÷γ←‍(yǒu)太多(duō)的(de)細節需要(yào)→★分(fēn)析、推敲，持續的(de)做(zuò)好(hǎo)很(hě≈γ↕n)困難。

如(rú)果你(nǐ)因為(wèi)文(wén)章(zhān₽σg)的(de)标題而點進來(lái)并希望看(kàn)到(↕₩​dào)哪個(gè)指标主宰其他(tā)的(de)話(huà)，那(♥↓&nà)麽我向你(nǐ)表示歉意，可(kě)能(n÷♦éng)讓你(nǐ)失望了(le)。但(dàn)→​是(shì)希望本文(wén)能(néng)帶給你(​≥↓¶nǐ)一(yī)些(xiē)别的(de)啓發。随著(zhe)對(☆¶duì)趨勢策略的(de)進一(yī)步理(lǐ)解，♠±&±我們就(jiù)可(kě)以把有(yǒu)限的(de)精力用(yòng)到(™'≠dào)更重要(yào)的(de)地(dì)方 —— 如(rú)倉位控制(¥±←↔zhì)、風(fēng)險管理(lǐ)這(zhè)些(xiē)≈≈ —— 提高(gāo)趨勢策略的(de)風(fēng)險 δα∞收益特征。

The trend is your friend except at λ>σthe end where it bends.

參考文(wén)獻

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)•δ÷✘險，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文(wénπ©®)的(de)內(nèi)容、信息及數(shù)據或所表述的(de)意見(ji×₩ ₩àn)并不(bù)構成對(duì)任何人±σ™ (rén)的(de)投資建議(yì)。在任何‌★♠ 情況下(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)對δγ​•(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文(wén)的(Ω de)任何內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負₩ε≤任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外↓λε(wài)，文(wén)中圖表均直接或間(jiān)接來(lái)∞✔自(zì)于相(xiàng)應論文(wén)，僅✘↔"為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(y♦₽ǒu)。