Risk-Return Tradeoffs (II)

許多(duō)論文(wén)拓展了(le)隐​ ←性條件(jiàn)因子(zǐ)模型 (4.8) 中關于 b®÷♦★eta 的(de)設定。IPCA 可(kě&‍₩)以被視(shì)為(wèi)使用(yòng)↓♣ε可(kě)觀察特征數(shù)據的(de)線性變化(huà​★≥£)來(lái)近(jìn)似風(fēng)險暴露。盡管許多(♦≤duō)資産定價模型預測預期收益率和(hé)狀€ ₽±态變量之間(jiān)存在非線性關系，但(dàn₽∞)在篩選條件(jiàn)變量和(hé)挑選函數 ∑(shù)形式方面，理(lǐ)論文(wén)獻能(né α‍ng)夠提供的(de)指引十分(fēn)有(yǒu)限。機(jī)器(qì<α'↔)學習(xí)的(de)出現(xiàn)使人(rén)們能(néng)夠用‍'(yòng)一(yī)系列的(de)非線性方>≠法來(lái)應對(duì)函數(shù)形式的(de)模€®σ✔糊性。

在早期的(de)研究中，Connor et al. (2012) 和(hé)  ₽Fan et al. (2016b) 通(tōng)過将 bet×↕a 視(shì)為(wèi)條件(jiàn)特征的(de)非參•Ω數(shù)函數(shù)，從(cóng)而實現(xiàn) beta∏¶ 的(de)非線性設定（但(dàn)與 ≥∞IPCA 不(bù)同，為(wèi)了(le)可(kě)™$​®解釋性，這(zhè)些(xiē)特征在時(shí)間(jiān)維度φ<¥£上(shàng)是(shì)固定的(de)）。利用(yòng)這(zhè✘↑)一(yī)框架，Kim et al. (forthcoming) 研÷×究了(le)能(néng)夠對(duì)沖掉因子(zǐ)β&風(fēng)險的(de)“套利”組合的(de)行(xíng)為(wèi)。‍₹✔

Gu et al. (2021) 利用(yòng)神經網絡将 ✔‌beta 表述為(wèi)特征的(de)非線性函數("•☆shù)，從(cóng)而擴展了(le) IP÷↔ΩCA 模型。圖 4.3 展示了(le)他(tā)們的(de)σ&÷ “條件(jiàn)自(zì)編碼器(qì)”（CA）模型。圖 4.3 揭示了βλ'(le)其基本結構，該結構與 (4.8) 的 ™(de)不(bù)同之處在于，它通(tōng)過非線性σ₹★‍激活函數(shù)傳遞輸入數(shù)據（工(gōng)具變量  ）。CA 是(shì)首個(gè)明(míng)确同時(≤δshí)考慮風(fēng)險和(hé)收益的(de)股票(piào)收益Ω™♣率深度學習(xí)模型。其結果表明(míng)，盡管就(jiù)總體(tǐ) ÷•‍® 而言 CA 和(hé) IPCA 表現(xiàn)相(¶♠ ←xiàng)當，但(dàn)在預測性  方面，它大(dà)大(dà)超過了(le) I±ΩPCA。換句話(huà)說(shuō)，C€↕©A 能(néng)夠更準确地(dì)計(jì)算(suàn)資産因暴露φ​γ于因子(zǐ)風(fēng)險而獲得(de)的(de)條件₹≠≤←(jiàn)補償。（譯者注：如(rú)果使用(yòng)線性激↓<Ω活函數(shù)，則 CA 基本上(shàng)和< ♥(hé) IPCA 等價；但(dàn)由于₹Ω使用(yòng)了(le)非線性激活函數(shù)，♦₩從(cóng)而使 CA 能(néng)夠描述協變量​✔♦✘和(hé)收益率之間(jiān)潛在的(de)非線性£☆關系。不(bù)過從(cóng)他(tā)×↔& 人(rén)後來(lái)複現(xiàn)λσ ​的(de)實證結果來(lái)看(kàn)，雖然 CA 因能(néng)捕捉✘λ≠非線性而更具潛力，但(dàn)是(shì) IPCA 在樣本外(wà✘¶₩₩i)的(de)表現(xiàn)似乎始終優于λ∑ CA。）

Gu et al. (2021) 是(shì)一(yī↕φ☆≠)個(gè)高(gāo)度複雜(zá)的(de)模型。其出色的(de)實證表≤₽©現(xiàn)暗(àn)示著(zhe)，對(≤≥¶ duì)于因子(zǐ)模型而言，複雜(zá→♦ ₽)性提升帶來(lái)的(de)好(hǎo)處可(kě)能(n≠δéng)與 Kelly et al. (2022a) 在市(shì£÷ )場(chǎng)擇時(shí)研究中所發現(xiàn)的(de)₽<™£效果類似（譯者注：即複雜(zá)度可(kě)以提升樣α×​本外(wài)表現(xiàn)。）。Didγ™↓isheim et al. (2023) 正式提出了(le)上(shàng✘§)述觀點并證明(míng)了(le)因子(zǐ)定價模型中複雜(zá)性的​ ¥©(de)優越性。他(tā)們的(de)分(fēn)析是(shì)基γ​"于條件(jiàn)随機(jī)貼現(xiàn)✘÷★®因子(zǐ)（SDF）視(shì)角展開(kāi)。一(yīφβ)般而言，SDF 可(kě)以被表述為(wèi)一(yī)∞☆£♠組風(fēng)險資産的(de)投資組合：

其中，  是(shì)  個(gè)資産的(de)超額收益率向量。  維向量  包含 SDF 的(de)條件(jiàn)權重，  代表  期信息集的(de)條件(jiàn)變量。由于不(b← ↕>ù)知(zhī)道(dào)  的(de)函數(shù)形式，我們用(yòng)機(jī)器(qì)學習(±₹®©xí)模型來(lái)近(jìn)似它：

其中  是(shì)  的(de)某個(gè)非線性函數(shù)，且在上(shà "±ng)述近(jìn)似中的(de)  相(xiàng)應的(de)參數(shù‍♥¶‍)數(shù)量  很(hěn)大(dà)。該關于 SDF 的(de)機(jī)器★↕↑(qì)學習(xí)模型可(kě)以解釋為(wèi)具有(yǒ$★σ♦u)  個(gè)因子(zǐ)的(de)因子(zǐ)定價模型：

其中每個(gè)“因子(zǐ)”  是(shì)使用(yòng)非線性資産“特征”   為(wèi)權重的(de)風(fēng)險資‍¶§§産的(de)投資組合（managed portfolio）。D♠₽✔idisheim et al. (2023) 的(de)主要(yào)理(✘♠α✔lǐ)論結果顯示，在資産定價模型中因子(zǐ)越多(duō)越好(hǎo)。在該設定下(xià)，增加因子(zǐ)個≠₽× (gè)數(shù)意味著(zhe)更充分(fēn)利用(y→∞ ✘òng)  所包含的(de)信息，從(cóng)而可(kě)以使用(yòng∞×α)相(xiàng)應的(de)方法更好(hǎo)地(dì)近(jìn)似真正的♠>(de) SDF。對(duì)于 SDF‍δ↔" 的(de)更優近(jìn)似将勝過了(le)需要(yà®™ε♦o)估計(jì)更多(duō)參數(shù)所帶來(lái)的(de↕₽σ)統計(jì)成本。因此，随著(zhe)因子(zǐ)數(shù)量的(de)增 ♣✔加，樣本外(wài)的(de)預期定價誤差将減小(xiǎo)。這(z​ ©hè)種關于模型複雜(zá)度的(de)解釋對(du&✔​ì)傳統的(de) APT 構成了(le)挑戰，後者主張隻需少(shǎo)♠≈量的(de)風(fēng)險因子(zǐ)便能≥≠≠↓(néng)夠為(wèi)任何可(kě)交易資産提供有(™↑yǒu)關風(fēng)險-收益率權衡的(de)完整描述（譯者注：APT 沒✔>有(yǒu)這(zhè)個(gè)要(yào)求。）。這(zhè)意味著(≤↕zhe)，即使在套利不(bù)存在且 SD​δF 存在的(de)前提下(xià)，由于我們必須估計(jì)♥©≈ SDF，因此很(hěn)有(yǒu)可(k≈®ě)能(néng)（實際上(shàng)是(shì)可(kě)以預見•‍™(jiàn)的(de)）将持續不(bù)斷地(dì)找到δ$(dào)不(bù)能(néng)被已有(yǒu)因子(₩→‌zǐ)定價的(de)新的(de)實證“風±™φ(fēng)險”因子(zǐ)，而将它們加入定價模型将不(bù)斷地(☆λdì)提高(gāo)其樣本外(wài)的(de) ®≤表現(xiàn)。

4.5 高(gāo)頻(pín)模型

随著(zhe)可(kě)交易資産越來(lái)越多(↑≤ ≥duō)的(de)以及它們的(de)高(gāo)頻(pín)交易數δ→₩♠(shù)據越來(lái)越多(duō)，數(shù)據可(kě)得(↔¥✔™de)性的(de)提升為(wèi)估計(jì)單個(gè)資産的(de)風(f"♥₽ēng)險及其相(xiàng)互依賴性提供了(le)獨特的(de)機(λδ♣✘jī)會(huì)。通(tōng)過簡單的(de)非參數(shù)化(huà→£)波動率和(hé)協方差，Andersen δεand Bollerslev (1998)、≠εAndersen et al. (2001) 以及 Barndor ¥ ff-Nielsen and Shephar∑<d (2002) 展示了(le)如(rú)何利用(y∞宣òng)豐富且及時(shí)的(de)日(rì)內(nè←×εγi)價格數(shù)據更好(hǎo)地(dì)了(le)解資産市(shì)‍ε∏↑場(chǎng)的(de)波動。使用(yòng)高(gāo)頻(∏ε"≠pín)指标有(yǒu)助于解決研究低(dī)頻(pín)時(shí)間(→ ₩jiān)序列時(shí)面對(duì)的(de)若幹挑戰。例如(↕₹✔rú)，它幫助研究者在無需依賴太多(duō)假設的(de)前提下"∏>(xià)，來(lái)處理(lǐ)結構性變化(huà)和(hé)時✘≈(shí)變的(de)參數(shù)。此外(wài)，對(duì<π∞♠)于日(rì)內(nèi)數(shù)據建模而言，經典時(sh≈×↓×í)間(jiān)序列分(fēn)析中關于線性、平穩性、依賴'★βδ性和(hé)異方差性的(de)許多(duō)标準假♠π©設往往是(shì)不(bù)必要(yào)的(de)。•♠α♦

在最新的(de)文(wén)獻中，我們發現(xiàn)存在兩大←α‍×(dà)流派，它們均采用(yòng)機(jī)器(qì)學習(xí)技∏" σ(jì)術(shù)來(lái)估計(jì)高(gāo)維協方差矩陣，并利用( γyòng)高(gāo)頻(pín)數(shù)據提高(g×♦āo)波動率預測的(de)準确性。

對(duì)于成功構建投資組合而言，準确的(de)協"₽∑π方差估計(jì)至關重要(yào)。但(dàn)是(shì)，由π£&✔于維數(shù)災難問(wèn)題，估計(jì)高(gāo)維協方∞"γ 差矩陣是(shì)一(yī)個(gè)極具挑戰性的(de)"™統計(jì)問(wèn)題。許多(duō)方法依賴于各種形式的(d↓♠e)收縮以改進估計(jì)（Bickel and Levina →∑'≈2008a; Bickel and Levina 2008b; Ca​☆i and Liu 2011; Ledoit and Wolf 2012; Led↑§¶λoit and Wolf 2004）。受 APT 啓發，Fan et al. (2‌ ↔↔008) 考察了(le)包含可(kě)觀測因子(zǐ)的(de)嚴♥↔→ 格因子(zǐ)模型，并提出了(le)基于因子(zǐδ→)模型的(de)協方差矩陣估計(jì)量，而 " ‌≤Fan et al. (2013) 則轉而研↑→≥究了(le)包含隐性因子(zǐ)的(de)近(jìn)似因σ¶✘子(zǐ)模型，并提出了(le)相(xiàng)應的(δαde)估計(jì)量。

當面闆數(shù)據的(de)（橫截面）維度接近(jì♣✔n)樣本大(dà)小(xiǎo)時(shí)，在>↕"高(gāo)頻(pín)數(shù)據中使用(yòng)因子(zǐ≥©≠)結構式必要(yào)的(de)。然而，低(dī)頻(p∞₹ín)和(hé)高(gāo)頻(pín)數(shù)據中的(de)計☆←>™(jì)量經濟學方法在本質上(shàng)存在差¶≤異。後者通(tōng)常基于一(yī)個(gè)通(tōng)用(y​‌"♥òng)的(de)連續時(shí)間(jiān)半鞅模型，允許收益率的©£©(de)變化(huà)中出現(xiàn)↕∑随機(jī)變化(huà)和(hé)跳(tiào)躍。針對(duì)日(rì)☆±內(nèi)數(shù)據，Ait-Sahalia λπ→<and Xiu (2019) 提出了(le)非參數(shù) PCA 的(λ¶σ↓de)漸近(jìn)理(lǐ)論，為(wèi)在連續時(shí)間(jiā≥♥ n)中應用(yòng)因子(zǐ)模型鋪平了(le)道÷™(dào)路(lù)。此外(wài)，基于連續時(shí)間(jiā& ‌γn)因子(zǐ)模型，Fan et al. (2016a) 和(hé<') Ait-Sahalia and Xiu✘σ (2017) 使用(yòng)高(gāo)頻(pín)數(shù)據<↓‍•提出了(le)個(gè)股高(gāo)維協方差矩£‍α 陣的(de)估計(jì)量。

一(yī)個(gè)充滿前景的(de)研究方向是(shì)将關¥∏✔×于高(gāo)頻(pín)風(fēng)險度量的(d✘ε→e)文(wén)獻與關于預期收益率橫截面的(de)文¶≈(wén)獻相(xiàng)結合，從(cóng)而利用(yòng)更豐γ¥富的(de)風(fēng)險信息來(láε< i)獲得(de)有(yǒu)關風(fēng)險-收益權衡的(de)深‌✘γ≈入見(jiàn)解。在這(zhè)個(gè)方向上(shàng)的(®'§de)一(yī)些(xiē)相(xiàng)關研究包括 Bo≈ Ω∑llerslev et al. (2016)。¶₩€♥他(tā)們在連續時(shí)間(jiā ‍≥¥n)框架下(xià)計(jì)算(suàn)了λ↕(le)個(gè)股對(duì)單一(yī)♥¶±✘市(shì)場(chǎng)因子(zǐ)運動中連續和(h§ é)跳(tiào)躍兩部分(fēn)各自(zì)♦'的(de) beta 值，然後在離(lí)散時(shí)間(ji≈±¥ān)框架中将研究了(le)上(shàng)述 beta 估計(jì)值和(π₽☆‍hé)股票(piào)預期收益率的(de)截  ™面關系。Ait-Sahalia et al. (2021) 在統一(yī)的¥π≥↔(de)連續時(shí)間(jiān)框架下(x§$קià)為(wèi)風(fēng)險溢價提供了(leε♦)統計(jì)推斷。他(tā)們在第一(yī)步考慮多(duō)個(g↔♦è)因子(zǐ)和(hé)随機(jī) beta 值，并将通(tōng)λ✔σ¥過第一(yī)步估計(jì)得(de)到(dào)的(d✔‌e) beta 應用(yòng)于第二步中，進而擴展π&了(le) Shanken (1992a) 的(d↔•e)經典推斷方法。在實證方面，他(tā)們使用(yòng) $σ‌<Ait-Sahalia et al. (2020) 使用(≥$¶‌yòng) 15 分(fēn)鐘(zhōng)收益率構∞ ‌造的(de) Fama-French 和(hé÷♦)動量因子(zǐ)，檢驗了(le)日(rì)內•σ(nèi)收益率的(de)因子(zǐ)模型。

利用(yòng)高(gāo)頻(pín)數(shù)據測量波動率的(de)想法€​也(yě)使得(de)有(yǒu)關波動率預測的(de)研究充滿前景。C$∑∏orsi (2009) 提出的(de)測量曆史已實現(xiàn)波動<×δ₩率的(de)異質自(zì)回歸（HAR）模©★∑☆型已是(shì)當前學術(shù)研究和(hé)業(yè)界實踐中領先的(d∏β™e)波動率預測模型。最近(jìn)，有(yǒ ¥u)許多(duō)論文(wén)研究如(rú)何通(tōng)過機♦×(jī)器(qì)學習(xí)進行(xín₽‍g)波動率預測，包括 Li and Tang (2022) ♦πφ以及 Bollerslev et al. (2022)。但(dàn)與收​β₽益率預測時(shí)機(jī)器(qì)學₹¶​​習(xí)預測的(de)有(yǒu)效性體(tǐ)現(xiàn)為(wèi)↑γ更高(gāo)的(de)夏普比率不(bù)同，對(duì)于₹®₹ 波動率預測而言，人(rén)們尚不(bù>&↕)清楚機(jī)器(qì)學習(xí)模型能(n≤∏ ∑éng)否以及在多(duō)大(dà)的(dπ<e)經濟學意義上(shàng)超越了(le)已有(yǒu)α§‌的(de) HAR 模型。這(zhè)是(shì)研究中一(yī)個(gè)有✔γ≤(yǒu)趣的(de)開(kāi)放(f↔γφàng)性問(wèn)題。

4.6 Alphas

本節討(tǎo)論關于 alpha 檢驗和(hé)機(jλ> ī)器(qì)學習(xí)的(de)相(xiàng)關文(wén)獻Ω Ω∏。Alpha 是(shì)預期收益率中未σ♠φβ被因子(zǐ)暴露所解釋的(de)部分(f↕♥ēn)，因此它是(shì)一(yī)個(g≥↓è)依賴模型（以及測試資産）的(de)對(duì)象↓↓&。由于經濟理(lǐ)論通(tōng)常過于簡化(huà)、不(bù)能♥↕↕≈(néng)指明(míng)所有(yǒu α♥‍)的(de)因子(zǐ)，且數(shù)據☆φ量也(yě)不(bù)足以讓人(rén)©α♠↓們通(tōng)過數(shù)據驅動的(de)方式推斷出所有(☆€€yǒu)真正的(de)因子(zǐ)，模型設定偏誤★ "的(de)存在使得(de)區(qū)分(fēn)'Ω alpha 和(hé)因子(zǐ)暴露的™×(de)“公平”補償充滿挑戰。例如(rú)，alpha 可(kě)能(nΩ∑β↕éng)是(shì)因子(zǐ) bet←πa 偏弱的(de)表現(xiàn)，這(zhè)讓∑♠'™人(rén)想起回歸中的(de)遺漏變量問(w䣶èn)題。換句話(huà)說(shuō)，一(yī)個(gè)模型的($≠☆de) alpha 可(kě)能(néng<'λ<)是(shì)另一(yī)個(gè)模型的(de) beta。✘ λ在一(yī)個(gè)隐性因子(zǐ)模 $•↑型中，alpha 和(hé) beta 最終是(shì)由一(±≈​yī)個(gè)區(qū)分(fēn)因子(↔↔ εzǐ)與特質性噪聲的(de)因子(zǐ)強度阈值來§∞(lái)區(qū)分(fēn)的(de)→¶™≥。

我們主要(yào)從(cóng)非條件(jiàn☆")隐性因子(zǐ)模型的(de)角度分(fēn)析 alpha。之所以強調¶≥≥非條件(jiàn)而不(bù)是(shì)™<↔>條件(jiàn) alpha 是(shì)因為(wèi)γ'₩™前者是(shì)學術(shù)研究的(de)重點。此外(wài)，我們£σ" 關注隐性因子(zǐ)模型是(shì)因為(wèi)對(duì)隐形因子(zǐ→§)模型來(lái)說(shuō)，模型設∑₽定偏誤問(wèn)題沒那(nà)麽嚴重。

4.6.1 Alpha 檢驗和(hé)經濟重要(yào)性

長(cháng)久以來(lái)，實證資産定價←≤的(de)焦點是(shì)原假設，即所有(yβ$☆™ǒu)的(de) alpha 都(dōu)等于零  ，是(shì)否成立。這(zhè)是(π₽"shì)一(yī)個(gè)單一(yī)假設×±∞ ，有(yǒu)别于我們稍後将討(tǎo)論的(de)多(duō)重假設  ÷alpha 檢驗問(wèn)題。一(yī)旦  被拒絕，它往往被解釋為(wèi)資産定價模型存在偏誤或者測試資産存在錯(c<×​σuò)誤定價（有(yǒu)時(shí)它也(yě)會(huì)被錯(cu≠÷✘ò)誤地(dì)視(shì)為(wèi)違背了(le) Ross (1976) 提出的(de) APT）。（譯者注：即我✘☆們可(kě)以說(shuō)拒絕了(le)一(yī)個↕πγ♦(gè)實證模型，但(dàn)是(shì)不(bù)能(néng)說(shuō♣λ<♣)拒絕了(le) APT。APT 是(shì)一(yī)​↔σ個(gè)定價框架但(dàn)并未給出什(shén)麽才是(shì)合适★↔→的(de)定價因子(zǐ)。）

衆所周知(zhī)的(de) GRS 檢驗（Gibbons ☆∏et al. 1989）是(shì)針對(duì)₩¥≈¥  的(de)卡方檢驗，專為(wèi)含有(yǒu)可(kě)觀測因子멶(zǐ)的(de)低(dī)維因子(zǐ)模型設計(jì)。Fan et aε$l. (2015) 和(hé) Pesa↓"♣→ran and Yamagata (2017) 設計​↔(jì)了(le)在高(gāo)維環境中檢驗  的(de)方法。由于它消除了(le)原始 GRS↓§↑σ 檢驗中要(yào)求 £→&β 的(de)約束并當  較大(dà)時(shí)提高(gāo)了(le)檢驗的(≥€♦de)功效，因此在方法上(shàng)是(shì)一(yī)個(gè)‍>≈重要(yào)的(de)進步。盡管這(zhè)×≤→ 些(xiē)方法最初是(shì)為(wèi)±÷₽包含可(kě)觀測因子(zǐ)的(de)因子ε' ₹(zǐ)模型提出的(de)，但(dàn)可(kě)以将 ☆δ¶它們擴展到(dào)隐性因子(zǐ)模型中。事(s‌☆hì)實上(shàng)，Giglio et al. (20∞∏×≠21a) 利用(yòng)公式 (4.4) 和(hé)★©↓ (4.6) 給出的(de)因子(zǐ)暴露以及風(fēn ​∏g)險溢價估計(jì)，構建了(le)一(yī)個£₽(gè)關于 alpha 的(de)估計(jì)量：

他(tā)們還(hái)推導了(le) alpha₹ ∏λ 的(de)必要(yào)漸近(jìn)展開(kāi)，為(w∞ ​èi)在隐性因子(zǐ)模型中檢驗 alpha 鋪平→÷了(le)道(dào)路(lù)。

GRS 檢驗統計(jì)量基于  ，它可(kě)以理(lǐ)解為(wèi)對(duì)于一(yī)個(gè)因∑¥•子(zǐ)暴露為(wèi)零的(de)投資組✘©<↔合能(néng)夠獲得(de)的(de)最高(>✘✘•gāo)夏普比率平方。然而，估計(jì)這(zh趥)個(gè)夏普比率是(shì)一(yī)回事(shì)，而通(tōng)λ♦¥★過一(yī)個(gè)交易策略來(lái)實現(xià$→n)它則是(shì)另一(yī)回事(shì)。也(yě)就(jiù)£ δφ是(shì)說(shuō)，在 GRS 這(zhè)類檢↑↑驗中拒絕零 alpha 假設并不(bù)一(yī)定ε★​意味著(zhe)它能(néng)夠在經濟意義上(shàng)産生₹₽(shēng)多(duō)麽重要(yào)的€β≥(de)結果（譯者注：即很(hěn)難在實際ε¥σ 中在考慮了(le)所有(yǒu)交易成本以及市(shìε₩✔≠)場(chǎng)摩擦之後，投過某個(gè)可(kě)實施的™"ε•(de)投資策略來(lái)獲得(de)這(zhè)種夏普率&£☆。）。隻有(yǒu)在考慮了(le)潛在套利者交易策略的(de)可(kě)αδ♦γ行(xíng)性之後，定量討(tǎo)論 alp÷♥ha 的(de)經濟重要(yào)性才是(shì)有(yǒu)意義的(dσ"e)。隻有(yǒu)從(cóng)經濟角度₩‍評估統計(jì)上(shàng)的(de)拒絕才對(duì)資産£>ε®定價研究更有(yǒu)價值，也(yě)對(duì)從¥¥(cóng)業(yè)者而言更加重要(yào) ≤δ&。

APT 假設套利者知(zhī)道(dào)收益率生(shēng)≠£成過程的(de)真實參數(shù)。隻要(yào)樣本量足夠大(dà)，該這(™₽≈zhè)假設可(kě)能(néng)是(shì)成立的(de)。因為$♦α☆(wèi)在這(zhè)種情況下(xià)，₩↓參數(shù)能(néng)夠被（漸近(jìn)地(dì)）準♥←₽γ确估計(jì)出來(lái)，且套利者的(de)行(x®↓λ$íng)為(wèi)（近(jìn)似地(dì)）表現(•×§★xiàn)得(de)好(hǎo)像他(tā)們确切地(dì)知(zhī)道(¶ →dào)了(le)這(zhè)些(xiē)真實參數↑♠£(shù)。但(dàn)問(wèn)題是(shì)，在 APT α♠的(de)設置中，套利者必須知(zhī)道(×>dào)越來(lái)越多(duō)的(de) alpha，因此'↑←，橫截面維度相(xiàng)對(duì)于典型的(de)樣本大(dàδα)小(xiǎo)來(lái)說(shuō)是(shì)≠π​太大(dà)。因此，即使是(shì)在  很(hěn)大(dà)的(de)極限情況假設λ≠套利者了(le)解所有(yǒu) alpha 也(yα ě)是(shì)不(bù)合理(lǐ)的(de)。

Da et al. (2022) 重新審視(shì)了(le) APT Ω，并放(fàng)寬了(le)參數(shù)已知(zhī)的(de)假設。在 ​₹§他(tā)們的(de)設定中，套利者必須使用(yòng)一(yī)個(gφ‍&è)基于樣本大(dà)小(xiǎo)為(wèi)  的(de)曆史數(shù)據而構造的(de)∑&‌×可(kě)交易策略。對(duì)于  期的(de)任何可(kě)行(xíng)策略  （譯者注：策略由投資組合的(de)權重  表示。），他(tā)們定義了(le)該策略下(xià)一(€←®yī)期的(de)條件(jiàn)夏普比率：

其中  是(shì)  期的(de)信息集。他(tā)們指出  滿足：

其中當  趨向于無窮時(shí)   是(shì)因子(zǐ)的(de)協方差矩陣Ω '®，而  是(shì)由  生(shēng)成的(de)信息集。

很(hěn)顯然，  是(shì)最優因子(zǐ)組合的(d>™£§e)夏普比率平方。因此，對(duì)于任何因子¥÷σ(zǐ)中性策略  ，即  ，

這(zhè)個(gè)結果表明(míng)，alpha 的(de)後驗估計​€Ω(jì)決定了(le)可(kě)行(xíng)的(d÷±♠e)最優夏普比率以及統計(jì)套利利潤ασ的(de)上(shàng)限。任何機(jī)器(✔☆€qì)學習(xí)策略，無論簡單還(hái)∞∞♥是(shì)複雜(zá)，都(dōu)需要(yào)遵循這®π≠®(zhè)個(gè)可(kě)行(xíng)的(de)夏普比率上(₹→€₽shàng)限。

一(yī)般來(lái)說(shuō)，  ，僅隻有(yǒu)當  幾乎必然時(shí)等号才成立。這(zhè)裡(lǐ)，  來(lái)自(zì)可(kě)行(xíng)的(de)交易策略，而 ¥®® 則代表了(le)不(bù)可(kě)行(xíng)₹​♦的(de)最優夏普比率。

可(kě)行(xíng)和(hé)不(bù)可(kě)行(xíng)策略之間‌↔(jiān)的(de)“夏普比率差距”刻畫(huà)‌✔了(le)統計(jì)學習(xí)的(deγ♥)難度。學習(xí)難度越高(gāo)，則差距就(j​↔iù)越大(dà)。圖 4.4 考慮了(lπ≈≥e)假想的(de)收益率生(shēng)成過程并報(€♥ bào)告了(le)這(zhè)兩個(gè)夏普比率之比§₹γ≥，其中  的(de)概率為(wèi)  ，  或  的(de)概率各為(wèi)  。殘差的(de)協方差矩陣  是(shì)一(yī)個(gè)以  為(wèi)方差的(de)對(duì)角陣。在這(≠≥∞zhè)類 DGP 中，  表征了(le) alpha 相(xiàng)對(duì)于噪聲✔φ的(de)強度，而  刻畫(huà)了(le)其稀有(yǒu)性。通(t÷≈"∏ōng)過改變  以及  的(de)取值，我們可(kě)以理(lǐ)解數(shù)據生(s↔₽hēng)成過程如(rú)何影(yǐng)響套利者的(de)表現(x≤ ≠σiàn)，如(rú)圖 4.4 所示。随著(zhe)  的(de)增加，alpha 足夠大(dà)且學習(xí)難度¶÷≈不(bù)高(gāo)，夏普比率差距就(jiù)會(huì)更小(xiǎo)λ&。盡管更普遍的(de) alpha 也(yě)會 ∑<(huì)降低(dī)夏普比率差距的(de)縮小(xiǎoφ')，但(dàn)其稀有(yǒu)性的(de)作(zuò)用(yòng)并不(b  ®ù)突出。

Da et al. (2022) 展示了(le)如(rú)何定量刻畫(huà§δΩ)可(kě)行(xíng)和(hé)不(™ ₹‌bù)可(kě)行(xíng)夏普比率之間₽♥(jiān)的(de)差距。他(tā)們基于一(yī)個(gλ≤è)包含 27 個(gè)因子(zǐ)的(de)模型來(lái)評估★© APT，其中 16 個(gè)公司特征和(hé) 1↑↔1 個(gè) GICS 行(xíng)業(₹‍¥yè)啞變量被用(yòng)作(zuò)可(kě)觀測的(∞Ωπ‌de) beta。使用(yòng) 1975 年(nián) 1 月(yuè¥ &•)到(dào) 2020 年(nián) 12 月(yuè)的(de✔₽®)數(shù)據，不(bù)可(kě)行(xíng)夏普₩↕₹比率的(de)估計(jì)值超過 2.5，是(shì)機(jī)器(qì)學∞ε習(xí)算(suàn)法獲得(de)的(de)可(kě)行£ε(xíng)夏普比率估計(jì)值 0.5 的(de)四倍有(y®♠∏ ǒu)餘。可(kě)行(xíng)夏普比率（在考慮交易成本之前）低(dī)γβ于 0.5 恰恰表明(míng) APT 在實證上(shàng)十分(fē₹'★n)有(yǒu)效。從(cóng)理(lǐ)論上(shàng)講，如(rú)πε 果套利者面臨更多(duō)的(de)統計♣✔(jì)困難，如(rú)模型設定偏誤、非稀疏的(de)殘差協方差矩&∞陣等，可(kě)行(xíng)和(hé)不(bù)λα可(kě)行(xíng)夏普比率之間(jiān)的(de)差距→ '會(huì)進一(yī)步擴大(dà)。

4.6.2 多(duō)重假設檢驗

自(zì)從(cóng) CAPM 以來(lái)，金(jīn)融經濟學界便開(kāi)始共同尋找異≥™&φ象；即能(néng)獲得(de) CAPM ™α×無法解釋的(de) alpha 的(de)投∑Ω ​資組合。其中的(de)一(yī)些(xiē)，如(rú)規$σ模、價值和(hé)少(shǎo)數(shù)其他(tāπ÷αφ)因子(zǐ)已被納入基準定價模型中（Fama and French 1§α>£993；Fama and French 2015∞'¶）。之後，一(yī)旦研究者發現(xiàn)這(zhè)★© 些(xiē)基準模型無法解釋的(de) alpha 時(s>¥σ≥hí)，就(jiù)宣布找到(dào)了(le)新的( §♦de)異象。Harvey et al. (2016) 對(duì)此進• £行(xíng)了(le)綜述并整理(lǐ)了(le)一‌δ$₽(yī)個(gè)超過三百個(gè)異象的(de)清單。他(tā)們←★提出了(le)一(yī)個(gè)重要(yào)的(de)批判觀點，©✔•即在檢驗新異象的(de)顯著性時(shí)未能(néng)正确考慮多(☆÷♦±duō)重假設檢驗的(de)影(yǐng)響。

在這(zhè)個(gè)背景下(xià)←ε的(de)多(duō)重假設檢驗是(shì)指同時(shí£×♥£)檢驗一(yī)組原假設：  。這(zhè)個(gè)問(wèn)題與早先討(tǎo)論的(de)φ→檢驗單一(yī)原假設  有(yǒu)本質區(qū)别。由于僅靠運氣就(jiù)會(huì)使單個('φgè) alpha 檢驗中出現(xiàn)一(yī)部分(fēn)顯σ☆‍£著結果從(cóng)而使它們的(de)原假設被錯(cuò)誤地(dì)拒絕，因♥±此多(duō)重假設建議(yì)容易造成僞發現(xiàn)問(wèn♠>)題。

設  是(shì)原假設  的(de)檢驗統計(jì)量。如(rú)果  （  是(shì)個(gè)預先指定的(de)阈值），那(nà)麽  就(jiù)會(huì)被拒絕。令  代表原假設為(wèi)真的(de)假設的(de)編号集合↓↑Ω。另外(wài)，令  表示樣本中所有(yǒu)被拒絕假設的(•₩®de)數(shù)量，令  表示該樣本中錯(cuò)誤拒絕的(de)數(shù)量：

  和(hé)  都(dōu)是(shì)随機(jī)變量，但(dà∞$©n)  是(shì)可(kě)觀測的(de)而  卻不(bù)是(shì)。

對(duì)于任何預先選定的(de)水(shuǐ)平♠→  ，比如(rú)  ，單個(gè)檢驗确保每個(gè)檢驗的(de)錯(cuò)¥≈•σ誤率的(de)上(shàng)界由  确定：  。換句話(huà)說(shuō)，預期的(de)錯(cuò)誤拒絕↓≤ 個(gè)數(shù)可(kě)以多(duō)達  。為(wèi)了(le)減少(shǎo)僞發現(←↓​xiàn)的(de)數(shù)量，另一(yī)個(♠​♥gè)方法是(shì)選擇一(yī)個(gè)更大(dà)​<£的(de)阈值來(lái)控制(zhì)族錯(cuò× )誤率（FWER）：  。不(bù)幸的(de)是(shì)，這(zhè)個(gè)方法在實踐中過☆←σ‍于保守。第三個(gè)方法則可(kě)追溯到(dào)δ®↔∑ Benjamini and Hochberg (1995♦↓↕‌)，即直接控制(zhì)僞發現(xiàn)率 (FDRΩ→÷)：  ，其中僞發現(xiàn)比例（FDP）及∞♥‍其期望 FDR 分(fēn)别定義為(wèi)  。

雖然資産定價文(wén)獻中早就(jiù)談到(dà×γ&o)了(le)一(yī)般的(de)數(shù)據窺探問(wèn)題（L♦✔•¶o and MacKinlay 1990; Sull®≠>βivan et al. 1999），但(dàn)早期的(de)建©σ♦$議(yì)是(shì)另選單一(yī)的(de)原假設≥​β，例如(rú)  或  （例如(rú) White 2000; Kosow≠‌¶¶ski et al. 2006; Fama and Fren↔÷₹±ch 2010）。Barras et al. (2010)，Bajgrowic$"•z and Scaillet (2012) 以及 Har♠∞vey et al. (2016) 則是(shì)最早在資産定價中采用©×¥(yòng) FDR 或 FWER 控制(zhì)方 ÷法來(lái)遏制(zhì)多(duō)重假設檢驗問(wèn)→×題。Harvey and Liu (2020) 提出了(le)一(yī)個(gè)雙層自(zì)助法方法來(lái)控♣€≠制(zhì) FDR，同時(shí)也(yě)考慮了(le)假陰性率和(‌β₩&hé)幾率比。Giglio et al. (2021a) 則提出了(le)≠£一(yī)種嚴格的(de)推斷方法，用(yòng)于控制(zhì)隐性因±✔∞子(zǐ)模型中 alpha 的(de) ΩσΩFDR，同時(shí)解決了(le)遺漏的(de)變量問( ★™σwèn)題、數(shù)據缺失問(wèn)題以及測試資産維度✔ ←過大(dà)的(de)問(wèn)題。Jensen et ×γσ$al. (2023) 則通(tōng)過一(yī)個(€±gè)貝葉斯分(fēn)層模型來(lái)實現(xiàn)對(duì)多(du©γ←•ō)重假設檢驗的(de)修正。該模型使用(yòng)了(le)€×零 alpha 先驗并利用(yòng)因子(zǐ)的(de)聯合表現÷&(xiàn)，允許利用(yòng)因子(zǐ₩←∏÷)之間(jiān)的(de)信息将 alpha 的 ε(de)估計(jì)值向先驗收縮。

歸根結底，多(duō)重假設檢驗在本質上(shàng)是(shì)一(yī)§βε♦個(gè)統計(jì)問(wèn)題。前述統計(jì)方法通(tōng)±≠♦常滿足一(yī)個(gè)好(hǎo)的(d≥↑e)統計(jì)檢驗所需具備的(de)标準，例如(rú)控制(zhì)第一(y≥εī)類錯(cuò)誤或僞發現(xiàn)率等。然而，比起統計(jì)标準，​×→經濟效益才是(shì)經濟主體(tǐ)最關λ÷Ω§心的(de)。但(dàn)是(shì)，這(zhè)兩個(gè)目标通€₽↔(tōng)常是(shì)相(xiàng)互沖突∏∑÷的(de)。Jensen et al. (2023) 和(hé) Da et>≤™ al. (2022) 指出，盡管傳統多(duō)重假設檢驗方法'♣能(néng)有(yǒu)效防範 FDR，但(dàn)以此↓÷✘♣選擇 alpha 會(huì)導緻極其保守的(de)交易策略。J≥↑Ωensen et al. (2023) 證明(m↑‍↕íng)，相(xiàng)比于使用(yòng)傳統方法控制(γΩ₽∑zhì) FDR 的(de)投資者，使用(yòng)貝葉斯分(fēn$♥β )層多(duō)重假設檢驗方法作(zuò)為(wèi)評判因子(zǐ)标準的±↕β(de)投資者将能(néng)夠獲得(de)更大(dà)的(¶§♦de)經濟效益。

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下₽∏₩(xià)，本文(wén)的(de)內(nèi∏↓≤π)容、信息及數(shù)據或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成♠₽§α對(duì)任何人(rén)的(de)投資建÷ε議(yì)。在任何情況下(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬♦←機(jī)構不(bù)對(duì)任何人(rén)因使用(↓♣₽yòng)本文(wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(dα₹e)任何損失負任何責任。除特别說(shuō)明(m♥ $íng)外(wài)，文(wén)中圖表♣∞λ均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàng)應論文(w‍♠↕én)，僅為(wèi)介紹之用(yòng÷↓$↓)，版權歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒu)。