從(cóng) Factor Zoo 到(dào) Factor Wa‌ ∑r，實證資産定價走向何方？

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：近(jìn)年(nián)來(lái)，實證資↕$¶™産定價研究已經從(cóng) factor zoo 逐漸演變成 factor ‌₽ αwar，然而在這(zhè)種愈演愈烈的(de)“競争”下(xià₽©)，我們對(duì)市(shì)場(chǎng)的(de)理(lσ₹‌ǐ)解又(yòu)增加了(le)多(duō)少(shα±&ǎo)？

1 引言

這(zhè)一(yī)切都(dōu)源于 Hou et al♦•. (2019a) 怼了(le) Fama and >✔French (2015) 五因子(zǐ)模型。近(jìn)年(nián)來(lái)，侯恪惟、薛辰以及張橹三位↓< 教授在實證資産定價領域掀起了(le)一(yī)↕≠股華人(rén)旋風(fēng)。如(rú)果你(nπ♣ǐ)對(duì)這(zhè)三個(gè)中文(wén)名字沒什(sλσαπhén)麽印象，那(nà)麽對(duì)他(✔§απtā)們 Last Names 的(de)首字±<母組成的(de)三個(gè)字母縮寫 —— HXZ —♥≥— 一(yī)定不(bù)陌生(shēng)。幾年(nián)前，這(zhè)三位教授在一(yī)篇題為(wèi) Repl¶£icating Anomalies 的(d₹&e)文(wén)章(zhāng)中驚人(rén)的(de)複現(xiàn)了££∏¥(le)學術(shù)界的(de) 447 個(≈∏ gè)選股異象（anomalies），并指出在排除微(wēi)小(xiε€♣ ǎo)市(shì)值公司、考慮了(le) ε↔®♦multiple testing 以及使用↑α(yòng)了(le)“适當”的(de)定價模型之後，絕大(dà÷↓↔)部分(fēn)異象都(dōu)不(bù)再顯著。這(zhè)篇最初☆÷€×的(de) working paper 長(cháng)達 1 ↑✔γ46 頁，而如(rú)今它也(yě)終于即将被發表于頂刊 Revie≤ δ w of Financial Studies（ →¥φHou, Xue, and Zhang 2018，下(xià)圖）©♣，其期刊編輯後的(de)版本也(yě)長(cháng)達 115ε>♠ 頁。我不(bù)知(zhī)道(dào)這(zhè)是(shφφì)不(bù)是(shì) RFS 曆史上(shàng)最長(cháng)δ≈♦的(de)一(yī)篇，但(dàn)至少(shǎo)是(shì ​)最長(cháng)之一(yī)。

HXZ 對(duì)于實證資産定價的(de)貢獻遠(yuǎ≤✘n)不(bù)止于上(shàng)面這(zhè)篇 Re↕±plicating Anomalies。在資©ε>産定價領域有(yǒu)著(zhe)不(bù)同的(de‍←Ω)方法論，比如(rú)人(rén)們熟悉的(de) consumptio¶ε↔¥n-based CAPM、以 Eugene Fama 和(hé) Ken ₩÷ French 為(wèi)代表的(de)←± empirical multi-factor asset pricing、φ™α以及最近(jìn)流行(xíng)的(de)基于 b​™✘ ehavioral finance 的(de) asset pric∏₩ing（Stambaugh and Yuan 2017；Daniel, H♥•₩÷irshleifer, and Sun 201±¶&✔9）。而在方法論上(shàng)，HXZ 三位倡導的(de)則是(shì) © Investment-based CAPM。

在這(zhè)方面，HXZ 的(de)代表作(zuò)是(s®γhì) Hou, Xue, and Zhang (2015) 這(zh✘≈è)篇同樣發表于 Review of Fi>✘±nancial Studies 上(shàng)的(de)文(w♥&∏≤én)章(zhāng)，題為(wèi) D ♥igesting anomalies: an investment ₽♣α≠approach。他(tā)們從(cóng)公司投資視(shì)角出發提☆π出 q-factor asset pricing model（學術(shù)λ÷界簡稱 q-factor model）。以 The first p∞'rinciple of investment 為(wèi)依據，q☆§-factor model 在市(shì)場(chǎng)和(hé) S∞ MB 的(de)基礎上(shàng)加入了(le) profitabili→↕<§ty 和(hé) investment 兩個(gè)£φ£維度，構建了(le)四因子(zǐ)模型。張橹教授也(yě)在其個(gè)人(rén)主 ≠頁上(shàng)強調了(le) inves≠£tment CAPM 對(duì)于資産定價理(lǐ)論的(de)貢獻：

My unique, big-picture perspec≠♥♦tive of asset pricing, which >←©₽differs drastically from bot←♣±h the consumption CAPM aπ☆±©nd behavioral finance, is elaborated¥✘↓' in my article titled The inγ≤vestment CAPM published₹≥ in 2017 at European F>↔±$inancial Management (Zhang 2017).

Hou, Xue, and Zhang (2015) 這(zhè)篇λα±‍文(wén)章(zhāng)在發表時(s$↕×∑hí)曾被作(zuò)為(wèi) editor's cγ→©hoice 以及 lead article，足見(jiàn)其影(yǐn←∞£✘g)響力。而 RFS 的(de)出版商，牛津大( ±dà)學出版社也(yě)曾以 A new benchγ™≈mark model for estimat©λing expected stock returns 為(wè λi)題撰文(wén)為(wèi)其造勢。截至今日(rì)₽σ，Hou, Xue, and Zhang (2015) 已被引用(y♦&₩©òng)超過 890 次，是(shì) 2015 年(nián)以來(lái→β ₹)發表于 RFS 上(shàng)的(de≠ Ω)所有(yǒu)文(wén)章(zhāng)中引用(yòng)量最高∑∞♠(gāo)的(de)一(yī)篇。顯然，這(zhè)三位教授在 Invest♣"★ment CAPM 的(de)道(dào)路(lù)上(shàn ₩g)遠(yuǎn)沒有(yǒu)止步于此。最近(jìn)兩年(nián)，沿≠≥著(zhe) q-factor 的(de)思路(★₽λlù)，他(tā)們（以及合作(zuò)者 Hai₩©ββtao Mo）可(kě)謂相(xiàng)當高(gāo)産，最新論文(wén)♦♠↔λ包括：

由于 q-factor model 和(₩↕hé) Fama and French (2015) 五因子(zǐ)♥☆‍模型中都(dōu)包括投資因子(zǐ)，Hou et al××. (2019a) 這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)←'在比較多(duō)個(gè)因子(zǐ)模型β'之外(wài)，還(hái)用(yòng)了(le≠♦β₩)相(xiàng)當多(duō)的(de)筆(bǐ) ≠&☆墨怼了(le) Fama and Fren ∏ch (2015) 中的(de)投資因子(zǐ)。終于和(hé)本文(wén)開(kāi)篇第一(yī)句呼應上(s≠σ→hàng)了(le)。當我第一(yī)次看(kàn)到(dào) Hou et al. >≈(2019a) 對(duì) Fama and French (2015) 的₽§(de)抨擊時(shí)，著(zhe)實懵逼了(le)好(hǎo)長(cháφδng)時(shí)間(jiān) —— 雖然出發點不(bù)同，但(dàn)兩個(gè)因子(zǐ)模型都(dōu)<♥↑ 有(yǒu)投資因子(zǐ)、且指标的(d‍≥₩≈e)選取一(yī)模一(yī)樣（都(dōu≠±)是(shì)過去(qù)一(yī)個(gè)财年(nián) ↓ total assets 的(de)增長☆↔✘¥(cháng)率）；為(wèi)什(shén)麽 Hou€©π  et al. (2019a) 要(yào)怼 Fa↔✘↓ma and French (2015)？為(wèi)了(le)搞清楚這(zhè)個(gè)問(wèn)題，我又(y≥←₹òu)系統的(de)沿著(zhe) Hou, Xue, an&✔‍d Zhang (2015)、Hou et al. (2018, 2019a¥✘∏®, 2019b) 一(yī)路(lù)讀(dú)下(xiε£à)來(lái)，加深了(le)對(duìπ‍) investment CAPM 的(de)理(lǐ)解。不(γ•bù)過在這(zhè)個(gè)過程中，也(y¥∏εě)多(duō)少(shǎo)感到(dào)了(le)近(jìn)年(nián↓®≠)來(lái)學術(shù)界因子(zǐ)模型之争（fa<✘≠ctor model war，簡稱 fact→γ★→or war）的(de)硝煙(yān)。

本文(wén)就(jiù)以梳理(lǐ) inv™‌≈estment CAPM 的(de)發展脈絡為(wèi)契機(​♣ πjī)，映射學術(shù)界最近(jìn)在 factor₽☆¥♠ war 上(shàng)面愈演愈烈的(de)趨勢，以☆♦♣此表達一(yī)些(xiē)對(duì)實質資産定價研究的(de)€ π擔憂。最後需要(yào)強調的(de)是(shì)，在多(duō)>÷σ家(jiā)因子(zǐ)流派“千帆競發、百舸争流”之下(xià λ×÷)，factor war 是(shì)一(yī)個(gè)✔Ω≤ 普遍的(de)現(xiàn)象；因此本文(wén)雖然是(sh"" ì)透過 investment CAPM 的(de)鏡頭一(¥₹↕ yī)窺這(zhè)一(yī)現(xiàn)象，δ♥$λ并不(bù)意味著(zhe)該流派是(shì☆β♥★) factor war 的(de)衆矢之的(de)。下(xià)面先來(lái)看(kàn) q-★÷factor model。

2 q-Factor Model 的(de)經濟學原理(lǐ)

Hou, Xue, and Zhang (×÷2015) 提出的(de) q-factor model 是(shì)™δ≠☆受到(dào) Cochrane (1991) 的(d×Ωe) production-based asset pricing 所♠↕≈¶啓發，從(cóng)公司投資的(de)經<←≤←濟學原理(lǐ)出發。張橹教授曾在清華金(jīn)融評論上(sh✔'àng)撰文(wén)介紹過這(zhè)個(gè) q-fac×↓tor model 的(de)來(lái)龍去(qù)脈（Zhaπ₹ng 2016）。我在接下(xià)來(lái)兩段的(de)介紹中不(bù)妨直接引用(yòng→★)一(yī)下(xià) Zhang (2016) 的(de)≥>'闡述。

根據 Zhang (2016)，q-facto♣γr model 是(shì)基于實體(tǐ)投資經濟學理(lǐ)論，™Ω又(yòu)稱 q-theory（這(zhè)也(yě)是(shì)該模型被✔₩€¶稱為(wèi) q-factor model 的(de)原因）。它 α•∞體(tǐ)現(xiàn)了(le)公司金(jīn)融學中的(de)淨♥♥現(xiàn)值原則（NPV rule）：如>★(rú)果項目現(xiàn)值大(dà)于§↔✔投資成本，則應當投資該項目；如(rú)果項目現(xiàβ☆n)值小(xiǎo)于投資成本，則不(bù)應當投資。♣±ε"起初，公司會(huì)有(yǒu)很(hěn)多( ∑duō)投資項目，此時(shí)應優先投資折現(xiàγσ£&n)率低(dī)、盈利率高(gāo)、因此現(xiàn)值最高(↓δδgāo)的(de)項目。随著(zhe)被投資π"§≥的(de)項目越來(lái)越多(duō)，投資成本會(huì)慢(m≥♠àn)慢(màn)變高(gāo)，盈利率會(huì)越來(lái)越低(dī✔✔δ )。投資的(de)最後一(yī)個(gè)項目應該是(shì)淨現(xiàn)值為ασ(wèi)零（淨現(xiàn)值原則）：投資成本 = 項目現(xiàn)值 ↓♣$= 盈利率 / 折現(xiàn)率。

上(shàng)面這(zhè)個(gè)淨現(xiàn)值原則說(sh ★∑♣uō)的(de)是(shì)：一(yī)家(jiā)公司應該持續投資，直到(d§₹↑≥ào)投資的(de)邊際效益（被折現(xiàn)到(dào)↕↑×♦今天）等于投資的(de)邊際成本。這(zhè)就(jiù)是(shì)對(duì) Hou, Xue, and λ≤≤Zhang (2015) 所依托的(de)經濟學原理(l☆ ǐ)的(de)核心概括。Zhang (2016) 繼續介©σ紹說(shuō)：q-factor model 最富想象力和(hé)創造力的(de)是(shì)‌<£把公司金(jīn)融原則當作(zuò)資産定價模型。傳統資産定價理(lǐ)論從(cóng)投資者最優證券組合角度出發，和π'δ(hé)公司變量沒有(yǒu)直接關系。但(dàn)•✔ ☆是(shì)那(nà)一(yī)老(lǎo)套×π ✘做(zuò)了(le)近(jìn)半個(gè)世紀，結果隻是(shì¶✘ )大(dà)量異象現(xiàn)象。q-♥‍πfactor model 開(kāi)辟了(le)一(yī)個(gè)₽₩←新的(de)途徑。我對(duì)以上(shàng)這(zh$λè)段如(rú)此之高(gāo)的(de)自(zì)我評價持保留态•α✘"度。

将淨現(xiàn)值原則變化(huà)一(yī)下(xià)™₹♣ε得(de)出：折現(xiàn)率 = 盈利率 / 投資成本。從(cóng)這(zhè)個(gè)式子(zǐ)出發，我們可(©÷kě)以得(de)到(dào)兩個(gè)關于折現(xiàn)率®÷的(de)條件(jiàn)預期結論：當盈利率給定時(shí)→×φ$，投資越多(duō)的(de)公司（因此投​≠₩ 資成本越高(gāo)），折現(xiàn)率越低(dī)，股票(piào)預期收×&益率也(yě)越低(dī)；當投資給定時(sh&&í)，盈利率越高(gāo)的(de)公司，折現πλε(xiàn)率越高(gāo)，股票(piào)預期收益率也(yě)越高(✘☆βαgāo)。由此可(kě)知(zhī)，股票(piào)收益率和(hé)投資成反比；和(hé)盈利率成↔δ正比。這(zhè)就(jiù)是(shì) q-factor mod ✔el 中加入 profitability 和(÷₹hé) investment 兩個(gè)維度的(de)原₽δ'因。不(bù)過我想“杠精”一(yī)下(xià)。盡管提出者對(©‌duì) q-factor model 有σ↕(yǒu)著(zhe)很(hěn)高(g <∞āo)的(de)自(zì)我評價；但(dàn)我們卻無法從(cóng)∏↔∞α淨現(xiàn)值原則中推導出市(shì)場(chǎng)和(hé)♠σ™ SMB 兩個(gè)因子(zǐ)。為(wèi)什(shén)麽最後 q-fa€₽ctor model 是(shì)四個(gè)因子(∑§zǐ)而非兩個(gè)呢(ne)？退一(yī)步說(shuō)，加入市(¶ ≈shì)場(chǎng)因子(zǐ)無可(kě)厚非，但(dàn)為(wèi)←×☆什(shén)麽 q-factor mode↔¶∞αl 中不(bù)是(shì)三因子(zǐ)，而是(shì)♠✔>¥偏偏加入了(le) SMB 湊出四個(gè)因子(zǐ)呢(ne)÷♥$？

事(shì)實上(shàng)，第一(yī)版的(de) q-facto£ελr model 并不(bù)是(shì)我®→們在 Hou, Xue, and Zhang (2015) 看(k↔♥àn)到(dào)的(de)那(nà)樣。它↓π出現(xiàn)在 Chen and Zhang (2007) 這(zhè)篇σδ↑題為(wèi) Neoclassical Factors（新古典因子(zǐ)‌↕©）的(de) NBER 報(bào)告中，僅包含市(shì)≥γ≥↔場(chǎng)、盈利以及投資三個(gè)因子(zǐ)。這(zhè)篇>∞¥'文(wén)章(zhāng)後被投到(dào) Journal×'εε of Finance 卻在幾經修改之後還(hái♠">π)是(shì)被 rej 了(le)。之後，Zhang 教授≈< 聯手 Hou 和(hé) Xue，最終提出了(le)我們看÷©♥↔(kàn)到(dào)的(de)四因子(zǐ)版本的(♣∑de) q-factor model，它經過兩年(nián)的(de)審稿和(€ hé)修改，終于在 2015 年(nián✘✔Ω)被發表在 RFS 上(shàng)。反觀 Fama and French (2015)，他(tā↕>)們從(cóng) discount cash flow（DCF）出發×α promote 五因子(zǐ)模型（下(xià)文(wén)稱 F&•F5）中新加入的(de) profitability 和(hé) in∑↑✘vestment 兩個(gè)因子(zǐ)；而如(rú)果從(cóng) DC‌'&F 的(de)表達式來(lái)看(kàn)，也(yě)是(shì)可(​αkě)以推出收益率和(hé) SMB 及 HML 之間(jiān♠¥←↓)的(de)關聯（後文(wén)會(huì)說(shuō)明(m↓‌ ±íng)）。從(cóng)這(zhè)個(gè)意 ↔¥β義上(shàng)說(shuō)，FF5 更自(zì)洽一(y₽δ↕×ī)些(xiē)。

那(nà)麽，Hou, Xue, and Zhang (2015) 用(yò∞ ng)了(le)哪些(xiē)指标作(zuò)為(wèi)盈≠ε'利率和(hé)投資的(de) proxy 來(lái)構建因δ₹↑子(zǐ)呢(ne)？為(wèi)此下(xià)面一(>☆​yī)小(xiǎo)節将簡單介紹 q-factor mo↕ε'del 的(de)數(shù)學模型。從(cóng)之前©↓×的(de)中文(wén)描述中我們已經搞清楚了(l™≠λ↕e)該模型背後的(de)核心經濟學原理(lǐ)。因此在≠®介紹數(shù)學表達時(shí)會(huì)力求言簡意赅。了(le)解 q-↓ ‌∏factor model 的(de)數(shù)學模型也(yě)會(huì)©•‍₹幫助我們在本文(wén)第四節更好(hǎo)的(de)理(lǐ)解 q5>®  model —— 它在數(shù)學上(shàng)是(π✔ shì) q-factor model 的(de)一(yī)步拓展。

3 q-Factor Model 的(de)數(sh↕≤‍←ù)學模型

q-factor model 背後的(de)數(shù)學模型十分(fēn)簡∞π$單；它假設一(yī)個(gè)兩期（date 0 和(hé) da÷≠≈≤te 1）的(de)公司投資決策模型。假設在 date 0，某公司 ÷•i 的(de)資産為(wèi) A_i0、利潤率是(shì) Π_i0（假設β×已知(zhī)）。在 date 1，該公司的(de)利潤率是(sh★→↕ì) Π_i1，它是(shì)一(yī)個(gè☆¥₽←)随機(jī)變量。對(duì)于 dat¥§ e 0 和(hé) 1，公司的(de) cash flow 為(wèi)>®₹$每一(yī)時(shí)刻的(de)資産乘以利潤率：Π_itA_it，♣‌• t = 0, 1。在這(zhè)個(gè)兩期模型中，公司的(↕λσ♠de)決策變量是(shì) date 0 的(de)投資額σ✔ I_i0。該模型假設公司 date 0 的(de)資産 A_β×"i0 在 t = 1 時(shí)全部折舊(jiù)完，因此該公司在 da✘¥Ωte 1 的(de)資産正是(shì)其在 dat'♣←e 0 的(de)投資：A_i1 = I_↕★↓i0。除此之外(wài)，伴随 I_i0 而來(lái×∑)的(de)還(hái)包括一(yī)個(gè)☆‍π調整費(fèi)用(yòng)（adjustment c™&♣ost）：(a/2)(I_i0/A_i0)2A_i0。有(yǒu)了(le)上(shàng)述設定，我們就(jiùΩα™)來(lái)看(kàn)看(kàn)最優化(huà)的(dσ₹'e)目标函數(shù)是(shì)什(shén)麽。

對(duì)于該公司，date 0 對(duì)于股東(dōng)的(d ε∑πe)回報(bào)是(shì) cash fl≠≤ow 減去(qù)投資額以及投資的(de)調 ≥整費(fèi)用(yòng)，即 Π_i0A_i0 – I_i0 - (a/©♠2)(I_i0/A_i0)2A_i0；而對(du¥™ì)于 date 1，由于不(bù)再有(yǒu)投資，因此₩≈其在 0 時(shí)刻的(de)預期回報(bào)可(kě)以表達為(wèi™♦ ') E_0[M_1Π_i1A_i1]，其中 M_1 是(sβ ©hì) stochastic discoφ♥φ÷unt factor、Π_i1A_i1 是(shì) date 1 的(de≈→¶) cash flow、而求期望符号 E 的($✘•de)下(xià)标 0 代表 date 0 時(shí)的(de)預期。這↔ '(zhè)兩期的(de)回報(bào)相(xiàng)σ£加就(jiù)是(shì)最優化(huà‌'↔)的(de)目标函數(shù)：

該目标函數(shù)的(de)最優解 I_i0 應滿足：

上(shàng)式的(de)左側為(wèi)投資的(de)邊際成本（"©第二項為(wèi) marginal adjustme≤↔nt cost）；右邊為(wèi)邊際效益預期被折現(xiàn✘✘σ→)到(dào) date 0。這(zhè)個(gè)關系是(shì)¥✘∞<也(yě)說(shuō)明(míng)了&↓ε<(le)上(shàng)一(yī)小(xiǎo)節提到(dào)♣↓‍φ的(de)淨現(xiàn)值原則。此外(wài)，由 the first±$​ principle of investment 可(kě)知(zhīε★&↓)，投資收益率 r^I（上(shàng)标 I 表示•&δ投資收益率；為(wèi)了(le)區(qū)分(f♠ ™εēn)股票(piào)收益率）應滿足：

比較上(shàng)面兩個(gè)式子(zǐ)就(jiù)可(kě)以₩$得(de)到(dào)投資收益率和(hé)邊際成本以βα★及邊際效益的(de)關系：

根據 Cochrane (1991) 和(÷ hé) Liu, Whited, and Zhang (∞"λ2009) 的(de)研究，在上(shàng€↔)述模型（以及更 general 的(de)模<Ω≈型）設定下(xià)，公司的(de)投資收益'β>∑率等于其股票(piào)收益率（記為(wèi) r^S），因此最終✔≠可(kě)以把股票(piào)收益率和(hé)上(shàn•‌g)述從(cóng)公司投資角度出發的(de)經濟學理(lǐ)論聯系₽©≥∞起來(lái)：

上(shàng)式就(jiù)和(hé)本文(wén)第™€↓二節的(de)文(wén)字解釋一(yī)緻了(le)：當預期盈利 E_0[Π_i1] 給定時(shí)，股票( α$piào)收益率和(hé)投資 I_i0/A_i0 成反比；當投資給∏ 定時(shí)，股票(piào)收益率和(hé)預期盈>★≤利成正比。注意，在這(zhè)個(gè)關系式中，投資 I_i0/A_∑∏i0 是(shì) date 0 的(de)，因此是(shì)曆史投資，而非←σδ≤未來(lái)的(de)預期投資（expected inv↑αestment）。q-factor model 背後的(de)理(lǐ)論用(yòng)的(d₹σ​e)是(shì) past investment，而非 expected ε•≈investment，這(zhè)是(shì)它和(hé) FF5 在投資因子≥÷'>(zǐ)上(shàng)最大(dà)的(de)差異（FF5 從(↕✘cóng) DCF 模型出發 promote 出來(δβ&lái)的(de) expected investment）。之所以強調這(zhè)個(gè)，因為(wèi)它是(shì) σ₩搞清楚 Hou et al. (2019a) 怼 FF5 的(★×♣↓de)關鍵。

在實證研究中，Hou, Xue, and Zhan✘$g (2015) 使用(yòng) ROE 和(hé)♥< Total Assets 的(de)增長↕÷✔(cháng)率作(zuò)為(wèi)代表盈利和π♦₹→(hé)投資的(de)指标。在構建因子(zǐ)時(shí)，為(w×‌ ∑èi)了(le)體(tǐ)現(xiàn)上(shàng₩φ)述條件(jiàn)預期收益率的(de)關系，他(tā)們特意選≤λ£擇了(le)通(tōng)過 size、I/A 以及 ROE 将股票(piào ↔)池獨立進行(xíng) 2 × 3 × 3 的(de) triplγ εγe sort（使用(yòng) ROE 和(hé) I/A 将股票(piào←')分(fēn)成三組時(shí)使用(yòng)學術(shù)界常用(yòn¥♦g)的(de) 30% 和(hé) 70% 分(f&↕γ&ēn)位數(shù)，中間(jiān)的(de) 40% 為(wèi) Mid•±€dle 組），一(yī)共得(de)到(dào) 18 個(g¥÷è)投資組合（每個(gè)投資組合中的(de)股票(piào)♥ ♠☆都(dōu)是(shì)按市(shì)值加權）。最終三個(gè)風(fē©±φ±ng)格因子(zǐ)的(de)定義為(wèi)：

以上(shàng)三個(gè)因子(zǐ)，再結合市(↔™≠ shì)場(chǎng)因子(zǐ)，就(jiù)構成了(l< δ&e) q-factor model。至于它和(hé)其 •他(tā)主流因子(zǐ)模型相(xiàng)比效果如(rú)何？我們留λ≈在本文(wén)的(de)第七節 factor war 見(jiàn)£¥分(fēn)曉。有(yǒu)了(le)對(duì) q-factor model 數(sh>₹∏ù)學模型的(de)理(lǐ)解，将它進行(xíng)一(yī)步₹∏≈擴展，就(jiù)得(de)到(dào) q5。

4 q5

Hou et al. (2018) 這(zhè)篇文(wéεδn)章(zhāng)雖然目前仍然隻是(shì) §$×βworking paper，但(dàn) q5 這(zhè)個(gαδè)題目絕對(duì)标新立異。q5 在 q-factor model 的(de)四因子(zǐ)基礎上(shà♠‌×$ng)加入了(le)第五個(gè)代表 expectπ×$ed investment growth 的(de)因子¥↑π(zǐ)，得(de)到(dào)一(yī)個(gè)五因子(zǐ)模 ₹©&型。在數(shù)學上(shàng)，它是(shì) q-facto  <r model 的(de)直接延伸。而我更關注的(dγ>e)是(shì)這(zhè)第五個(gè)因子(zǐ)被加入的(d♣₽≠↓e)動機(jī)。Hou et al. (2018) 一(yī)開(kāi)篇就(jiù)以 ®←♥‌Cochrane (1991) 來(lái) motivate 出這(zhè∏♥σ)第五個(gè)因子(zǐ)：

Cochrane (1991) shows that in a multipe≤₹riod investment framework, firms¶₹"  with high expected invest"₽↓ment growth should earn higher e☆§¶xpected returns than firms with low expected investmen​≠<t growth, holding current invσ→"estment and expected profitabδ☆ility constant.

顯然，這(zhè)句話(huà)引入了(le) expected investment growth，同時(shí)它也(‍§yě)指出了(le)這(zhè)是(shì)在 multiperi©¶★od investment framework 之下(xià)。由于 Hoπ♥u, Xue, and Zhang (2γ׶&015) 僅使用(yòng)了(le)簡單的♣β(de)二期模型（因為(wèi) date 1 不(bù)再投資，因← 此它實際上(shàng)是(shì)一(yī)個(gè) o‌≈ne period investment framewor‌≈k），所以 q-factor model 中是(shì)沒有(yǒu)投₹‍®¶資增長(cháng)的(de)。因此，在 q5 這(∑₩zhè)篇文(wén)章(zhāng)中&σ≥，Hou et al. (2018) 把投資模型擴展§¥§≠到(dào)了(le)多(duō)期。上(shàng)面這(zhè)個(gè)理(lǐ)論上(sh'•∑♦àng)的(de)延展看(kàn)來(lái)是(shì)把 qε↓↕ 升級到(dào) q5 背後的(de)主要(yào)動機(jΩ'✔✘ī)。不(bù)過有(yǒu)意思的(de)是(shì)，Zhang 教授和(φ§€ hé)另外(wài)兩位 co-authors 早在 Liu, Whited,α↓ and Zhang (2009) 一(yī)文(wén)（發表于經濟學頂刊 ¥σ¶<Journal of Political Eco≠ ♠nomy）中就(jiù)研究過多(duō)期投資模型。雖然該文(≈•→wén)的(de)重點不(bù)是(shì) empi÷♦↕ rical asset pricing，但(dàn) expected i₹$nvestment growth 這(zhè)個(gè)維度早就 ↔®(jiù)出現(xiàn)過（Liu, Whited, and Zhang 2¥→↓₽009, pp 1126, eq. 10）。所以……

我無從(cóng)得(de)知(zhī)為(wèi)什(sh∏≈∏én)麽 Hou, Xue, and Zhang (2015) 在¥≈¥♣ q-factor model 裡(lǐ)沒有(yǒu)加入 exp♦γα♥ected investment growth；而是(shì)等到(d©±Ω₹ào) q5 這(zhè)篇才加入。也(yě)許在 q-factor π©model 被提出時(shí)，它已經能(néng)解釋很(hěn)多(duō♦✔≥ )當時(shí)已有(yǒu)因子(zǐ)不(bù)能(né♠₽•ng)解釋的(de)異象了(le)。而這(zhè)幾年(nián‌>)一(yī)些(xiē)新的(de)因子(zǐ)模型有(yǒu)在效果上≈≈(shàng)超過了(le) q-factor model，所以需要(y ¶ào)一(yī)個(gè)升級版。這(zhè)當然純屬π$₩↔我的(de)“陰謀論”，不(bù)過 Hou£ε∑♥ et al. (2018) 中的(de)下(xià)面這(zh÷₽≈è)句話(huà)也(yě)十分(fēn)耐人(réπ‌λn)尋味：

Improving on the q-factor model ₹<©‌substantially, the q5 model is the best preforming model among all theγ∑→< factor models.

OK，八卦結束，讓我們從(cóng)數(shλ←π✔ù)學上(shàng)看(kàn)看(kàn)這(zhè)個(gè±$) q5 模型。Hou et al. (2018) 在 H≥∑±✔ou, Xue, and Zhang (2015) 的(de) ≥<↑基礎上(shàng)考慮無限期的(de)模γπ∏型。由于是(shì)多(duō)期模型，因此他(✘×tā)們假設資産從(cóng) t 到(dào) t + 1 期的¶λ<(de)折舊(jiù)率為(wèi) δ（在 q-factor m ☆÷♣odel 中，資産從(cóng) date 0 到(dào) dat ↓e 1 折舊(jiù)完，因此在該模型中 δ = 1）。投$α<資決策是(shì)每一(yī)期的(de)投資 {£™™I_it+s}, s = 0, 1, …。在任何時(shí)點 t，'"目标函數(shù)是(shì)最大(dà)₹±化(huà)股東(dōng)權益的(de)現(xiàn££ε)值。根據 the first principle of←≈ investment 可(kě)知(zhī)從("☆cóng) t 到(dào) t + 1 期的(de)邊際投資成本應該等©¥于邊際效益折現(xiàn)到(dào) t，因¥Ω••此 t 到(dào) t + 1 的(de)投資收↓‌益滿足：

對(duì)于 Hou, Xue, and Zhang (2015) 考慮的Ω₹(de)兩期模型，由于折舊(jiù)率 δ = 1 且 datΩφe 1 的(de)投資 I_i1 = 0，因此上(↑★shàng)式分(fēn)子(zǐ)中僅有(yǒu)第一(yε ‌ī)項，而上(shàng)式也(yě)就(☆πjiù)變成了(le)本文(wén)第三節介紹的(de) q-factor m★¶>∏odel 的(de)情況。對(duì)于多(duō)期模型，Hou et€™ al. (2018) 如(rú)法炮制(z↕$±hì)，指出股票(piào)收益率等于投資收益率。由此，從(cón↑♠×g)上(shàng)式我們可(kě)以找到(dào)股票(piào)收益≥&率和(hé)投資以及盈利的(de)關系。上(shàng)式中第一(yī)₩♠♣項近(jìn)似對(duì)應“dividends”，第二項平方項與邊際調整費₹π☆(fèi)用(yòng)有(yǒu)關（由于是(shì)高 ≥α↓(gāo)階小(xiǎo)量故忽略），第三項近(jìn)似對(dγ≤uì)應“capital gain”，即 expected investδ×π↑ment-to-asset growth（expected I♥¥¶/A growth）。從(cóng)多(duō)期模型出發，股票(piào) ¶收益率除了(le)和(hé) q-factor model 中已經考慮的¶£(de) ROE 以及 I/A （條件(jiàn)）相(xiàngλδΩ≈)關，也(yě)和(hé) expected I/A growth 正相(xiàng‌λ↓≥)關。因此，該因子(zǐ)作(zuò)為(wèi)第↔♣§$五個(gè)因子(zǐ)被補充到(dào) q-fac₩×ε&tor model 中，最終得(de)到(dào)了(le) $≥q5。

在實際構造 expected I/A growth 因₹σ子(zǐ)時(shí)，Hou et al♦←. (2018) 使用(yòng)了(le) pre←↓dictive regression 外(wài)推的(de)方法≤☆₹。即這(zhè)個(gè)因子(zǐ)和(hé)我們了(le)解的(de)直≈✔接利用(yòng)曆史财務數(shù)據的(♥φ¥¥de)因子(zǐ)均不(bù)同，它是(shì)使用(yòng)曆史數(shù♠£↓₹)據構建了(le)一(yī)個(gè)截面回歸預測模型，然↓¶•後使用(yòng)最新的(de)财務數(sh↔¥σ™ù)據預測下(xià)一(yī)期 expected I/A growth。從(cóng)數(shù)​©•™學複雜(zá)度上(shàng)來(lá♥‍i)說(shuō)，我個(gè)人(rén)對♦βπ(duì)這(zhè)種構建因子(zǐ)£φ♣​的(de)方法不(bù)是(shì)很(hěn)Ωε感冒。因為(wèi)這(zhè)裡(lǐ)面有(yǒu)模型設定以及參數(shù)估計(jì)誤差等太多(duō)的(≤‌β•de)問(wèn)題。Hou et al. (2018) 自(zì)然意識到(dào)βδε了(le)這(zhè)些(xiē)問(wèn)題¥≈™；在文(wén)中他(tā)們也(yě)特别提到(dào) ₽♣↔：

Our goal is a conceptually moσ♠tivated yet empirically validated specificatio$♦€n for the expected invest♦× ment-to-assets changes. To ¥‍this end, we turn to the investment lit←€☆erature in macroeconomics and corp₹&orate finance for guidance.

然而不(bù)可(kě)否認的(de)是(shì)，在¶★σ構造 expected I/A growth 因子(zǐ↕™γ)時(shí)，由于可(kě)挖的(de)數(shùε✘•)據太多(duō)，因此 data snoo§<ping 的(de)風(fēng)險也(yě)很(hěn)高$→₹→(gāo)。本文(wén)不(bù)再贅述該因子(zǐ)的(de)具體(t≈&λ↕ǐ)構造方法，感興趣的(de)小(xiǎ♦♣o)夥伴可(kě)以查看(kàn) Hou et al. (2018)。最後想要(yào)強調的(de)是(shì¶<Ω)，我在上(shàng)面提及這(zhè)第五個(gè)因子(zǐ←♣∞σ)時(shí)，不(bù)厭(yàn)其煩的(de)使用(yòng)π↔了(le) expected 這(zhè)個(gè)詞。這(zhè)是(shì)因為(wèi)從(cóng) •"♥q-theory 出發，該因子(zǐ)是(shì)（未來(lái)）預♣γ期投資增長(cháng)率，而非過去(qù)的(de)投資增長(cháng€>$§)率。是(shì)否帶有(yǒu) expected 一(yī)詞，含義截然不(b"≠ù)同。

5 FF5

說(shuō)說(shuō) FF5 吧(ba)；它被 q-fac¥&tor model 當成靶子(zǐ)打。從(cóng) DCF 出發并利用(yòn♥£g) Miller and Modiglianiπ↔ (1961) 的(de)結果可(kě)知(zhī) t 時(shí)刻★✘‍​公司市(shì)值 M_t 滿足如(rú)下(♦&xià)關系：

上(shàng)式中，Y_t+τ 是(shì) t+τ 期的(₽>εde) total earnings，dB_t+τ 是(shì)未來(lái) t+τ 時(shí)刻相(xiàng)對(du£π>αì)其前一(yī)期的(de) total book value 的(de)變 ☆δ化(huà)，r 是(shì) IRR。将上(shàng)式  ↑兩邊同時(shí)處以 t 時(shí)刻公司的(d&±ε e) book value B_t 可(kě)得(de)：

Fama and French (2015) 通(tōng)過上(™α×εshàng)式 motivate 出 FF5：

在實證中如(rú)何圍繞預期盈利和(hé)預期投資構建因子(zǐ)呢(ne)§×♣？這(zhè)方面的(de)研究可(kě)以追溯到(dào) Fam★✔•a and French (2006)。2006 年(nián)，Fama 和(hé) Fre¥♦≥nch 在 Journal of Financial Eco♥↓nomics 上(shàng)發表了(le)一(yī)篇題為(wèi) ♠★¶πProfitability, investment and av☆‌γerage returns 的(de)文(wén)章(&♦®πzhāng)，專門(mén)檢驗了(le)預期盈利和(hé)預→β₩期投資這(zhè)兩個(gè)維度和(hé) exp"≠↔ected return 的(de)關系：

Given B/M and expected ©§§profitability, higher '≠ ‌expected rates of inve©♥stment imply lower expected ret<∑÷urns. But controlling for tβ☆λ¥he other two variables, more profitabl≤$Ωe firms have higher expected retu±₹rns, as do firms with hig←​her B/M. These predictions are co★→nfirmed in our tests.

與 FF5 一(yī)樣，Fama and Fre≈↑nch (2006) 也(yě)是(shì)從(cóng <☆ ) DCF 出發。它在檢驗預期盈利和(hé)預期投資時(shí)，既•£π•檢驗了(le)使用(yòng)曆史數(shù)據作(•₩→zuò)為(wèi)預期的(de) naβα£Ωïve estimate，又(yòu)考慮了(le)使用(yòng)  ×​¶predictive regression 構建因子(zǐ)。以預期投資為(wèi)例，在使用(yòng)曆史數(shù)據$♥δ™直接外(wài)推時(shí)，該文(wén)使用(yòng) dA/A♠→®$ —— total asset 的(de×≈)變化(huà)率 —— 作(zuò)為(wèi) expected invו↔estment。截面回歸結果（下(xià)圖）顯★β₩¥示出它和(hé)收益率之間(jiān)顯著的(de♦₹)負相(xiàng)關性。

而當 Fama and French (2006) 采用(yòng) λ♣✔predictive regression 計(jì)>∑Ω'算(suàn) expected inve₹€→stment 時(shí)，卻并沒有(yǒu)獲得(‍®πde)統計(jì)上(shàng)顯著的(de)關系（下(xià)圖中 F(d₹<₩​A_t+τ/A_t)）：

上(shàng)面的(de)結果顯示，預測的(de) F(dA_t+τ/A_t) 與收益率的(de)♠ ®≥相(xiàng)關系數(shù)為(wèi)正（而這(zhè)和(hé)從(cóng) DCF 推出的(↑∑≥de) expected investment 和(héπ™γ)收益率之間(jiān)的(de)負相(xiàng)"β關性是(shì)相(xiàng)左的(de)！），但(dàn)統計(jì)上(shàng)非常不(bù)顯著。以預測未來(lái)一(yī)年(nián)的(de) F(dA_t π+1/A_t) 為(wèi)例，它的(de)回歸系數(shù)☆÷©僅為(wèi) 0.04，t-statistic 為(wè♦™i) 0.05。對(duì)于這(zhè)兩種方法的(de)差異，Fama and FrΩφ•ench (2006) 從(cóng)計(jì)量經濟學的(de)角度進β∏₩£行(xíng)了(le)大(dà)量的(de)‍'探討(tǎo)，并最終選擇了(le)使用(yòng)曆史數(shù)↓>據進行(xíng) naïve estimate★β♠< 的(de)方法計(jì)算(suàn)預期投資（對(duì)于預期盈利，使用(yòng)曆史'¶→數(shù)據和(hé) predictive regressio★σ÷ n 的(de)差異很(hěn)小(xiǎo)，故也(yě)采♠♦用(yòng)曆史數(shù)據）。上(shàng)述處理(lǐ)方法也(yě)最終被保留到(dào)了(₹•↑le) FF5 中。

值得(de)一(yī)提的(de)是(shì)•¥，按照(zhào)上(shàng)述 DCΩ∏™✘F 模型，代表投資的(de)變量應該是(shì∞ ) dB_t+τ/B_t，即 book value 的(deδ≈)預期變化(huà)，而非 total asse​÷"t。Fama and French (2015) 坦言他(t© ‌ā)們比較了(le)使用(yòng) boo∑φk value 和(hé) total asset 兩種方法，發現(xiàn$✘♥​)使用(yòng)後者排序的(de)話(huà)，股票(pià" o)收益率在截面上(shàng)的(de)差異更大(£φdà)，因此選擇了(le) total asset 的•≥↕✘(de)變化(huà)。以上(shàng)就(jiù)是(shì) FF5α™ 背後的(de)來(lái)龍去(qù)脈。下(xià)面就(j♦↕∑×iù)來(lái)看(kàn)看(kàn) Hou et al. (201$€9a) 是(shì)怎麽怼 FF5 的(de)。

6 q vs FF5

Hou et al. (2019a) 這(zhè)篇文(wén)≠★章(zhāng)使用(yòng) spanni<™ng test 比較了(le)他(tā)們提出的(de) q 和(hααé) q5 以及其他(tā)幾個(gè)主流的(de)多(∏←duō)因子(zǐ)模型，包括：

結論自(zì)然不(bù)出意外(wài)，q 和(hé) q5 完勝。不(bù)過，除了(le) empirical t₩↕©est 之外(wài)，這(zhè)篇文(wén)章♠<$δ(zhāng)還(hái)從(cóng) valuation theor↑βy 的(de)角度狠狠的(de)怼了(le)"↓ FF5，而我一(yī)切的(de)困惑和(hé)寫作(zuò₩↕)本文(wén)的(de)動機(jī)皆源于∏>£φ此。下(xià)面開(kāi)始解惑之旅。如(rú)果我們仔細查看(kàn) q-fac☆ tor model 和(hé) FF5 中構建投資因子σ∞≠(zǐ)的(de)指标，會(huì)發現(xiàn)這(zhè)兩個•↕(gè)指标完全一(yī)緻（下(xiàΩ♠)圖 1 來(lái)自(zì) Hou, Xue, and Zh★ ∞ang 2015；圖 2 來(lái)自(zì) Fama and FrenΩ♣ ch 2015）。

雖然指标一(yī)緻，但(dàn)背後的(de)出發點截然不≠©(bù)同：

Hou et al. (2019a) 怼 FF5 的(de)兩個(gè)×‍× 核心觀點是(shì)：

結合上(shàng)述兩點，FF5 使用(yòng) ×¥φpast investment 構建的(×α★γde) CMA 因子(zǐ)（且該因子(zǐ)有(yǒu)效）其®↔₩實是(shì)陰差陽錯(cuò)的(de)利用(y∞♥φòng)了(le) past investmen✔•≠t 和(hé)收益率之間(jiān)的(de)負相‌γ→(xiàng)關（q-theory）；而非他(tā)們從(cóng) λ↔§DCF 推出的(de) expected investmen♣>∏λt 和(hé)收益率之間(jiān)的(de ¥)負相(xiàng)關性。這(zhè)無疑直接撼動了(le) FF5★™ 中投資因子(zǐ)的(de)根基，也(yě)質疑了(le) FF5 在♦™γ§學術(shù)界的(de)地(dì)位。

因子(zǐ)大(dà)戰，硝煙(yān)彌漫。

對(duì)于上(shàng)面第一(yī)點β÷§，Hou et al. (2019a) 的(de)論述如(rú)下(xià)，♥®感興趣的(de)小(xiǎo)夥伴可(kě)以看(kàn)看(kàn)。

客觀的(de)說(shuō)，關于 expected iφ¥±nvestment 和(hé) expected retur>™₩n 的(de)關系，我也(yě)認為(wèi) Hou et aδ®←•l. (2019a) 比 FF5 更合理(lǐ)。但(dàn)上(shàngε₩"≥)面這(zhè)種“競賽”還(hái)是(shì)讓人δ∏$®(rén)感到(dào)不(bù)安。它似乎傳遞出一(yī)個(★​gè)信号：我們總能(néng)使用(yòng)不(bù)同的(de)金(jīn)融學₩‍×±或經濟學模型，推導出截然相(xiàng)反的(de)關聯 ↕&₩♠—— 上(shàng)面的(de)模型較 DCF 模→✔♥型，通(tōng)過把 IRR 換成單期 βπ收益率，巧妙的(de)幹掉了(le) dB 前面的(de)負号，因此把“負相✔←(xiàng)關”逆轉為(wèi)“正相(xiàng)關”。從(cóng‍₩)實證結果出發總能(néng)講出最适合的(de)故事(shì)，但(dàn)£←★對(duì)著(zhe)曆史數(shù)據講故事(sh✘≠ì)真的(de)讓我們離(lí)真相(xiàng)更↔£進一(yī)步了(le)嗎(ma)？

OK，抛開(kāi)理(lǐ)論上(shàng)的(de)差異不(bù)說(s±♦huō)，從(cóng)實證結果來(lái)看(kàn)，雖然 FF↔™5 和(hé) q-factor model 使用(y≤>òng)了(le)同樣的(de)曆史 total asset 增長(ch₽Ωáng)率構建投資因子(zǐ)，但(dàn)由于構建方法不(b×‍ù)同，q-factor model 中∑βα​投資因子(zǐ)的(de)溢價也(yě)完勝 FF5。從(cóng) q-theory 出發，投 ✘>資和(hé)收益率的(de)負相(xiàng)關是(sh Ω•ì)在控制(zhì)了(le) ROE 之後的(de)。因此，q-fact>βΩor model 在構建投資因子(zǐ)時('Ωshí)利用(yòng) size，ROE 和(hé) to≠↑γ>tal assets 增長(cháng)率三個(≈"gè)指标使用(yòng) 2 × 3 × 3 trip‍×∏←le sort，從(cóng)而更好(hǎo)的(de)反映了¶÷(le)在控制(zhì) ROE 之後，投資和(hé)收益率的&∑↕(de)關系。反觀 FF5，它僅使用(yòng) size 和(hé₩∞¶δ) total asset 增長(cháng)率做φδ↔(zuò)了(le) 2 × 3 double sort，沒有(≠Ωσ¥yǒu)考慮控制(zhì) ROE 的(de)影(yǐng)響，效果不(b₩÷ù)如(rú) q-factor model。這(zhè)似乎×™佐證了(le) q-factor model 背後§→​>的(de) q-theory 能(néng)更好(hǎo)的(de)解釋 pa♠♦​σst investment 和(hé) expected r$•eturn 之間(jiān)的(de)關系↕★♦。解惑之旅結束。

7 Factor War

讓我們最後來(lái)看(kàn)看(kàn)近(jìn)幾年(∏✔nián)學術(shù)界的(de) Fact•βor War。以下(xià)先後順序使用(yòng)論文(wén)的(de)✘ε™發表時(shí)間(jiān)為(wèiβαα)基準。在 Hou, Xue, and Zhang (2015) ♦σ∞提出 q-factor model 時(shí)，他(tā)們使用(yò₽™ng)了(le) 80 個(gè)異象（那(nà)篇寫§∏$ Replicating Anomalies 花(huā)的(de)功夫<שγ絕對(duì)不(bù)會(huì)被浪費(fèi)）比較了(le)∞✔®± q-factor model 和(hé) Fama and<Ω French (1993) 三因子(zǐ)模型和(hé) Carhart (‌β1997) 四因子(zǐ)模型。結論自(zì)↓₽<>然是(shì) q-factor model 戰勝了(le)它們。由于當時(s>¥₽‌hí) FF5 還(hái)沒有(yǒu)發表，因此‌"∞并沒有(yǒu)被拿(ná)來(lái)比較。

頗有(yǒu)意思的(de)是(shì)，關于 q-factor ↔>® model 和(hé) FF5 寫作(zuò)背後的(de)時(s$¶hí)間(jiān)先後也(yě)拿(ná)來(lái₩€)被當作(zuò) factor war 的(de)炮彈。Zhang (§®$←2016) 介紹了(le)兩篇文(wén)章(zhāngλ♠)寫作(zuò)的(de)背景（下(xià)圖），指出 Fama 和(÷σhé) French 在 2013 年(niδ♥án) 6 月(yuè)首先加入了(le)盈利因子(←¥≠≈zǐ)，然後才又(yòu)加入了(le)投資因子(zǐ)、構建了(α★βle) FF5，而這(zhè)個(gè) timeline 遠(yuǎε♣'n)遠(yuǎn)晚于 q-factor model 的€•γ(de)發展曆程（見(jiàn)本文(wén)第二節），因此巨人(rén) F∞¶‍★ama 是(shì)站(zhàn)在了(le)他(tā)們的(de)肩膀上★♦ (shàng)。不(bù)過 Zhang (2016)♣↔γ 似乎忘記了(le) Fama and French (2↑×λ006) 這(zhè)篇早就(jiù)對(duì)盈利和(hé)投資進行(x€&∞íng)檢驗的(de)文(wén)章(zhāng) —— 雖然 Hou et ₹£al. (2019a) 怼 FF5 的(de)時(shí)候想起了∑ £✘(le)它。

2017 年(nián)，Stambaugh ←σ和(hé) Yuan 在 Review of Financial Stud★≠₩♥ies 上(shàng)提出了(le)兩個(gè) mispricing¥♣ factors（Stambaugh anγ♣"$d Yuan 2017），并結合市(shì)場(γ★chǎng)和(hé) SMB 構建了(le)四因子(zǐ)模型≥$。新的(de)模型也(yě)少(shǎo)不(bù)了(le ←λ↕)和(hé)已有(yǒu)的(de)做(zuò)一(>→yī)番對(duì)比，而結論也(yě)自(zì)不(bù)必說(shuō←Ω)：

2018 年(nián)，Barillas 和(hé) Sha♣>nken 在 Journal of Finance 上(>σ​shàng)發表了(le)題為(wèi) Compaφ>÷ring asset pricing models 的(de)文(→​wén)章(zhāng)。該文(wén)提出了(le)一(yī∑ε ≠)個(gè) Bayesian asset pricing tes✔↓™t 檢驗不(bù)同的(de)定價模型（Bβ£∞¶arillas and Shanken 2018）。通(tōng)過 ™↕≠對(duì)比，q-factor model 和(hé) FF5 都(dōu)‌ φ​敗下(xià)陣來(lái)，而 Barillas and Shan±‍φken (2018) 也(yě)根據他(<π♣÷tā)們的(de)結果提出了(le)一(yī)個(gèδ₹α )六因子(zǐ)模型，包括：市(shì)場(chǎng÷≠‌♣)因子(zǐ)、FF5 的(de) SMB、q-factor™☆÷ model 的(de) ROE 和(hé) I/A，Asne☆​σ₹ss and Frazzini (2013) ↕λ提出的(de)按月(yuè)更新的(de) ÷≤£εHML，以及 UMD。

同年(nián)，在美(měi)國(guó)金(jīn)融協會(huì)年☆©‍(nián)會(huì)上(shàng)，Daniel, Hirsh₩₹λ±leifer, and Sun (2019) —— 這✘α©₽(zhè)裡(lǐ)引用(yòng)使用(yòng)了(< ∞£le)即将發表于 RFS 的(de)版本 —— 提出了(le)基<₩于行(xíng)為(wèi)金(jīn)融學的(&♣de)兩個(gè)因子(zǐ)，并結合市(shì)場(chǎng)因子(zǐ$≥)構建了(le)一(yī)個(gè)複合三因子(zǐ)模型（見(jià₹‌'♦n)《一(yī)個(gè)加入行(xíng)為(wèi)因子β★λ(zǐ)的(de)複合模型》）。在 AFA 年(nián)會(huì)的(de)報(>'₹bào)告中，Daniel, Hirshleifer, and Su‌&$&n (2019) 将該模型和(hé)主流模型進行(↕​₹xíng)了(le)對(duì)比，除了(le)考察因子(zǐ)模型解釋 ∏¥異象及其他(tā)因子(zǐ)的(de)能(néng)力，也(yě)特别從(>§cóng)模型複雜(zá)度角度進行(xíng)了(le)對(duì)比（見¥®(jiàn)《Anomalies, Factors, and Multi-Factor ≈ Models》）。在 AFA 年(nián)會(huì)報(bào)告的(de)討(tǎo)論環∞÷$ 節，Stambaugh 質疑 Daniel, Hirshleifer,£>γ‌ and Sun (2019) 的(de)三因子(zǐ)模型無法λ 解釋 SMB 因子(zǐ)，但(dàn)他(tā)們卻沒有(yǒu)∑×加入這(zhè)個(gè)因子(zǐ)。我現(xiàn)在來♠÷↕↓(lái)看(kàn)，這(zhè)反而是(s±σhì) Daniel, HirshleiΩδ₽♠fer, and Sun (2019) 的(de)一(yī)個(gè)優點。​© ₽該模型從(cóng)行(xíng)為(wèi)金(jīn)融學的(•δde)理(lǐ)論 promote 出長(cháng)、短(duǎn♥↓)兩個(gè)周期的(de)行(xíng)為(wèi)因子♠₹(zǐ)；而從(cóng)行(xíng)為(wèi)金(jīn)融學的(de)♠©ε↔理(lǐ)論是(shì)無法引出 SMB  ∞<的(de)因子(zǐ)的(de)。所以該模型僅使用(yòng)三個(gè)Ω↓Ω因子(zǐ)無可(kě)厚非；如(rú)果生(sh☆÷​©ēng)硬的(de)加入了(le) SMB，反而更有‌♠☆§(yǒu) data mining 之嫌。

自(zì) 2015 年(nián) q-factor 被提出後，由于♥★其理(lǐ)論上(shàng)的(de)創新和(hé)實證×♦Ω♥方面的(de)優秀表現(xiàn)，獲得(de)了(le)學術(↔•shù)界的(de)廣泛關注。但(dàn)是‍‌(shì)，随著(zhe)新的(de)模型被發表，它又(yòu)被别人(r™₹≤én)比了(le)下(xià)去(qù)。在™✘↓這(zhè)種背（yin）景（mou）之（σγ★​lun）下(xià)，q5 橫空(kōng)出世。Hou "♦et al. (2019a) 的(de)實證結果顯示，q5 戰勝了(le)上( Ωshàng)述全部 candidates。

從(cóng)現(xiàn)有(yǒu)的(de)實證結果來(lái)看(kà₽←n)，出自(zì) investment CAPM 的(de) q5 的(dλ&e)五因子(zǐ)模型是(shì)當下(xià)“最強”的(deδ™)實證資産定價模型。當然，在不(bù)遠(yuǎn)的Ω±¥✘(de)将來(lái)，學術(shù)界一(yī)定會(huì)搞出新的"§Ω™(de) factor model 來(lái)打敗它。☆&‌$近(jìn)年(nián)來(lái)，随著(zhe) John Coc​♣hrane 所提的(de) factor zoo 越來(lá"≥♥÷i)越深入人(rén)心，學術(shù)界對(duì•β¶™)挖異象的(de)熱(rè)潮似乎有(yǒ ∑↓u)所減退，轉而把研究重點放(fàng)到(d♣£φào)了(le) factor war。然而，如(rú)果• 僅以各種 test 的(de)結果或者誰解釋的(dβ€ ∞e)異象更多(duō)為(wèi)标準，非要(yào)在衆多(duō)模型‍"£中分(fēn)出高(gāo)下(xià)，又(yòu)有(yǒu)多(d€←‍♣uō)少(shǎo)意義？如(rú)果僅以“‍↓≤π打赢” factor war 、而非推動人(rén)們對(duì)市→π$∏(shì)場(chǎng)的(de)理(lǐ)解為(wèi)目标，ε¥而使用(yòng)不(bù)同的(de)金(jīn)融學或經濟學理(l≤"ǐ)論 promote 出一(yī)個(gè)“更好(hǎo)使”的(de→​↑)因子(zǐ)或者互相(xiàng)“怼”， φ這(zhè)又(yòu)有(yǒu)多(duō)少£©(shǎo)意義？

因子(zǐ)大(dà)戰，烽鼓不(bù)息。

8 結語

在上(shàng)一(yī)節介紹 factor war 時(shí)，我特γ♥♦意保留了(le)一(yī)篇，它就(jiù)是(shì) Famaγ∑φ and French (2018) 這(zhè)篇題為(wè∏÷§®i) Choose Factors 的(d®↑e)文(wén)章(zhāng)，發表于 Journa<₹l of Financial Economics。這(zhè)篇文φ€δ(wén)章(zhāng)拓展了(le) Gibbons, Ross, anπ&×d Shanken (1989) test，提出使用(y÷∞òng)模型所包含因子(zǐ)能(néng✘✘)夠構成的(de) max squared Sharpe ratio≥₽→£ 來(lái)比較不(bù)同的(de)模型‌✘ε↔。之所以保留這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)是(shì)因為(wè£$≠i)它沒有(yǒu)和(hé)别人(rén)比，而是(shì)“自(zì♥→)己和(hé)自(zì)己比”。該文(wén)比較了(β™<★le) CAPM，Fama and French (1993) §★δ三因子(zǐ)、Fama and French (2015 φ) 五因子(zǐ)以及 Fama and Fren÷ π↓ch (2018) 六因子(zǐ)模型。除了(le)方法論之外(¥≠wài)，Eugene Fama 在這(zhè)篇文(wén)® ∏₹章(zhāng)中表達出來(lái)的(de)對(duì) fa'±δαctor war 的(de)擔憂深深引起了(le)共鳴。

Fama and French (2018) 認為($εwèi)，雖然 CAPM 以及 consumption-based ☆≈∏‍CAPM 被 empirical data 拒絕了(le)，∑¥但(dàn)是(shì)這(zhè)些(x♥δiē)理(lǐ)論模型在收益和(hé)風(fēng)險之間(jiān)↓÷ 建立了(le)有(yǒu)效的(de)聯系。而另一(yī)方∞≥面，實證資産定價中的(de) factor  π©models 是(shì)來(lái)自(zì)對(duì)曆™♥≈史平均收益率中某種模式的(de)發掘。因此，factor model 背後•₽♦♥必須有(yǒu)理(lǐ)論支撐。一(yī)旦缺乏理(l <<ǐ)論，那(nà)麽因子(zǐ)模型就(jiù)會(huì)®↕♦€退化(huà)成以提升事(shì)後 mean-variance-effici≠ $λent（MVE）tangency portfolio 為(wèi)目标對(d≠₽≠uì)著(zhe)曆史數(shù)據進行(x®↕íng)挖掘：

There is an obvious danger that, in t♣↓≈he absence of discipline from theor©≥≤∏y, factor models degenerate into lon®®g lists of factors that ​♠αcome close to spanning the Ω→"→ex post MVE tangency portfolio ✘π×<of a particular peri₩£•£od.

出于這(zhè)個(gè)原因，Fama and French (2018↓π ) 在 FF5 加入動量因子(zǐ)的(d£‌e)時(shí)候顯得(de)異常小(xiǎo)心♠¶♥謹慎：

We include momentum fact€∏✔πors (somewhat reluctantly) now to ↑α§satisfy insistent popular demand. We$α worry, however, that opening the gam★↓Ωe to factors that se"₽em empirically robust but lack theoreti∏✘×cal motivation has a destru‍"‌∏ctive downside — the end of disci∏≈pline that produces parsimoni♦<ous models and the be​®ginning of dark age ₹®>of data dredging that producesα  a long list of factors with litt→÷ Ωle hope of sifting through them in a stφΩatistically reliable way.

對(duì)于一(yī)個(gè)因子(zǐ)模型來(lái)說(shu>φφ₩ō)，它是(shì)為(wèi)了(le)解釋<♦♣€股票(piào)收益率如(rú)何共同運動的(de)，因此必須和(h≥‍é)個(gè)股的(de)協方差矩陣密切相σε(xiàng)關（Pukthuanthong, Roll, and Subr₩♥®ahmanyam 2019）。僅靠因子(zǐ)模型之間(jiān)相(​<xiàng)互 spanning tests，或者用(yòng)一(y ≤ī)籮筐其實相(xiàng)關性都(dōu)不(b∞∞ù)低(dī)的(de)異象（全都(dōu)是(s€₹↕hì)投資組合；連個(gè)股都(dōu)沒有(∏★•↔yǒu)用(yòng)）來(lái)檢驗因子(zǐ)模型，恐怕&<©π和(hé)前面的(de)目标還(hái)有(yǒ"βΩu)一(yī)定的(de)距離(lí)。如(rú)此 factor war 意義十分(fēn)有(yǒu)限。最後，我想用(yòng) Fama and French  α™ (2018) 裡(lǐ)的(de)一(yγ≈ī)段話(huà)作(zuò)為(wèi)本文(wén)的(de)結尾。他(t±∑ā)們二位呼籲高(gāo)質量和(hé)有(yǒu)意義的(de)因子(zǐ​≥)模型比較。此外(wài)，對(duì)于∏↕™γ factor modeling，必須要(yàoα")有(yǒu)理(lǐ)論依據，避免建模本身(shēn)成為(wèi)對(duφ₽​ì)著(zhe)曆史數(shù)據進行(xíng)數(s↕♥&×hù)據挖掘。然而，實現(xiàn)這(zhè)一(yī)切需要(y×φào)我們對(duì)市(shì)場(chǎng)更深Ω↔的(de)理(lǐ)解。

In general, if inference iπ•s to have content, the list of mode€λΩls considered in a study must&≠♣ be relatively short. Mo↔∑reover, if factor modeling is not to d↓ egenerate into meaningle'£ss dredging for the ex post MVE pΩγortfolio, the number of factors in××β models must also be limited. Establ↔↓γ'ishing ground rules, h≠≤× owever, awaits more expe∏βrience.

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