因子(zǐ)動量與動量因子(zǐ)

發布時(shí)間(jiān)：2023-02-15 | ∞π 來(lái)&π∞≈源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：Ehsani and Linnainmaa (2022) 是(shì) po♣®'st Fama-French 時(shí)代一(yī)篇難得(σ♥de)的(de)實證佳作(zuò)。

很(hěn)久沒有(yǒu)介紹實證研究了(le)。¶₩因為(wèi)即便是(shì)大(dà)佬在另類數(s✔±hù)據的(de)加持下(xià)發表在 top 3 上(shàng)的(©€de)那(nà)些(xiē)，也(yě)并無太多(duō)驚豔。但(dàn)今$§天是(shì)個(gè)例外(wài)，我想深度解讀≤φ(dú) Ehsani and Linnainmaa (2022)，并→♥±¥利用(yòng) A 股數(shù)據做¶(zuò)一(yī)些(xiē)相(xiàng)似的(de♥≥)實證。Ehsani and Linnainmaa (2022) 研究的(d₩ ‍"e)是(shì)一(yī)個(gè)純粹且$φ 重要(yào)的(de)問(wèn)題：截面動量（momentum）。更确切地(dì)說(shuō)，該文(wén)研究了(le)因子(z♠→÷ǐ)動量和(hé)（個(gè)股的(de)）動量因子(zǐ)之間(ji×≤ ān)的(de)關聯。在我看(kàn)來(lái)，這(zhè)篇文(wén) ∞章(zhāng)是(shì) post Famε♠£×a-French 時(shí)代一(yī)篇難得(de)的(de)實證$★<佳作(zuò)。這(zhè)一(yī)點從(cóγ₹$™ng)它能(néng)被發表在 Journal of Finance 上(shàng)就(jiù)足以說(shΩ Ωuō)明(míng)。在剛剛結束的(de) AFA 2023 年(<☆nián)會(huì)上(shàng)，該文(w×•'én)被評為(wèi) 2022 DFA Distinguiπ≥★φshed Paper。

如(rú)同是(shì) Fama-Frenc®<h 多(duō)因子(zǐ)模型的(de)“心結”一(yī)樣，個(gè)股上(shàng)的(de)截面動量" "β（即 Carhart 1997 發現(xiàn)的(de) UM♥‌D 因子(zǐ)）也(yě)是(shì)實證資産定價繞不( §₽✔bù)過去(qù)的(de)坎兒(ér)。其在實證資産×φ¶ 定價中的(de)特殊地(dì)位可(kě)以由下(xià)面這(zhè)ε ₩句話(huà)精彩地(dì)概括：不(bù)包含動量因子(zǐ)的(de)多(duō)因子(zǐ)模型無法解釋γ 動量因子(zǐ)，而加入動量因子(zǐ)後，模型解釋力的(‍✔de)提升也(yě)僅僅體(tǐ)現(xiàn)在能(néng)夠解釋動量因子β∞♣(zǐ)（Fama and French 2016）。

面對(duì)無處不(bù)在的(de)動量（Asness, →↓Moskowitz and Pedersen 2013），Ehsa‍λni and Linnainmaa (2022) 以因子(zǐ)動量（factor momentum）為(wèi)切入點，針對(duì)因子(zǐ)動量和(hé)個(gèγ★)股動量，回答(dá)了(le)以下(xià)問(wèn)φ$ε題：

問(wèn)題一(yī)：因子(zǐ)收益率在時(shí)序上(shàng)是(shì)↓λ否有(yǒu)自(zì)相(xiàng)關性？

問(wèn)題二：因子(zǐ)滿足何種條件(jiàn)時(®γ‌shí)，更容易出現(xiàn)自(zì)相(x ¶∏iàng)關性？

問(wèn)題三：利用(yòng)自(zì)相(xiàng)關性、基于因子(zǐ)$→≤曆史收益率構造的(de)因子(zǐ)動量策略（注意，它類似于 UMD，是(shì)以因子(zǐ∑γ₩)組合為(wèi) assets 的(de)截面動量策略）和(hé)個♣><♣(gè)股截面動量因子(zǐ)（即 UMD）有(yǒu)什(shén)麽關♠‍₩€系？誰是(shì)因？誰又(yòu)是(shì)果？

問(wèn)題四：因子(zǐ)動量能(néng)否解釋個(gè)股殘差動量？

問(wèn)題五：如(rú)何理(lǐ)解 UMD 因子(zǐ)和(hé)其他(tā )因子(zǐ)時(shí)序無關的(de)實證現(xiàn)象∑♥？

下(xià)面就(jiù)通(tōng)過 5 個(gè)小(xi₽±ǎo)節介紹 Ehsani and Linnainmaa (2022)σ£€ 在上(shàng)述五個(gè)問(wèn)題中的(de)δ 實證結果。此外(wài)，在問(wèn)題一(y♣π£ ī)、三以及五中會(huì)輔以基于 A 股的(de)實證。數(shù)據來('≥÷↕lái)自(zì) BetaPlus 小(xi≠πǎo)組。

因子(zǐ)收益率存在時(shí)序自(zì)相(xiàng)關性是(shì)€σ×€之後以因子(zǐ)為(wèi) assets ∏♣≈構造因子(zǐ)動量的(de)基礎，且自(zì)相(xiàng)關性應普遍存‍÷♣在于常見(jiàn)的(de)因子(zǐ)↑ 之中，否則故意挑那(nà)些(xiē)“好(hǎo)使”的(de)因子★"(zǐ)來(lái)構造就(jiù)有(yǒu) data snoopin©₽≥✘g 問(wèn)題。為(wèi)此，在實證的(de)一(yī‍ε₽★)開(kāi)始，Ehsani and Linnain→↓maa (2022) 考察了(le)美(měi)股以及全球市(shì>§)場(chǎng)中常見(jiàn)因子(z ǐ)收益率的(de)自(zì)相(xiàng)關•≥♦ 性。他(tā)們以過去(qù) 12 個(gè)月(yuè)δ∑₹的(de)曆史收益率的(de)正負構造了(""le)自(zì)變量：當收益率為(wèi)正時(shí)，自(zì)變量取值為®≈(wèi) 1，反之為(wèi) 0。

在時(shí)序回歸中，用(yòng)下 &∑≈(xià)個(gè)月(yuè)的(de)收益↓★率對(duì)當月(yuè)的(de)自(zì)變量進行(xíng)✔•‌☆回歸（且包含截距項）。在該回歸模型中，截距項代表了(‌∏le)過去(qù) 12 個(gè)月(yuè)的(de)曆史收益率為(w↑α èi)負時(shí)，下(xià)個(gè)月(yuè)的(d∑♥‍e)條件(jiàn)月(yuè)均收益率↕•；而自(zì)變量的(de)回歸系數(shù)α¶♥則表示當過去(qù) 12 個(gè)月(yuè)的(de€ε)曆史收益率為(wèi)正 vs. 過去(qù) 12 個(gè)月(y← 'εuè)曆史收益率為(wèi)負時(shí)，✘σ☆下(xià)個(gè)月(yuè)條件(jià<≥εn)月(yuè)均收益率的(de)差值。由下(xià)表中的(de)結果（以美∏ (měi)股中的(de)因子(zǐ)為(wèi)例）可γ'↕♥(kě)知(zhī)，除了(le)動量外(wài)，其他(tā)常見•(jiàn)因子(zǐ)自(zì)變量的(de)回歸系數(shù)均為∞αλ(wèi)正，且絕大(dà)多(duō)數(shù)在 5% 或 10% ₹₩π的(de)顯著性水(shuǐ)平下(xià)顯著，說(shuō)明(mí™ εng)因子(zǐ)收益率的(de)自(zì)相(xiàng)關性是(s•₩♦hì)普遍存在的(de)，這(zhè)為(wèi)後面構造因子(zǐ)動量奠定了₽♠(le)基礎。

類似的(de)，來(lái)看(kàn)一(yī)下(xià©>☆) A 股的(de)實證結果。BetaPlus 小(xiǎ<₹↑o)組依上(shàng)表構造了(le)除 Net share issue↓§s 之外(wài)的(de)其他(tā)因子(zǐ)（共 14 λ₩β個(gè)），實證區(qū)間(jiān)為(wèi) 2000 年($↕€nián) 1 月(yuè)到(dào) 20λ‍23 年(nián) 1 月(yuè)。由于計(jì×‍)算(suàn)曆史收益率需要(yào)用(yòng)掉 12 期數(s®Ω‌δhù)據，因此以下(xià)回歸結果是(shì)基于 2001 年(nián≈•) 1 月(yuè)到(dào) 2023 年(niáλ‌≥n) 1 月(yuè)的(de)數(shù)據（本σ↓↕文(wén)其他(tā) A 股實證結果的(de)實證區(qū)間(∞ jiān)類似）。

從(cóng)上(shàng)述結果來(lái)看(kàn)，基于 A✘↔¥↕ 股的(de)結果和(hé)基于美(měi)股的(∑₩de)并不(bù)是(shì)那(nà)麽一(yī)緻。這(zhè)體(δ€tǐ)現(xiàn)在并非絕大(dà)多≤‍£(duō)數(shù)因子(zǐ)自(zì)變量的(de)回歸系數(shù)∞✘顯著為(wèi)正。考慮到(dào)中美(měi)兩個(gè★≤×)市(shì)場(chǎng)的(de)差異以及個(gè)股動量效應在↔ ★ A 股長(cháng)期來(lái)看★<≤(kàn)并不(bù)顯著這(zhè)樣一(® yī)個(gè)經驗事(shì)實，上(shàng)述結果并不(bù)意外( →≠→wài)。不(bù)過頗有(yǒu)意思的(d✘ e)是(shì)，如(rú)果将定義自(zì)變量 ♣£的(de)曆史收益率換成過去(qù) 7 至•σ₽ 12 個(gè)月(yuè)的(de)累計(jì)收益率（而非 1 到(dà∏™βλo) 12 個(gè)月(yuè)），則回歸♦™✔結果（下(xià)表）反而更加貼近(jìn)美(měi)股。

上(shàng)述實證結果背後的(de)含義♦σ$不(bù)在本文(wén)的(de)討(tǎo)論φ∑範圍之內(nèi)。但(dàn)是(shì)在下(xi"→≥€à)文(wén)針對(duì) A 股的(de)實證中，會(huì)同時(s₹α$hí)慮兩個(gè)版本（即基于過去(qù) 12 ©© 個(gè)月(yuè)收益率構造的(de)因子(zǐ)動量，以及基于過去(≠β δqù) 7 – 12 個(gè)月(yuè)收益率構₹✔♥造的(de)因子(zǐ)動量）。

接下(xià)來(lái)，Ehsani an♦φd Linnainmaa (2022) 基于 Kozak, Nagel and Santosh (2018) 的(de)由情緒驅動的(de)投資者理(lǐ)論模型討(t•×•ǎo)論了(le)因子(zǐ)收益率存在時(shí)序自(zì)相(xi±∑≤àng)關性的(de)原因。具體(tǐ)的(de)推πβ導，感興趣的(de)小(xiǎo)夥伴請(qǐn€¥φg)參考論文(wén)原文(wén)，這(zhèδ§)裡(lǐ)直接說(shuō)結論：

1. 投資者情緒存在很(hěn)強的(de)持續性，因而造®∞≥¶成了(le)因子(zǐ)收益率的(de)自(zì)↑∑∏相(xiàng)關性；

2. 越是(shì)那(nà)些(xiē)和(h☆∏é)股票(piào)協方差矩陣關系密切的(de)因子♣<δ•(zǐ)，即更能(néng)解釋資産收益率共同運動的(de)因子(zǐ)πσ↓，其收益率的(de)自(zì)相(xiàng)關性越強。

上(shàng)述結論和(hé) Kozak, Nagλ£<♦el and Santosh (2018) 利用"✘₽ (yòng)“市(shì)場(chǎng)中不(bù)應∞¶↑持續存在近(jìn)似無風(fēng)險的(de)套利機(jī)>☆會(huì)”這(zhè)個(gè)假設對(duì)多(duō)&•™β因子(zǐ)模型給出的(de)啓示相(xiàng)同：雖然市(shì)場(chǎng)中存在套利者，但(β¥↓♣dàn)是(shì)出于對(duì)系統性風(fēλ αng)險的(de)規避，他(tā)們不(bù)會 ≤(huì)對(duì)那(nà)些(xiē)能(néngγ→‌)夠解釋資産共同運動的(de)因子(zǐ)充分(fēn)套利，從♥•β(cóng)而留下(xià)了(le)收益率的(de)自(zì)δ 相(xiàng)關性。上(shàng)述理(lǐ)論模型對(duì)‍₽₽®于實證的(de)啓示是(shì)，當基于個(g∑×è)股收益率的(de)協方差矩陣、通(tōng)₹±過 PCA 構造隐性因子(zǐ)（即主成分(fēn)因子(zǐ)）時(shí♠α®)，利用(yòng)高(gāo)特征值（即波動更大(dà)）的(d≈₽•e)那(nà)些(xiē)隐性因子(zǐ)所構造的(de)因子(∞↑>✘zǐ)動量要(yào)比基于低(dī)特征值（即波動更低(d♦&ī)，從(cóng)而更有(yǒu)可(kě)能(néng)被充分(fē↕π₩n)套利）的(de)隐性因子(zǐ)的(de)因子•©(zǐ)動量要(yào)顯著。

為(wèi)了(le)驗證這(zhè)一(yī)點 Ω↓，Ehsani and Linnainmaa (2022) 使用(®δ₩Ωyòng)了(le) Kozak, Nagel and Santosh (2020) 一(→±yī)文(wén)中涉及的(de) 47 個(gè)風(fē↕"₹ng)格因子(zǐ)，并通(tōng)過 PCA 将它們✔轉化(huà)為(wèi) 47 個(gè)主成分(fēn)，并按照(zh♦₩€ào)其對(duì)應特征值從(cóng)高(gāo€₩‌ε)到(dào)底分(fēn)成五組：（1）PC1 – ✔•✘PC10；（2）PC11 – PC20；（3）PC™×&21 – PC30；（4）PC31 – PC40φ↓→；以及（5）PC41 – PC47。通(tōng)過使★§™用(yòng)五組分(fēn)别構造因子(zǐ)動量，Ehsani and L÷♠♥innainmaa (2022) 證實了(le)理(lǐ)論模型的("≤≠de)推論。

以原文(wén) Table III Panel A 為(wèi)例（↓§上(shàng)表），它彙報(bào)了✔≈¶α(le)整個(gè)實證區(qū)間(jiān)以及前後各半個(gè)✘÷€∞實證區(qū)間(jiān)內(nèi)，通(tōng)過上(s♠₹±hàng)述五組主成分(fēn)組合構造的(d♦"♠ e)因子(zǐ)動量策略的(de)月(yuè)¥←♥≥均收益率及其 t-statistics。以 PC1 – P•≈C10（即特征值最大(dà)的(de) 10 個(gè)主成分≠₽♦(fēn)）為(wèi)例，在構造因子(zǐ)動量時(s∏∏hí)，在 t 期，根據這(zhè) 10 個(gè)組合•✘¥過去(qù) 12 個(gè)月(yuè)份收益率的(de)正>≈負為(wèi)依據，做(zuò)多(duō)收¶♥Ω↔益率為(wèi)正的(de) PCs 并做(zuò)¥¶φ空(kōng)收益率為(wèi)負的(de) PCs&£©§，以此構造因子(zǐ)動量的(de)多(duō)空(k<‍γ∑ōng)組合。在 full sample 中，該因子(≠∑♦zǐ)動量組合月(yuè)均收益率 t-statistics 高(gāo)<✔達 7.07；這(zhè)個(gè)數(shù)值在前後各•$¥←半個(gè)實證區(qū)間(jiān)內(nèi)變為(wèi) '←'"8.49 和(hé) 2.60（a side note：即便是(sh≈↑ì)因子(zǐ)動量，也(yě)無法逃脫因更多(duō)研究被發表以及被 <更多(duō)人(rén)來(lái)交易而逐漸‌δ≈變弱這(zhè)樣一(yī)個(gè)事(shì)實）¥≤。

上(shàng)述結果顯示，無論在哪個(gèφ♦σ>)實證窗(chuāng)口內(nèi)，基于更高(gāo)特征值的(d↑"♣e)主成分(fēn)因子(zǐ)所構造的(de)因子(zǐ)動量都≤↓ ♥(dōu)相(xiàng)對(duì)來(lái)說(shuō)更加顯著（經©π濟上(shàng)和(hé)統計(jì)上(shàng)均如(rú)此）≠δε。此外(wài)，該表的(de) Pan®€γels B 和(hé) C 比較了(le)高(gāo)特征值和(héγ♠)低(dī)特征值構造的(de)因子(zǐ)動量相(xiàng)互檢驗≈πε的(de)結果，結果顯示前者的(de)因∏§'∞子(zǐ)動量無法被後者解釋。

實證的(de)第三部分(fēn)研究的(de₽¶)是(shì)人(rén)們最關心的(de)因≥$‌子(zǐ)動量和(hé)個(gè)股上(shàng)的"&(de)動量因子(zǐ)之間(jiān)的(d$€ e)關系。

由 APT 可(kě)知(zhī)，個(gè)股收益率在理(lǐ)論上(shàng)≠™₩"可(kě)以分(fēn)解為(wèi)因子(≤₩zǐ)收益率的(de)線性組合。以此為(wèi) ≠基礎， Ehsani and Linnainmaa (2022) 通(tō∑≥↓ ng)過數(shù)學推導将個(gè)股動量的(de)預期收益率< δ拆解成為(wèi)四個(gè)部分(fēn)，其中第一(yī)部分(fēn)（也(yě)是(shì)最重要(yào)的(deπ)一(yī)部分(fēn)）正是(shì)由因子(zǐ)收益率的(de)σ ₽時(shí)序自(zì)相(xiàng)關性的(de)高(gāo)低(dī)ε£決定。

上(shàng)述拆解表明(míng)，因♣>>ε子(zǐ)動量（部分(fēn)甚至很(hěn)大(dà)部分(fē₹ε↕n)）驅動了(le)個(gè)股的(de)動量因子(zǐ)。因此，實證上(s♠₩σ hàng)可(kě)以預期加入因子(zǐ)動量的(de•✔♣)多(duō)因子(zǐ)模型能(néng)夠解釋個(gè)股動量。 >實證結果如(rú)下(xià)表所示。在實證中，♦∞ε作(zuò)為(wèi)被檢驗資産的(de)除了(∞↕" le)個(gè)股動量（表中 Winners – Losers 之外•↕✘>(wài)，還(hái)有(yǒu)根據該變'量排序構造的(de) 10 個(gè) sorted portfolios↕↓™）；作(zuò)為(wèi)多(duō)因子(®'₩zǐ)模型的(de)包括 FF5，FF5 + UMD 因子(zǐ)（對β÷™₹(duì)，你(nǐ)沒看(kàn)錯(cuò)↓♠₩α，在 FF5 中加上(shàng) UMD 因子(zǐ)隻為(wèi)↔↓了(le)額外(wài)解釋個(gè)股'↔動量）；FF5 + 基于常見(jiàn)因子(zǐ)的(™εde)因子(zǐ)動量（FF5 + $\mbox{FMOM}_{ind}$ ）以及 FF5 + 基于前 10 個(gè)主成分(fēn)因子(zǐ)✘↑的(de)因子(zǐ)動量（FF5 + $\mbox{FMOM}_{PC1-10}$ ）。

作(zuò)為(wèi)解讀(dú)，讓我們關注 Win↓₽Ωners – Losers 這(zhè)一(yī)∞≈σ 行(xíng)。其 FF5-α 的(de) t-sta✔§tistic 為(wèi) 4.91（顯然 FF5 對(duì)個(gè♦÷•)股動量無能(néng)為(wèi)力）。當把 UMD₩♥ 因子(zǐ)加入 FF5 之後，t-statistics 降♣''為(wèi) 2.43（依然存在 α 應是(shì)≥↕由于回歸方程左側個(gè)股動量和(hé)右側 UMD 因子(zǐ)構造方式不®→(bù)完全一(yī)緻所緻）。最後，當把因子(zǐ)動量（無論是(sh‍→∏ì)基于常見(jiàn)因子(zǐ)，還(hái)是(shì)基于主成分(✔♦fēn)因子(zǐ)）加入 FF5 之後，個(gè)股動量均無法獲得(de)"↔顯著的(de)超額收益。當使用(yòng)常見(jiàn)因子(zǐ)時(s☆✘hí)，其超額收益的(de) t-statistic ↔✔為(wèi) 0.99；而當使用(yòng)↓‌主成分(fēn)因子(zǐ)時(shí)，其 t-sta☆σ×tistic 僅為(wèi) 0.09。上(shàng)述結果表明(mín↕>g)，因子(zǐ)動量能(néng)夠解釋個(gγ×≥εè)股動量。

那(nà)麽反過來(lái)，加入了(l ₩±™e)個(gè)股動量 UMD 因子(zǐ)的(de)多(duō)∏φ±δ因子(zǐ)模型能(néng)否解釋因子(zǐ)動量呢(ne)？下↑€(xià)表給出了(le)解答(dá)。請(q‍>≥ǐng)注意，在以下(xià)實證中，兩£↑位作(zuò)者除了(le)标準的(de) UMD 因子(zǐ)（表&¶中記為(wèi) Standard momentum）外(wài)，還(há★•₩i)考察了(le)各種版本的(de)花(huā)式 UMD 因子(zǐ)<"（例如(rú) Industry-adjusted momentum 是↓$(shì)經過行(xíng)業(yè)收益率調整‍≈之後的(de) UMD，等）。然而，無論₩‌使用(yòng)哪個(gè)版本的(de) U↓ <MD（甚至是(shì)全部版本一(yī)起上(shàng)），其和εα>→(hé) FF5 一(yī)起構造的(de)多(duō)因子(z§≥∑ǐ)模型均無法解釋因子(zǐ)動量（考察标出來(lσ §$ái)的(de)兩列 α）。當使用(yòng)常見(jià✘α♠™n)因子(zǐ)構造因子(zǐ)動量時(shí)，其超'γ額收益的(de) t-statistic 在不(bù)同版本模型下(x≥₽≥ià)均在 4.0 以上(shàng)；而當使用™(yòng)主成分(fēn)因子(zǐ)構造因子(δ←&zǐ)動量時(shí)，除中期動量版本的(de) UMD 外(wàβαi)，因子(zǐ)動量超額收益 t-statis×¶tic 在其他(tā)模型下(xià)均在 5&π‌€.0 以上(shàng)。因此，個(gè)股動量無法解釋因子(zǐ)動量。

下(xià)面來(lái)看(kàn)看(kàn) A 股✔✔♦→的(de)結果。回顧第一(yī)節，我們針對'∏(duì) A 股構造了(le)常見(jiàn)的(de) 14 個✘♠β (gè)因子(zǐ)，除去(qù)動量本身(shēn)外(wài)，我們使Ω₽用(yòng)剩餘 13 個(gè)因子(zǐ)構造因子(zǐ)✔‍動量（即在每一(yī)期，回看(kàn)過去(qù)一(yī)↕₩β段時(shí)間(jiān)的(de)曆史收益率，然後做(zuò)多(duō₹∞φ★)曆史收益率為(wèi)正的(de)因子(zǐ)，做(zuò)空(kō™↔×←ng)曆史收益率為(wèi)負的(de)因子(zǐ)，以此構造因子→δ(zǐ)動量）。在本節實證中，以 FF5 為(★‍wèi)基礎（FF5 數(shù)據來(lái)自(zì) B‌✘‌etaPlus 小(xiǎo)組針對(duì) A 股構造并維護的(d©←‍e)數(shù)據，見(jiàn) www.factorwaβ$¶↔r.com），先後加上(shàng) UMD 因子(>>☆zǐ)和(hé)因子(zǐ)動量作(zuò)為(wèi)多(£₽π♣duō)因子(zǐ)模型，即 FF5 +UMD 和(hé) FF5 + ≥₽Factor Mom。當使用(yòng) FF5®§≈← + Factor Mom 作(zuò)為(wèi)多(d"±uō)因子(zǐ)模型時(shí)，考察 UMD 因子(zǐ)能(Ω¶néng)否獲得(de)超額收益。結果顯示，UMD 月(yu£♦♠₽è)均超額收益的(de) t-statistic 為(wèi) 1.Ω¥416，并不(bù)顯著，和(hé)美(☆≠≠měi)股一(yī)緻。不(bù)過有(yǒu)意思的(de)是(shìφ"Ω)，當使用(yòng) FF5 + UMD 作(z←¶uò)為(wèi)多(duō)因子(zǐ)模型給因子(zǐ)動量定φ 價時(shí)，後者的(de)超額收益的(de) t-statistic 也( ₩★yě)僅為(wèi) 1.551，也(yě)并♠←Ω‌不(bù)顯著，這(zhè)和(hé)美(m&★ε®ěi)股的(de)結果并不(bù)一(yī)緻。

以上(shàng)結果是(shì)通(tōng)過遵循原文(wénδ )的(de)方式，即使用(yòng)過去(qù) 12 個(gè)月(y"♦✘¥uè)收益率為(wèi)依據構造因子(zǐ)動量。$✘作(zuò)為(wèi)參考，下(xià)面再來(lái)看( ™kàn)看(kàn)如(rú)果使用(yòng)過去(qù) 7γ∏∞ – 12 個(gè)月(yuè)的(de)收益率為(wèi)依據構造♠ ‍因子(zǐ)動量會(huì)發生(shēng)什("φ₹σshén)麽。在這(zhè)個(gè)設定下(xià)，λ₹€☆A 股上(shàng)呈現(xiàn)出和(hé)美↓₽≥(měi)股一(yī)緻的(de)結果：UMD 相(xi®ε↔àng)對(duì) FF5 + 因子(zǐ)動量的(de)超額©♣±收益 t-statistic 僅為(wèi) "€1.405；而因子(zǐ)動量相(xiàng→©×§)對(duì) FF5 + UMD 的(de)超額收益 tδ®≠-statistic 高(gāo)達 3.304。因此，因$σ₽<子(zǐ)動量能(néng)夠解釋個(gè)股動量，反之則不(bù)然。

由于本節介紹的(de)內(nèi)容是(shì) Ehsani and®₩ Linnainmaa (2022) 的(∏ ←de) main results，因此兩位作(zuò)者也(yě)進₹ β行(xíng)了(le)相(xiàng)當充分(fēn)的(de)穩 ™健性檢驗，其中之一(yī)就(jiù)是(shì)因子(zǐ)動量 ‍"對(duì)具體(tǐ)哪些(xiē)因子(zǐ)以及因子(zǐ)的(de)&‍ ✘個(gè)數(shù)是(shì)否敏感。以≥₽ 14 個(gè)美(měi)股因子(zǐ)為(wφ èi)例，該文(wén)考察了(le)因子(zǐ)個(gè)數(sh®≈≥ù)從(cóng) 1 變化(huà)到(dào) 14 的(de)£Ω情況（1 就(jiù)相(xiàng)當于是(shì)單因子(zǐ)根↕©αβ據動量擇時(shí)；14 相(xiàng)當于所有(yǒu)≤¶ →因子(zǐ)一(yī)起上(shàng)）₹‌；當因子(zǐ)的(de)個(gè)數(shù)在 1 到✘♥♣(dào) 14 之間(jiān)時(shí)，他(tā)φ≤₩∏們則考察了(le)從(cóng)所有(yǒu)因子(zǐ)中選出目标數(shùγ$Ω₽)目個(gè)因子(zǐ)的(de)全部排列÷ "組合，計(jì)算(suàn)每個(gè)排列組合構造的(deΩ∏α↔)因子(zǐ)動量，并将它們的(de)均↓✘值作(zuò)為(wèi)該個(gè)數(s'•₩hù)下(xià)的(de)結果。下(xià)圖展示了(le)因子(zǐ)動φΩ量相(xiàng)對(duì)于 FF5 的(de)超額收益的™←(de) t-statistic 如(rú)何随因子(zǐ)個(gè)Ω€ ☆數(shù)變化(huà)。從(cóng)圖中可(kě)以看(kàn©₩★©)出，t-statistic 随因子(zǐ)ε σ的(de)個(gè)數(shù)增加，且持續顯著。

我也(yě)對(duì) A 股進行(xíng)了(le)同樣的(dφ♦↓>e)實證。下(xià)圖展示了(le)兩種構造因子(zǐ)動量的( de)方法。當使用(yòng)和(hé)美(měi)股一(yī)≠↕樣的(de)方法時(shí)（即根據過去(qù) ☆σ↕✔12 個(gè)月(yuè)的(de)收益率），當因子(zǐ)的(d Ωe)個(gè)數(shù)不(bù)少(shǎo)于 4 時(sh'≥í)，因子(zǐ)動量就(jiù)能(néng)獲得(de)<¶∞相(xiàng)對(duì) FF5 的(de)顯著超額δ™π↓收益；而當使用(yòng)過去(qù) 7 –≠‍δ☆ 12 個(gè)月(yuè)收益率時(shí)，當因子(zǐ)不✔≥φ(bù)少(shǎo)于 2 個(gè)時(shí)，即∞<可(kě)獲得(de)相(xiàng)對(duì) FF5 §♥↕的(de)顯著超額收益。此外(wài)，第二種方法的(de)超αα&€額收益持續優于第一(yī)種方法。

本節來(lái)看(kàn)看(kàn)殘差動量。'π&這(zhè)雖然不(bù)是(shì) >α♠®Ehsani and Linnainmaa (2022) 的(de) ↔₹♦↔main results，但(dàn)卻是(sh→≥★®ì)我格外(wài)感興趣的(de)一(yī)個(gè)內(nè™"i)容，因為(wèi)我一(yī)直對(duì)殘差動量ε±←持懷疑态度（見(jiàn)《殘差動量——有(yǒu)理(lǐ)有(yǒu×>₩)據還(hái)是(shì)數(shù)據挖♥σα>掘》）。Ehsani and Linnainmaa (2022) 的(de)研究表£β<π明(míng)，殘差動量是(shì)遺漏變量造成的(de)。

為(wèi)了(le)從(cóng)直覺上(shàng÷↓✘)理(lǐ)解，舉個(gè)最簡單的(de)例子(zǐ)。假設個(gè)股收益'☆率和(hé)兩個(gè)因子(zǐ)有(yǒu)關，而分(fēn)¶γ≤&析者隻觀測到(dào)其中一(yī)個(gè)因子(zǐ)，πδδ而把另一(yī)個(gè)因子(zǐ)當作(zuò)特質性收益₽∏率的(de)一(yī)部分(fēn)。在這(zhè)種情況下(xià)，即便™'個(gè)股特質性收益率滿足 IID，那(nà)個×♥✘π(gè)被遺漏的(de)因子(zǐ)的(de)動量也(yě)會(huì)♦₹≈§被錯(cuò)誤地(dì)視(shì)為(wèi)殘差動量。

Ehsani and Linnainmaa (2022) 通(tōng)過<£> 模拟和(hé)實際數(shù)據證實了(le)上(shà•₩♦ng)述猜想。在模拟中，他(tā)們假設資産收益率由 10 個(g∏‍♥✘è)因子(zǐ)決定，并考慮了(le)兩個(gè)情景：（1）10 φ•σ•個(gè)因子(zǐ)的(de)自(zì)相(x‍♠α<iàng)關性相(xiàng)似，且對(duì)資産收益率波$→動的(de)解釋大(dà)小(xiǎo)也(¶₹ ✘yě)相(xiàng)似；（2）10 個(gè)因子(zǐ)中第一(yī)β'¥×個(gè)因子(zǐ)解釋資産的(de)波動是(s ≥<®hì)其他(tā)每個(gè)因子(zǐ)的(de) 5 倍，且第$₽'γ一(yī)個(gè)因子(zǐ)的(de)收益率在時(shí)序上(shε‌αàng)是(shì)不(bù)相(xiàng)關的(§↕'de)（所以第一(yī)個(gè)因子(zǐ)可(kě)以理(lǐ)解為®∏↔φ(wèi)市(shì)場(chǎng)因子(zǐ)）。在每個(gè)情境中÷γ，他(tā)們分(fēn)别考慮已知(zhī) N 個(gè)因子(zǐ₩¥β•)（N 取值 1 到(dào) 10）的(de)情況，隻要(yào) N < ∏∞$10，就(jiù)說(shuō)明(míng)計(jì)算(suàn₽∑∞)殘差動量時(shí)遺漏了(le) 10 <₹×– N 個(gè)因子(zǐ)。

下(xià)表展示了(le)模拟的(de)結果，其中 Symmetri™‌c Factors 表示情景一(yī)；Uncorrel×φ✘ated Market Factor 表示情景¥☆>二。以情景一(yī)為(wèi)例，在計(jì)算(su≤€ àn)殘差動量時(shí)，遺漏的(de)變量越多(duō)（ε'即 Number of Known Factors <®β越小(xiǎo)），殘差動量的(de) t‌→-statistic 則越大(dà)。當 ±模型不(bù)存在遺漏變量時(shí)，殘差動量也(yě)随之消失。此♦δ↓外(wài)，表中另一(yī)個(gè)非常 ≈≥‌重要(yào)的(de)結果是(shì)，在情景二中，個(gè)股≤>動量的(de) t-statistic 為(wèi↑×>) 4.68（表格最下(xià)方），而當把市(shì)場(chǎng)因子(₽€®↑zǐ)剔除後計(jì)算(suàn)殘差動量>$>'時(shí)，其 t-statistic 則上γε(shàng)升到(dào) 5.62（表格第≠↓‌©一(yī)行(xíng)）。這(zhè)是(sπ< hì)因為(wèi)，當剔除掉這(zhè)個(gè)沒有(yǒ♥£u)自(zì)相(xiàng)關的(de)市(shì)場(chǎng≠")因子(zǐ)後，資産收益率的(de)剩餘部分↑<&(fēn)更好(hǎo)地(dì)捕捉了(le)被遺漏的(de)那(nà) •≠9 個(gè)因子(zǐ)的(de)自(zì)相✘ε‍(xiàng)關性，從(cóng)而造成殘§πδΩ差動量相(xiàng)比于包含市(shì)場(chǎng)因≤©₽∞子(zǐ)計(jì)算(suàn)的(de)個(gè)股動量更加顯著。

基于實際數(shù)據的(de)實證結果又(yòu)¥<↔↕如(rú)何呢(ne)？下(xià)表中分(fēn)别考察了(l ÷↑e)原始的(de) UMD 以及基于 CAPM、FF3&♦∏≤ 和(hé) FF5 計(jì)算(suàn)的(dδ♥• e)殘差動量。觀察 Average Return 那(nà)一(yī)列，不→≥ (bù)難發現(xiàn)基于 CAPM 的←÷®(de)殘差動量要(yào)比原始 UMD 更σ✔≠ 加顯著，這(zhè)背後的(de)原因恰恰≤←↕¶就(jiù)是(shì)上(shàng)一(yī)自(≈☆☆∏zì)然段最後所指出的(de)。再來(lá"<§×i)看(kàn)控制(zhì)了(le)因子(zǐ)動量>¶£後的(de)結果，無論是(shì)以常見(jiàn)因Ω• 子(zǐ)構造因子(zǐ)動量，還(hái)是(shì)以主成分(•βfēn)因子(zǐ)構造動量，基于 CAβ'PM、FF3 以及 FF5 的(de)殘差動量均不(bù)≤δ<再顯著。而這(zhè)一(yī)結果在使用(yòng)主成分(f‌ ēn)因子(zǐ)構造因子(zǐ)動量時(shí)尤其精彩（三個(gè)版本的β"•(de)殘差動量的(de) t-statistics 分(fēn)别±✔•為(wèi) -0.38、0.04 以及 -0.03）。這(zhè)一(yī™♣)結果的(de)含義是(shì)，盡管人(rén)們不(bù)知(zhī)道(dào) FF5 中到(dào)底‍¥遺漏了(le)哪些(xiē)因子(zǐ)，但(dàn)可(kě)以推斷∞♣這(zhè)些(xiē)被遺漏因子(zǐ∑∏☆↕)和(hé)這(zhè) 10 個(gè)主成分(fēn)因子™'•(zǐ)密切相(xiàng)關。

現(xiàn)在，讓我們來(lái)看(kàn)實證的(d≤×e)最後一(yī)塊拼圖。

本文(wén)開(kāi)篇曾提到(dào) FF☆λ5 無法解釋動量（UMD）因子(zǐ)。事(shì)實上(shàng)→↕，任何一(yī)個(gè)不(bù)包含動量因子(zǐ)的(de) a£↔∞&d-hoc 簡約多(duō)因子(zǐ)模型似乎都(dō↕'→u)很(hěn)難解釋動量。這(zhè)背後δ‍ε的(de)原因是(shì)動量因子(zǐ)和(hé)其他(tā)因子(♠ zǐ)在時(shí)序上(shàng)的(de)非條件(ji♠δ★àn)相(xiàng)關性很(hěn)低(dī)。然而，這(zhè)一(yī₹< )經驗事(shì)實低(dī)估了(le) UM ☆α>D 和(hé)其他(tā)因子(zǐ)的(de)關系。

舉例來(lái)說(shuō)，假如(rú)規模（Size）‍δ因子(zǐ)在過去(qù)表現(xiàn)很(hěn)好(hǎo)，那★€(nà)麽人(rén)們在構造 UMD 因子(zǐ)時✘¶♦(shí)也(yě)會(huì)做(zuò)多(duō)小(£¶ xiǎo)市(shì)值的(de)股票(piào)而做(zuò)空(kōngε←©)大(dà)市(shì)值的(de)股票×✘₹(piào)。由于 Size 和(hé) UMσ∑D 都(dōu)做(zuò)多(duō)小(xiǎo)市(shì)值αδ♥的(de)股票(piào)且做(zuò)空(kōng)大(dà)市(sσφ∑∑hì)值的(de)股票(piào)，因此可(kě)以預✔ ↓期它們的(de)收益率在下(xià)一(yī)期是(shì)正相(xià'↕εng)關的(de)。反之，如(rú)果 Size 表現(☆' xiàn)很(hěn)差，那(nà)麽 UMD 則會≥¶(huì)做(zuò)多(duō)大(dà)市$±↓φ(shì)值的(de)股票(piào)而做(zuò)空(kōng₩≈®)小(xiǎo)市(shì)值的(de)股票(piào)，因此這(zh<γè)兩者下(xià)一(yī)期則很(hěn)有(yǒu)可( ∞∑kě)能(néng)負相(xiàng)關。同λ‌樣的(de)機(jī)制(zhì)可(kě)以被用(yòng)于分↔β∑₩(fēn)析 UMD 和(hé)其他(tā)别的(de)因子(₩₹zǐ)之間(jiān)的(de)關系：當一(yī)個(gè)因子×∏(zǐ)在過去(qù)一(yī)段時(shí)間(jiān)表現(xià ↔n)很(hěn)好(hǎo)，那(nà)麽它和↔÷✘(hé) UMD 在未來(lái)就(jiù)更有(y≥§&♦ǒu)可(kě)能(néng)正相(xiàng)關，反之則負相(∑≤xiàng)關。這(zhè)個(gè)分(f>♣↕φēn)析表明(míng)，如(rú)果以任÷π↓意給定因子(zǐ)過去(qù)一(yī)段 ←₩時(shí)間(jiān)的(de)表現(xiàn)×♣§為(wèi)條件(jiàn)，來(lái)考察 UMD 和(hé✘€)該因子(zǐ)的(de)條件(jiàn∑)相(xiàng)關性，那(nà)麽将會(huì)得$'↑$(de)到(dào)不(bù)同的(de)答(dá)案。

下(xià)表給出了(le)實證結果。其中 $\rho$ 表示 UMD 和(hé)給定因子(zǐ)的(deφ©™)非條件(jiàn)相(xiàng)關系數(sh $ù)； $\rho^+$ 表示當給定因子(zǐ)過去(qù) 12 個(gè)月(y↓ →uè)收益率為(wèi)正時(shí)，它和(hé) UMD 的≈ε§(de)相(xiàng)關系數(shù)； $\rho^-$ 表示當給定因子(zǐ)過去(qù) 12 個(gè)月(yuè)φ♣™&收益率為(wèi)負時(shí)，它和(hé) UMγ★D 的(de)相(xiàng)關系數(shù)。結果清晰的(de)展示出，雖然©Ω←非條件(jiàn)相(xiàng)關性不(bù)高(gāo)，但(dàn)±∞一(yī)旦分(fēn)别考察 $\rho^+$ 和(hé) $\rho^-$ ，結果則完全不(bù)同。以美(měi)股因子(zǐ)為(wèi)β♣↕∑例，除了(le)反轉外(wài)，其他(tā)所有(yǒu)因子(πφzǐ)的(de) $\rho^+$ 均大(dà)于零，而所有(yǒu)因子(zǐ)的(de) $\rho^-$ 均小(xiǎo)于零。此外(wài)，兩位作(zuò)者還(hái)對( •duì) $\rho^+ = \rho^-$ 進行(xíng)了(le)統計(jì)檢驗，對(duì)于所有∑₩≥(yǒu)因子(zǐ)而言，原假設均能(néng)被拒絕。

針對(duì) A 股的(de)實證結果如(rú)下(xià)&γ₹。雖不(bù)如(rú)美(měi)股那(≈∑nà)麽明(míng)顯，但(dàn)也(yě)在很(hěn)大(dà)程度™♦上(shàng)是(shì)一(yī)緻的(de)。這(z→≥≠hè)些(xiē)結果均表明(míng)，U♥÷MD 因子(zǐ)和(hé)其他(tā)因子(zǐ)之間(jiān)并非無關，↑σ¥而是(shì)它和(hé)其他(tā)因子(zǐ)時(shí)變的(de)條件(j¶€•♣iàn)相(xiàng)關性讓它顯得(de)↕γ和(hé)這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)非條件(jiàn)無關，從(→§"☆cóng)而也(yě)就(jiù)造成了(le)非條件(jiàn)時(shí →)序回歸時(shí)其他(tā)因子(zǐ)無法β'解釋它的(de)謎團。

以上(shàng)就(jiù)是(shì)±©∞我對(duì) Ehsani and Linnainmaa (202εδ2) 的(de)解讀(dú)。雖然前面五個(gè)小(xiǎo)節已經分(fēn)别回答(dá)了(<€ ♠le)本文(wén)一(yī)開(kāi)始列出的(de)五個(gè)問£∞φ(wèn)題，但(dàn)是(shì)在最後還(hái)↓≤是(shì)讓我再把它們放(fàng)在一(yī)起總結一(yīα±©')下(xià)：

問(wèn)題一(yī)：因子(zǐ)收益率是(shì)否有(yǒu)時(shí)序自(zì)相(xiσ àng)關性？

回答(dá)一(yī)：絕大(dà)多(duō)數(shù)因子£‌(zǐ)的(de)收益率存在自(zì)相(xi¶¶àng)關性。

問(wèn)題二：因子(zǐ)滿足何種條件(jiàn)時(shí)，更容÷☆σ•易出現(xiàn)自(zì)相(xiàng)關性？

回答(dá)二：和(hé)個(gè)股收益率協方差矩陣更相(xiàng)關的(de)因☆♦→子(zǐ)，自(zì)相(xiàng)關性更強。

問(wèn)題三：利用(yòng)自(zì)相(xiàng)關性、基于因子(zǐ)曆§©‌±史收益率構造的(de)因子(zǐ)動量策略（注意，它類似于 UMD‍¥，是(shì)以因子(zǐ)組合為(wèi) as®★≠sets 的(de)截面動量策略）和(hé)個(gè)×δ'股截面動量因子(zǐ)（即 UMD）有(yǒu®♦δ)什(shén)麽關系？誰是(shì)因？誰又(yò×"₩u)是(shì)果？

回答(dá)三：因子(zǐ)動量能(néng)夠解釋個(÷±<gè)股動量（及其各種變化(huà)版本）≤↓γ ，但(dàn)個(gè)股動量（及其各種版本）無法解釋因子(zβ∏₩ǐ)動量。個(gè)股動量效應背後的(de)驅動（之±≥一(yī)）是(shì)因子(zǐ)動量。

問(wèn)題四：因子(zǐ)動量能(néng)否解釋個(gè)股殘差動量？↑¶

問(wèn)題五：如(rú)何理(lǐ)解 UMD 因子(zǐ)和(hé)其₽±他(tā)因子(zǐ)時(shí)序無關的(de)實證現₽>ε(xiàn)象？

回答(dá)五：當控制(zhì)了(le)曆史收益率之後，UMD 因子(zǐ)和(hé)≈σγ™其他(tā)因子(zǐ)有(yǒu)很(hěn)強的(✔β<∏de)正相(xiàng)關或負相(xiàng)關。UMD$♦ 因子(zǐ)和(hé)其他(tā)因子(zǐ)時♠(shí)變的(de)條件(jiàn)相(xiàng)關性使其看(kàn)'←上(shàng)去(qù)和(hé)其他(tā)因子(zǐ)非條件(jià↕®n)無關。

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)的(de)π®實證之細緻、結果之豐富、推論之重要(yào)，無一σδα¥(yī)不(bù)令人(rén)拍(pāi÷↕)案叫絕。它無愧于 Journal of Finance，也(yě)值得(de)每一(yī)個(gè)研究和(hé)使用(yòng)動®±ε量的(de)小(xiǎo)夥伴仔細品味，相(xiàng)信你(nǐ✔♣)一(yī)定會(huì)有(yǒu)收獲。Ehsani and Linnainmaa (2022)✔' 于 2019 年(nián) 2 月(yuè)投稿，曆時(shí™₽φλ)兩年(nián)，2021 年(nián)3 月(₩± yuè)被接收，2022 年(nián)最終見(jiàn)刊。Ω&±$然而，一(yī)切等待都(dōu)值得(de)。

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合格投資者聲明(míng)

因子(zǐ)動量與動量因子(zǐ)