Toward a better factor model ↔≥♠↑(II)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：Double bootstrap 在評價多(duō↔∞σ )因子(zǐ)模型時(shí)也(yě)能(néng)發揮​<作(zuò)用(yòng)。實證結果表明(míng)，Kelly¥≥≤ , Pruitt and Su (2019) 的(de) IPCA 模型可(kΩ≤₩ě)堪大(dà)用(yòng)。而在 ad-hoc 模型裡(lǐ)，F"≥ama and French (2015)×₩‍γ 似乎從(cóng)未被超越。

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還(hái)記得(de)《Toward a better factor&♦™× model》嗎(ma)？這(zhè)是(shì)本系列的(de)第二篇。其實它也(yě∞α )可(kě)以是(shì)《Farewell, ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)模•Ω₹型》系列的(de)第二篇，或者是(shì)《出色不(bù)如(rú)走運》系列的(de)第九篇。但(dàn)我認為(wèi)把它歸到→&γ(dào)《Toward a better factor←♥ model》最恰如(rú)其分(fēn)。

在《Toward a better factor model》★¥一(yī)文(wén)中，我介紹了(le)兩個(gè)檢驗多(d♦ uō)因子(zǐ)模型的(de)方法，其中之一(yī)是≤§∑(shì) Barillas and Shanken δ (2017) 的(de) right-hand-side approach，±£即我們隻需要(yào)比較不(bù)同模型所包含的(de)因子(z©αǐ) span 出來(lái)的(de)最大(d♦₩<à)夏普比率平方即可(kě)，夏普比率平方更↕​大(dà)的(de)是(shì)更好(hǎo₽ )的(de)模型。然而，随著(zhe)更多(duō)的(de)因子(zǐ)被加入到(dào)多¶✘"φ(duō)因子(zǐ)模型中，其 ex-post 最大 β(dà)夏普比率平方總能(néng)被提升。不(bù)過，這(zhè)一(yī'₹)定就(jiù)會(huì)導緻更好(hǎo)的(de)多(★φπ↑duō)因子(zǐ)模型嗎(ma)（即能(néng)夠♦φ₩ 更有(yǒu)效地(dì)解釋資産預期收益的(d‌​¶e)截面差異）？為(wèi)了(le)回答(dá)這"‌∑ (zhè)個(gè)問(wèn)題，不(bù)妨來(lái)看(kàn​¥)下(xià)面這(zhè)個(gè)極端的(​₽de)例子(zǐ)。

以最大(dà)化(huà) ex-post§¥ ‍ 夏普比率平方為(wèi)目标，我們從(cóng) Hou, X≤©✔ue and Zhang (2020) 考察的(deσ←★) 400+ 個(gè)因子(zǐ)裡(lǐ)以 t-statisti∑↑‌&c 為(wèi)标準挑出以下(xià) 7α®←∞ 個(gè)（雖然每個(gè)因子(zǐ)看(kànαβ)上(shàng)去(qù)都(dōu)挺合理(lǐ)，¶€$但(dàn)毫無疑問(wèn)在挑選的(de)過程中，我們刻意引入了(le) ✘γdata-snooping），而這(zhè)七個(g ↕✘è)因子(zǐ) + 市(shì)場(chǎng)↔±£因子(zǐ)構造的(de)多(duō)因子(λ≤"σzǐ)模型的(de) ex-post 夏普比率©↔"平方是(shì) CAPM 的(de)三倍。

根據 Barillas and Shanken (2§✘★017) 的(de)标準，上(shàng)述模型毫無疑問(wèn)←φ要(yào)“優于”CAPM 乃至那(nà)些(xiē)主流的(de) ad✘♣÷✔-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型（FF5、qπ ✘✔-factor model 這(zhè)些(xiē)）。然而，事(shì<↑')實真的(de)如(rú)此嗎(ma)？我們™$♣能(néng)對(duì)這(zhè)個(gè)< π≥經 data-snooping 挑出來(lái)的(de)模型抱有(yǒu)多δ₩φ(duō)大(dà)的(de)信心？信心自(zì)然不(bù)是(shì)憑空(kō✘∞ng)而來(lái)，而是(shì)要(yào)經過科(kē)✘σ‍≠學的(de)檢驗。為(wèi)了(le)檢驗多÷φ™(duō)因子(zǐ)模型，通(tōng)常使用(∞δ÷≤yòng) sorted portfolios 作(zuò)為(wèi) te ☆ st assets，然而實證結果和(hé)σ₽±≠理(lǐ)論推導均表明(míng)，檢驗¥♦結果在很(hěn)大(dà)程度上(shàng)取決于 test as≤∞ sets 的(de)選擇。為(wèi)此，一(yī)個(gδ≈←δè)自(zì)然而然的(de)問(wèn)題是(shì)，如(rú)何使用(yγ∑ òng) individual assets（個(gè)股）作(& ∏zuò)為(wèi) test assets 來(lái)檢驗模型£✔§。

這(zhè)個(gè)問(wèn)題由來(lái)已久。對(duì) inα₩dividual assets 來(lái)說§≈‌(shuō)，無論是(shì) β 估計 <(jì)不(bù)準還(hái)是(shì) prβ$÷®icing errors 太大(dà)，因此總會(hΩ uì) over-reject 多(duō)因子(zǐ)模型，導緻使用(‌®₩©yòng) individual assets 的(de)實踐難以展開(k↕®āi)。不(bù)過，這(zhè)些(xiē)困難從(cóαπ ∏ng)來(lái)沒有(yǒu)阻擋人(rén)們在這(z ​hè)條道(dào)路(lù)上(shàng)§♥♠不(bù)斷探索前行(xíng)。在剛剛進行(xíng)的(de) 2023 AFA 年(nián)會(huì✘ε)上(shàng)，有(yǒu)很(hěn)多(duō) asset &πΩγpricing 方面的(de) sessions，而其中我個(gè)人(rγ₩₽én)最喜歡的(de)是(shì)下(xià)面這(zhè)個(gè)題為®≥≠(wèi) Individual Assets and the SDF 的(d™✘↑'e) session。

其中 Clarke and Momeni (2021) 利用(₩≤yòng)從(cóng)基金(jīn)研究借鑒而來(≤¶lái)的(de) double bootstrap 方法，通★$(tōng)過個(gè)股檢驗了(le)主流的(de) ad-★♠÷αhoc 以及基于 PCA 的(de)多(dφφ€uō)因子(zǐ)模型，并為(wèi) Toward a better fa××ctor model 這(zhè)個(gè)話(huà)題提供了(le)非 &常有(yǒu)益的(de)啓發。本文(wén>₩ε÷)第二節就(jiù)對(duì)此進行(xíng   )介紹。

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Clarke and Momeni (2021) 一(yī)文(♠↔©♦wén)受到(dào)了(le) Kosowski, et al.∞∑ (2006) 以及 Fama and α÷≠ΩFrench (2010) 在基金(jīn)研究中使用(yòng) §£​bootstrap 方法的(de)啓發（見(jiàn)《出色不(bù)如(rú)走運 (VIII)》）。基金(jīn)研究的(de)目标是(shì)考察是(sh÷ ì)否有(yǒu)獲得(de)顯著超額收益的‌←♦γ(de)基金(jīn)；而多(duō)因子(zǐ)模≤λ型檢驗的(de)目标是(shì)考察是(shì)否有(yǒu)獲得(d∞σe)顯著定價錯(cuò)誤（pricing errors）的(d>↓e)資産。上(shàng)述類比告訴我們，γβ這(zhè)兩項研究一(yī)個(gè)共同的(de)前提條©≠€件(jiàn)是(shì)需要(yào)指定一(yī)個(gè)适當的(d₹‍e) benchmark。換句話(huà)說(shuō)，我們無法在沒有(yǒ₩>↕u)基準的(de)前提下(xià)談論哪些(xiēδ♥¶)基金(jīn)獲得(de)了(le)超額收益，☆φ®我們也(yě)不(bù)能(néng)在沒有(yǒu)多(duō)因子(¶±≤zǐ)模型的(de)前提下(xià)討(tǎo)論哪些(xiē)資産有×≤(yǒu)定價錯(cuò)誤。以上(shàng)描述似乎将我們推向一(yī)個(g≈≈₽×è)無盡的(de)循環：我們想要(yào≈σ)通(tōng)過 individual assets 來(λ☆lái)檢驗目标多(duō)因子(zǐ)模型，然後為(wèi)了(le)計✘©Ω(jì)算(suàn) pricing errors 我們又∏δ♥(yòu)需要(yào)事(shì)先指定多(duō)因子(zǐ)αε✔≤模型。有(yǒu)沒有(yǒu)辦法讓我們繞過這(zhè)個(gè)困境呢(✘→ne)？答(dá)案是(shì) bootstrap★​∑，更确切地(dì)說(shuō)是(shì) double boo ₽tstrap。

這(zhè)裡(lǐ)簡單解釋一(yī)下(xià)要(yào)↓ ∑✘用(yòng) double bootstrap 的(de)邏輯。以下(x←&"δià)的(de)說(shuō)明(míng)中涉及了(le) population model 和(hé) tested model，請(qǐng)格外(wài)注意。一(yī)般來(lái)說(shu ♥ō)，為(wèi)檢驗某個(gè)給定的(de)多(duō)因子(zǐ)模型 ¶∏，在這(zhè)個(gè) double boot↑≥¶$strap procedure 中，popuδ£lation model 和(hé) tested model 是(shì)同÷ 一(yī)個(gè)模型。當使用(yòng)不(bù)同模型時(shí)，可(♠÷✘kě)以定量刻畫(huà)該 procedure 的(de) ↓₹₽size 和(hé) power。首先，我們假設股票(piào)預期收益率數(shù)據滿足某個(gè)因子(♥±©¶zǐ)模型（比如(rú) CAPM、FF5），這(zhè↓​•)個(gè)模型就(jiù)是(shì) population model。然後用(yòng)真實股票(piào)和(hé)因子(★∏•¶zǐ)收益率曆史數(shù)據進行(xíng)時(shí)序回歸，得(de‍")到(dào)每個(gè)股票(piào)的(de♥♥) α，并把它們從(cóng)股票(piào)收益率&↑€時(shí)序中減去(qù)，得(de)到(dà ₹•o) demean 之後的(de)曆史數(shù)據。此時(shí) ≥δ，上(shàng)述數(shù)據滿足了(le)我們的(de)假設，即股π±≤&票(piào)收益率在 population m♦÷ odel 下(xià)沒有(yǒu) pricing erro↔✔β®rs。但(dàn)是(shì)請(qǐng)注意，到✘↑(dào)現(xiàn)在為(wèi)止，我們還(hái)沒有(&☆ $yǒu)進行(xíng)任何一(yī)輪 bootstrap，隻是(≤♣$≥shì) demean 了(le)一(yī)把。

接下(xià)來(lái)是(shì)第一(✘÷♣yī)輪 bootstrap。以上(shàn&•®↓g)述 demean 之後的(de)曆史數(shù)據作(zuò)為(≈÷→wèi) population，進行(xíng)有(yǒu)×✔放(fàng)回的(de) bootstrap♥±，構造一(yī)個(gè) bootstrapped samp✘☆§♠le。在這(zhè)個(gè)樣本中，我們通(tō  ng)過時(shí)序回歸計(jì)算(suàn)個(gè)股對(du ↓ì) tested model 的(de) α。注意，這(zhè)裡(lǐ)的(de) tested mod÷γ¥el 可(kě)以和(hé) populatiπ‍ ♥on model 是(shì)同一(yī)個(gè)模型，也(yě)可(kě↔​π≠)以是(shì)不(bù)同的(de)模型（後文(wén) ​&✔會(huì)進一(yī)步解釋差異。當 test₽∑$δed model 和(hé) populati✘λ≈on model 一(yī)緻時(shí)，由于 sampling erroφ 'r，個(gè)股依然有(yǒu) pricing err©↓ors）。我們的(de)目标是(shì)考察根據 tested model $₹≥♣計(jì)算(suàn)的(de) pricing errors 是(shìεε>↕)否在置信區(qū)間(jiān)之內(nèi)。如(rú)果 pricin ✘☆←g errors 在置信區(qū)間(jiān)之內('Ωnèi)，則可(kě)以認為(wèi)個(£δgè)股的(de)預期收益率滿足 tested model。接下( ₹≠®xià)來(lái)的(de)問(wèn)題就♣​≥(jiù)是(shì)：如(rú)何确定¥π置信區(qū)間(jiān)。這(zhè)就(jiù)需®δσ要(yào)第二輪 bootstrap。對(duì)于第一(yī)輪 boot→£§πstrap 得(de)到(dào)的(de) bootstrapp∑"ed sample，對(duì)每支個(gè)股減去(qù) tested&λ model 下(xià)的(de) pricin≥₩‌☆g error，然後得(de)到(dào) demeanedπ♥¥ bootstrapped sample，并把它視(shì)為(wèi)第> ↔二輪 bootstrap 的(de) pseud₩∞ε★o-population。對(duì)該 pseudo ↕×™-population 進行(xíng) 1000 次 bootstr₹₹> ap，即可(kě)得(de)到(dào)置✔ σφ信區(qū)間(jiān)。

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下(xià)面討(tǎo)論五點核心：

第一(yī)，為(wèi)什(shén)麽是(shì) doub​ le bootstrap。在第一(yī)輪 bootstrap 中，我們隻得(de)到(dào)σ✘δ÷了(le)未知(zhī) populat→↓¶ion 下(xià)的(de)一(yī)組個(gè)股 samp₩λ★le pricing errors，但(dàn)無法知(zhīφ¥♠₽)道(dào)這(zhè)些(xiē) pricing errors §∑是(shì)如(rú)何變化(huà)的(de)。★β✔在第二輪 bootstrap 中，我們将第一(yī)輪的(de)樣本作(zuòπ€✘)為(wèi)第二輪的(de) pseud→∑ o-population，并産生(shēng)以此為(wèi)總體( "tǐ)的(de)大(dà)量 bootstrap✘←'ped samples，從(cóng)而±Ω刻畫(huà) pricing errors 是(shì)如(rú®σδ)何變化(huà)的(de)。Bootstrap 方法确保我們能(néng)夠×★ε通(tōng)過“bootstrapped 樣本↔"統計(jì)量圍繞原始樣本統計(jì)量的(de)變化(huà)”來(lᮥ‍§i)刻畫(huà)“原始樣本統計(jì)量如(r∑♠ú)何圍繞總體(tǐ)統計(jì)量的(de)變化(huà)”。這(zhè)是(shì)我們通(tōng)過第二εσ↕輪 bootstrap 計(jì)算(suàn)置信區(qū)間(jiā←®♣n)并檢驗模型的(de)依據。

第二，population model 和(hé±£∑‍) tested model。一(yī)般來(lái)說(shuō)，在應用(yòng)'↕φβ double bootstrap 時(shí)↕§β≈，population model 和(hé)✔σ♦ tested model 是(shì)同一(yī)個(gè)模型，即待→ ☆↔檢驗的(de)因子(zǐ)模型。如(rú)果第一(yī)輪的©©←(de)樣本統計(jì)量處于第二輪 bootstra★∑☆☆p 得(de)到(dào)的(de)置信區(φ≤qū)間(jiān)內(nèi)，我們就(jiù)可(kě)∏δ以接受 tested model，反之即拒絕 ✘→σtested model。這(zhè)時(shí☆×≤)：

1. 如(rú)果 population mo ∞®del 和(hé) tested model 是(shì)同一(yī↑∑δ)個(gè)，則接受 tested model ∑ 是(shì)正确的(de)，而拒絕 tested mod♥÷$σel 是(shì)錯(cuò)誤的(deε‍↑)；

2. 如(rú)果 population model 和(hé) tested ×≠model 不(bù)同，比如(rú)假設 popul​φ∏✔ation model 是(shì) CAPM，但λ±♠(dàn)是(shì) tested mode§δ>l 是(shì) FF6（即總體(tǐ)符合 CAPM，但(d∑♠♥ àn)這(zhè)件(jiàn)事(shì)兒(ér)對(duì)我們是(→δ☆shì)未知(zhī)的(de)，我們取而代之檢驗 FF6），那(nà)麽接÷δ受 tested model 則是(shì)錯(cuò)‍Ω誤的(de)，而拒絕 tested model 才₹φ是(shì)正确的(de)。

由上(shàng)述論述可(kě)知(zhī)，如(rú)果 po≤₹pulation model = test£™ed model，則錯(cuò)誤地(dì)拒絕 tested model↕>↓≈ 的(de)概率衡量了(le)該方法的(de) size；&↓如(rú)果 population model ♣₹ €≠ tested model，則正确地(dì)拒絕 tested '™‌model 的(de)概率則衡量了(le)該方法的(de) ♥↓‍ power。

第三，兩個(gè) 1000 次。由上(shàng)述介紹可(kě)知(zhī)，對(duì£₹λ)于第一(yī)輪的(de)  bootεβstrapped sample（并将其根據 tested model ε↔ 減去(qù)個(gè)股 α），在第二輪會(huì)以此為(wèi&♣) pseudo-population 進行(xí α∞•ng) 1000 次 bootstrap、計(j₽•≠'ì)算(suàn)置信區(qū)間(ji∑≈ān)。這(zhè)是(shì)第二個(gè)“1000 次Ω×”。而第一(yī)個(gè)“1000 次”是&∑♣(shì)我們在第一(yī)輪構造 1000 個(gè) bootst¥↑ rapped sample。這(zhè)是♥α(shì)因為(wèi)無論 size 還(hái)是(shì) power，≠λ都(dōu)代表了(le)錯(cuò)誤/正确拒絕 tested model ¶♣的(de)概率。試想，我們在第一(yī)輪隻有(yǒu)一(yī‍↑)個(gè) bootstrapped sample，然後其 pric ¶βing errors 落在置信區(qū)間(jiān)內(n∞λèi)，那(nà)麽我們隻能(néng)說(shuō)對(duì)于該 bo→δλβotstrapped sample 接受 tested model，但(d•®àn)顯然不(bù)能(néng)說(shuō)接受 t$ ested model 的(de)概率是(shì) 100γ§%（或 size = 0%）；反之，如(rú)果 pricing  δerrors 落在置信區(qū)間(jiān)外(wài)，我們也(yě)隻能$<(néng)說(shuō)對(duì)于該≠≈ bootstrapped sample 拒絕 tested₽★"‌ model，但(dàn)不(bù)能(néng)說(shuō)拒絕 te ÷sted model 的(de)概率是(shì) ±♣σ≥100%（或 power = 100%）。

第四，分(fēn)組。按照(zhào)上(shàng)述方法，對(duì)于個(gè)股都♦₩(dōu)可(kě)以得(de)到(dào)其 pricing ∞¶error 的(de)置信區(qū)間(jiān)。不(bù)過在實際操作±δ↓(zuò)中，Clarke and Momeni (2021) 并沒↔∑α↕有(yǒu)在個(gè)股粒度上(shàng)檢驗模型¶§，而是(shì)将個(gè)股依照(zhào) pricing er &÷€rors 高(gāo)低(dī)聚合成 λ∏☆10%、20%、……、90% 分(fēn)位數(shù)≤™™（共 9 組）以及 1%、2%、……、99% ✘×≥分(fēn)位數(shù)（共 99 組）兩種粒度。在每種情況下σ∞>(xià)，檢驗全部 9 組（或者 99 組）每組的(de)平均 pr™φ>icing errors 是(shì)否均落在對(duì)應的(de)置信區(♦‍×qū)間(jiān)內(nèi)。為(wèi)了(le)©φ得(de)到(dào)對(duì)應的(de)置信區(qū)間(jiān)↓•γ$，對(duì)于第二輪的(de)每個(gè) boot×∏strapped sample 中的(de) pricing‌α errors 也(yě)進行(xíng)了(le)相(xiàn≥₩g)應的(de)分(fēn)組。然後對(duì)于每一(∑→€yī)組（例如(rú)第 10% 分(fēn)位數(shù)組），由于一(y♣φ¥ī)共有(yǒu) 1000 個(gè) booβ✘​"tstrapped sample，因此一(yī)共有(yǒu) ♣ '1000 個(gè) 10% 分(fēn)位數(s←♠∞hù)組的(de)取值，即得(de)到(dào)了↔Ω(le) 10% 分(fēn)位數(shù)組 pri★&cing error 的(de)分(fēn)布，從(cóng)該分(fē​ ∞n)布中便可(kě)以得(de)到(dào)置信區(qū)間(jiāε÷>n)兩端的(de)取值。

第五，多(duō)重假設檢驗。置信區(qū)間(jiān)的(de)确定依賴于置信區(qū)間(jiānε ®)兩端分(fēn)位數(shù)的(de)确定。由于同時(shí)檢驗 9 組‌$（或 99 組）pricing errors ♥↕λ↑是(shì)否落在各自(zì)的(de)置信區(qū)間(j♦♥iān)，且隻要(yào)有(yǒu)一(β©←λyī)個(gè)在置信區(qū)間(jiān)之外(w ∏ài)就(jiù)拒絕 tested model，因→↔•↕此在确定置信區(qū)間(jiān)大(dà)小(xiǎo)的(d±δe)時(shí)候必須考慮多(duō)重假設檢驗修正。→↕為(wèi)此，Clarke and Momeni (2021)‌∞ε' 首先考慮了(le) Bonferonni ≠'Ω修正。但(dàn)是(shì)，Bonferonni 修正的(de)問(wèn∞¶)題是(shì)它過于保守，導緻置信區(qū)間(jiān✔☆β<)過大(dà)，從(cóng)而降低(dī)了(le)該‌≈ double bootstrap 方法的​Ω ∑(de) test power。因此，Cl<≠arke and Momeni (2021) 也(yě)考慮了(leσ€¶)經驗數(shù)值法，即通(tōng)過在給定 siz$≥σ e 下(xià)最大(dà)化(huà) power 來(l'♥ái)選取最優置信區(qū)間(jiān©✘↔)的(de)大(dà)小(xiǎo)。具體(tǐ♦>↔©)方法請(qǐng)閱讀(dú)原文(wén)。

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最後就(jiù)來(lái)看(kàn)一(yīλπ™)些(xiē)具體(tǐ)的(de)實證結♣★∞果。為(wèi)了(le)說(shuō)明(míng)該方法在保證 s ©ize 的(de)同時(shí)也(yě)有(yǒu)足夠的(d‍∞✘e) test power，在檢驗常見(jià "♥​n)多(duō)因子(zǐ)模型之前，Clarke a♦≤nd Momeni (2021) 首先通(tōng)過模拟來(lái)'∞•定量刻畫(huà)了(le)該方法的(de<₽)好(hǎo)處。在模拟中，他(tā)們分(fēn)别假↑&設 population model 是(s€←÷®hì) CAPM 和(hé) FF6，然後δ™ 令 tested model 也(yě)分(fēn)别使用(yòn<±σ≥g) CAPM 和(hé) FF6，因此一(yī)共四種情況：

1. population model = CAPM，test™✘↔ed model = CAPM；

2. population model = C×✔™APM，tested model = FF6；

3. population model = FF6，tested model =©↑ FF6；

4. population model = FF6，&<≥✔tested model = CAPM。

為(wèi)了(le)直觀說(shuō)明(míng)結← 果，讓我們考慮 population = CAPM 的(de)情況。下(x  ∞ià)圖顯示了(le)第一(yī)輪中第一(yī)個(gè) bootstra↓✔pped sample 的(de)檢驗結果（panel ≤"a 是(shì) tested model = CAPM、panel b ¥§Ω★是(shì) tested model = FF6）✔Ω。在 panel a 中，9 個(gè)十分(fēn)位數(sh×®¥ù)的(de) pricing errors 均在置信區(qū)間(j→♥♥ iān)之內(nèi)，因此接受 tes→¥€ted model，即接受 CAPM；在 p♥λanel b 中，9 個(gè)十分(fēn)位數(shù₩♠)的(de) pricing errors ≥α∑中有(yǒu) 5 個(gè)（紅(hóng&♦)色的(de)叉）在置信區(qū)間(jiān)之外(wài)，因此拒↔®Ω絕 tested model，即拒絕 FF6。由于在這(zhè)個(♦π®≥gè)模拟中，我們知(zhī)道(dào) population mod≤βπ≥el = CAPM，因此 panel a 的(de)結果體(tǐ)現( ©xiàn)了(le)方法的(de) size，而 pa§≤♥nel b 的(de)結果體(tǐ)現(xiàn)了(le)方法的(de•>) power。

當然，上(shàng)述隻是(shì)第一(yī)輪中的(de)第一&↔(yī)個(gè) bootstrapp ‍$®ed sample 的(de)檢驗結果。在其他(tā) 999 個(gè♦Ω®​)bootstrapped sample★>₹♣ 中會(huì)有(yǒu)不(bù)同的(de)結果，因此最終我們能₽'≤←(néng)夠計(jì)算(suàn)錯(cuò)誤拒絕 CAPM 的(d←πδ​e)概率（size）以及正确拒絕 FF6 的(de)概率（power）。✔Ωα結果如(rú)下(xià)表所示（節選了(l÷&e) Bonferonni 修正的(de)情α∞況）。

當 population model 和(hé) tesπ×‍&ted model 均為(wèi) CAPM 時(shí)±© ♠，模型被錯(cuò)誤拒絕的(de)概率是(s₩₩≤hì) 1.5%（目标 size 是(sβ>≠₹hì) 5%，1.5% 小(xiǎo)于 5%λβ 表明(míng)了(le) Bonferonni 修正過于保守）；當 po↕↑β≤pulation model 為(wèi) CA¶®PM 但(dàn) tested modelγπ" 是(shì) FF6 時(shí)，FF6 ←δ♣α被正确地(dì)拒絕的(de)概率是(sh∏‍εì) 97.5%，說(shuō)明(míng)該 procedure 有☆€(yǒu)很(hěn)不(bù)錯(cuò)的(de) test≈‌≥ power（這(zhè)還(hái)是(shì)在 Bonferon×≥±♠ni 修正的(de)前提下(xià)！）。反之，當 population model 和(₹≠hé) tested model 均為(wèi♥‌←∞) FF6 時(shí)，模型被錯(cuò)誤拒絕的(<φ£©de)概率是(shì) 3.3%（依然小(xiǎo)于↕♥​σ目标 5%）；而當 population model 為(<×‍‍wèi) FF6 但(dàn) tested model'€ 是(shì) CAPM 時(shí)，φ‌CAPM 被正确地(dì)拒絕的(de)概率是(←☆​→shì) 83.2%。

最後來(lái)看(kàn)看(kàn)使↔​α±用(yòng)該方法檢驗常見(jiàn) ad-hoc 多(du∏γō)因子(zǐ)模型以及 Kelly, Pruitt, and Su (201₩φ9) 的(de) IPCA 模型的(de)結果（在使用(yònβ↑αg) double bootstrap 時(shí)，population≠< model = tested model）。由于已經通(tōng)過模&'✘∞拟定量刻畫(huà)了(le)該方法的(de)統計(α↓©₹jì)特性，因此在利用(yòng)實際數(shù)據檢驗主流多(duō) ∑φ因子(zǐ)模型時(shí)，Clarke and Momeni (20≠∏21) 隻在第一(yī)輪 bootst±×rap 中進行(xíng)了(le)一(yī)次采樣，以下(xi✔‍∑à)是(shì)該基于該 sample 的(de)檢驗結果。紅(hón←♣φg)色标記說(shuō)明(míng)在置信區(qū)間(j¥δ∞ iān)之外(wài)，即模型被拒絕。結果顯示，隻有(yǒu) IPCA 模型通(tōn$×δg)過了(le)檢驗，而且它主流的(de)'Ω> ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)×λ↔∑模型（FF5、q 等）均被拒絕。

此外(wài)，Clarke and Momen÷≠i (2021) 還(hái)考察了(le)↑λΩ≤剔除微(wēi)小(xiǎo)市(shì)值股票(piào)之後的≈>↔ (de)結果。在這(zhè)種情況下(xià)，ad-hoc 模∏™♦✔型的(de)表現(xiàn)要(yào)好(hǎo αβ)不(bù)少(shǎo)，其中最難以被拒絕的(de)模≤"φ型是(shì) FF5（檢驗結果如(rú)下≈¥ε≠(xià)圖所示）。

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Clarke and Momeni (2021) 是(shì)把 ★∑φ bootstrap 用(yòng)在檢驗多(duō)因£δσ♦子(zǐ)模型上(shàng)的(de)一→£☆(yī)個(gè)有(yǒu)益嘗試。無獨有׶(yǒu)偶，該文(wén)的(de) disc¥÷ussant Russell Wermers 正是(shì) Kosowsε≥€≠ki, et al. (2006) 的(de♠±€♥)作(zuò)者之一(yī)，相(xiàng)信這(zhè)樣的(d&¥βe)討(tǎo)論一(yī)定會(huì↕"δ↕)擦出新的(de)火(huǒ)花(huā)。₽↓由于今年(nián) AFA 恢複了(le)線下≠≠≠∞(xià)，該報(bào)告未來(lái)會÷←×>(huì)不(bù)會(huì)被挂到(dào)網$¶&‌上(shàng)就(jiù)不(bù)得(de)而知(→​zhī)了(le)。

從(cóng)該文(wén)的(de)實證結果來(lái€↓)看(kàn)，我們似乎也(yě)可(kě)以放(fàn>↓g)心地(dì)重申一(yī)下(xià)之前得(de)σ♠&×到(dào)的(de)結論：實證資産定價已經告别了(le) ad-hoc 多(₽←≤≥duō)因子(zǐ)模型的(de)階段，而基于 portfolio &∑sort 的(de)因子(zǐ)也(yě←↕πγ)已經逐漸被其他(tā)更先進的(de)信息聚♠∑合方法（例如(rú) Kelly, Pru§✘itt and Su (2019)）所取代。本文(wén)開(kāi)頭談到(dào)的(de) Barillas a♠>§nd Shanken (2017)“困境”也(yě)再一$α>×(yī)次表明(míng)，在尋找更好(hǎo)的(de)多(duō)因子(z®β£ǐ)模型時(shí)，我們應該關注的(de)是ε↑(shì)事(shì)前能(néng)夠解釋預期收益率差異的(de¥φ↔)協變量，而非事(shì)後最大(dà)化(huà)夏普比率平方的(♦×₩↓de)邪門(mén)“排列組合”。也(yě)許我們可(kě)以預期，✘↑®使用(yòng)個(gè)股取代投資組合作(zuò)為(wèi) teΩ™st assets 來(lái)研究多(duō)因✘↓£子(zǐ)模型以及 SDF 将會(huì)成為(wèi)新的(de)趨☆  勢之一(yī)。畢竟，正如(rú) Clarke and Momeni (₹ 2021) 所述：

If factor models are truly ©₹approaching the ex-ante meanδ✔‌-variance efficient frontie×γ÷→r, then better performance on t‌↑£ raditional tests should not come≠★§✔ at the expense of pricing individu≤≈al stocks.

最後的(de)最後，還(hái)記得(de)本文(​&αφwén)一(yī)開(kāi)篇那(nà)個(gè) d≤∑∏ata-snooping 出來(lái)的(de)$σ×模型嗎(ma)？它的(de)檢驗結果是(shì)這(zhè)樣的♠Ωγ(de)……

參考文(wén)獻

Barillas, F. and J. Shanken (2017).←≠‌ Which alpha? Review of Financial Studies 30(4), 1316 – 1338.

Clarke and Momeni (2021). Testing ass•✔ et pricing models on individual©✔•Ω stocks. Working paper.

Fama, E. F. and K. R✔∏$. French (2010). Luck versus∏∑ skill in the cross-section of m₩"≤utual fund returns. Journal of Finance 65(5), 1915 – 1947.

Hou, K., C. Xue, and L. Zhang (20☆π£20). Replicating anomal♠ ies. Review of Financial Studies 33(5), 2019 – 2133.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y.®β Su (2019). Characteristics are covari✘♦£Ωances: A unified mod​φel of risk and return. Journal of Financial Economics 134(3), 501 – 524.

Kosowski, R., A. Timmermann, R. Werδ≠$δmers, and H. White (2006↕×). Can mutual fund “stars” ™πreally pick stocks? New evidence f<£♣rom a bootstrap analysis. Journal of Finance 61(6), 2551 – 2595.

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹✘∑®¥慎。在任何情況下(xià)，本文(wén)的(de)內≥>(nèi)容、信息及數(shù)據或所表 '述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)任何人(ré≠Ω>n)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià)，•β 本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)對(σ₽✔duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文(wén)的(de)任何內(n₽​èi)容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說(shuō)↑Ω明(míng)外(wài)，文(wén)中圖表均直接或間(jiān¥' ↓)接來(lái)自(zì)于相(xiàng←₽♠↓)應論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸φ$原作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒ¶♣↔u)。