尋找 Mean-Variance Frontier (↑≈×αII)
發布時(shí)間(jiān)：2022-04-08 | ∞₩ ↑∑δ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)
作(zuò)者：石川
摘要(yào)：實證層面，我們也(yě)許永遠(yuǎn)找不(bù)到∏" "(dào)“最優”的(de) MVE 組合，但(dà≈π₹λn)理(lǐ)論的(de)突破和(hé)實證的(de)推進對(d£§uì)投資實務而言依然非常有(yǒu)益。♠
Any asset pricing model←<π is the same as the statem¥Ω≈★ent that there is some return on t✔☆he mean-variance frontier. ☆ ®
—— Cochrane (2005)
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最近(jìn)幾年(nián)，機(jī)器(∞₩qì)學習(xí)在實證資産定價方面的(de)應用(yò™₽σng)愈加深入。學術(shù)界提出了(le)很(hěn)♥多(duō)利用(yòng)機(jī)器δ↑×(qì)學習(xí)方法構造的(de)隐性多(duō)因子(zǐ≠')模型，例如(rú) Kelly, Pruitt and Su (2019) ≈ α®的(de) IPCA 模型、Chen, ™₹Pelger and Zhu (2019)₽ ★ 的(de)深度學習(xí)模型、Kozak, Nage £≈✔l and Santosh (2020) 的(←♣de) PCA方法、Bryzgalova, Pelge¶∑r and Zhu (2020) 的(de)随機(jī)森(sēn™↕)林(lín)方法、以及 Gu, Kelly and Xiu↑ε (2021) 的(de) autoencoder 模型等。
和(hé)傳統的(de) Fama anδ£Ωd French (1993, 2015) 以及→¶Ω Hou, Xue and Zhang (201×♠♥5) 模型相(xiàng)比，這(zhè)些(xβ★¥iē)新方法沒有(yǒu)強加 ad-h≤× ☆oc 稀疏性假設，而是(shì)選擇直面協變量（公司特征）的(de)高↔↓β(gāo)維數(shù)問(wèn)題。實證結果顯™™λ示，新模型均能(néng)獲得(de)傳統模型₽δ★無法解釋的(de)超額收益，且它們在樣本外(wài)§β• span 出的(de)最大(dà)夏普比率也(yě)遠(yuǎn)ε★超傳統模型。
雖說(shuō)每個(gè)新模型都(dōu)能(néng)遠(yuǎn)勝♥≤ 傳統模型，但(dàn)我們并不(bù)清楚這(zhè)些(xiē)新模型之間λβ(jiān)又(yòu)會(huì)是(shì)孰優孰劣。∑π 是(shì)否會(huì)有(yǒu)某個(gè)機(jī)器'&∞≥(qì)學習(xí)方法構造的(de)模型會(huì)優于其他(tā)模型™∞¶？回答(dá)這(zhè)個(gè)問(wèn)題的δ>∞(de)意義絕非“factor (model) war”的(de)升級版，λλ↓而是(shì)對(duì)理(lǐ)論和(hé)實證、✘✘≥對(duì)學界和(hé)業(yè)界都(<₽γdōu)意義重大(dà)。
直到(dào) Baba-Yara, Boyer a←Ω nd Davis (2021) 出現(xiàn)。
該文(wén)把傳統模型和(hé)基于機(jī)器(q'&Ωì)學習(xí)方法構造的(de)新模型放(fàng)在一(yī)起進行(xí←§ng)了(le)比較。然而有(yǒu)意思的(de)是(sh•← λì)，該文(wén)通(tōng)過詳盡 •的(de)實證分(fēn)析發現(xiàn)× 沒有(yǒu)哪個(gè)新模型是(shì)“最優”的(de)σ₹♣♣。正因如(rú)此，三位作(zuò)者給論文(™wén)的(de)題目選為(wèi) The factor model faiα↓≥lure puzzle（在更早先的(de)版本中，該文(wén)₩∞✘的(de)标題為(wèi) Evaluating the anomaly≈&€♦ zookeepers）。
那(nà)麽出現(xiàn)上(shàng)述現(xiàn)象↑£背後的(de)原因是(shì)什(shén)麽呢(ne)？是(shì)機(±§§↕jī)器(qì)學習(xí)領域中“沒有(yǒu)免費(fèi)₹∞的(de)午餐”定理(lǐ)？又(yòu)或者是(shì)什(shén)麽 €$其他(tā)的(de)原因？Baba-Yara, Boyer and Da→£φ←vis (2021) 的(de)創新之處在于不(bù)止進行(xíng)了γ✘$(le)實證分(fēn)析，而是(shì)通(tōng♥ε←)過理(lǐ)論模型解釋了(le)上(shàng←∞φ)述現(xiàn)象背後的(de)原因。他(tā≈§↑)們把這(zhè)個(gè)現(xiàn)象稱為€♥(wèi) Impossibility result。↔&
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為(wèi)了(le)合理(lǐ)地(dì)比較不(bù)同的(deαλε&)模型，我們首先來(lái)借助一(yī)些(xiē)理(lσ<ǐ)論的(de)指引。實證資産定價理(lǐ)論表♣↓♥明(míng)了(le)（線性）随機(jī)貼現(xiàn)因子÷↔™(zǐ)、多(duō)因子(zǐ)模型以及均值方₩β差有(yǒu)效（MVE）投資組合之間(≥'β→jiān)的(de)等價關系。此外(wài)，一(yī)旦我們找到(dào→≤) mean-variance frontier 上(shàng)的∞€≥®(de)一(yī)個(gè)組合，就(jiù)可(kě)以用(yò→&∞₹ng)它構造一(yī)個(gè)單因子(zǐ)模型，←✘≥并通(tōng)過它來(lái)為(wèi)其他(tā)Ω≈∏任意資産定價（Roll 1977）：
上(shàng)述結果為(wèi)我們比較不(bù☆γδ)同的(de)模型指明(míng)了(le)方向。對(duì)€∞€于不(bù)同的(de)模型，我們隻需要(yλ ào)利用(yòng)它們的(de)因子(z ×ǐ)構造出各自(zì)的(de) MVE 投資組合，然₩•→後考察這(zhè)些(xiē) MVE 組合是(shì)÷φ否能(néng)夠為(wèi)彼此定價。如↓δ<(rú)果某個(gè)模型是(shì)“最優σ←”模型，則意味著(zhe)其他(tā)模型的(de) ↔♦MVE 組合無法獲得(de)相(xiàng®π)較于該模型 MVE 組合的(de)超額收益。
當然，上(shàng)述“隻需要(yào)”背後隐含著 ₽(zhe)巨大(dà)的(de)實證挑戰。這♥©(zhè)是(shì)因為(wèi)我們在乎的(de)是(shì)在樣本外∏δ(wài)構造 MVE 組合，而非在樣本內(nèi)★∏©¶進行(xíng)事(shì)後分(fēn)析。對(d$∞σ≥uì)于後者，我們隻需要(yào)使用(yòβ•∑ng)
利用(yòng)因子(zǐ)權重，就(jiù)可(kě)以≠☆構造 MVE 組合；而一(yī)旦有(yǒu)了(le) ←所有(yǒu)模型各自(zì)的(de) MVE 組合，接下(xià)來♦♣(lái)隻需要(yào)令它們互為(wèi) t→ est assets 和(hé)基準模型進行(xíng)回歸分(fēn)析，↔☆↕求出每個(gè) test assets 相(xiàn₩ ¥φg)對(duì)選定基準（即某個(gè)因子(z÷÷ǐ)模型的(de) MVE 組合）的(de ±)超額收益
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下(xià)面我們來(lái)看(kàn)看(÷✔ kàn)參加 PK 的(de)各路(lù)選手。
首先是(shì)傳統選手，包括 CAPM、FF3（Fama a ↕≥≥nd French 1993）、FF6（Fama₽£αδ and French 2015 + Mom）、HXZ（Ho♣ ÷u, Xue and Zhang 2015）、DMRS（Danie®₹l et al. 2020 通(tōng)過對(duì)沖後構造的(de)∞<γ因子(zǐ)，詳見(jiàn)此處）以及 SY（Stambaugh and Yuan 2♠♣016）。至于通(tōng)過機(jī)器(qì)學習(x♦γí)方法構造的(de)新模型，主要(yào)就(£↔®±jiù)是(shì)本文(wén)一(yī)開(kāi)始提到(dào)的(₹εde)那(nà)些(xiē)，不(bù)再贅述。下(xià)表總結了(le)₽≤★ Baba-Yara, Boyer and Davis"≥ (2021) 考察的(de)全部模型以及每λ $個(gè)模型所使用(yòng)的(deδ≠)用(yòng)于估計(jì) MVE 權重的(de)方法。
接下(xià)來(lái)看(kàn)實證結果。該文(♥÷wén)考察的(de)時(shí)間(jiān)★××區(qū)間(jiān)自(zì) 1963 到(dào) 2020，↓♣©為(wèi)了(le)在樣本外(wài)比較上(shàng)述模型，該文♠±(wén)樣本內(nèi)區(qū)間(jiān)截止$<× Dec 1989；之後為(wèi)樣本外(wài)。下(xià♠§¥")圖展示了(le)這(zhè)些(xiē)模型各自(zì∑π)的(de) MVE 組合在樣本內(nèi)和(hé)ππ•∑樣本外(wài)的(de)相(xiàng★←λ↑)關系數(shù)。無論是(shì)樣本內(nèi)還(hái)是(shì™≈♠")樣本外(wài)，絕大(dà)多(duō)數(sh♦'ù) MVE 組合似乎都(dōu)頗為(wèiΩ≈♦)不(bù)同（此處為(wèi)本文(wén)第四節的(de)討(tǎ <o)論埋個(gè)伏筆(bǐ)）。
此外(wài)，再來(lái)看(kàn)看(kàn)這(zhè)些(xiē∑₹&$) MVE 組合在樣本外(wài)的(de) CAPM-α 以及年(n¥↑₽₽ián)化(huà)夏普比率。不(bù)出意外(wài)，基于機(✔®&Ωjī)器(qì)學習(xí)方法、擁抱協變量φ×π高(gāo)維數(shù)的(de)新模型在樣本外(♠↔wài)的(de)風(fēng)險收益特征均優于傳統模型。在我Ω↕看(kàn)來(lái)，這(zhè)個(gè)結果對(duìα<)業(yè)界有(yǒu)很(hěn)大(dà)的≈→÷(de)意義：（1）雖然在本文(wén)一(yī)開(kāi)始，我劇↔εΩ(jù)透了(le) factor model failure 這(zhè✘δ )個(gè)結論，但(dàn)是(shì)ε÷<對(duì)業(yè)界而言關注的(de)是(sβ£®hì)最大(dà)化(huà)樣本外(wàiβφ≠)投資組合的(de)風(fēng)險收益特征，因此這(zhè)個(gè)結 £≈'果表明(míng)在協變量的(de)高(gāo)維數(×↔ε₽shù)時(shí)代，機(jī)器(qì↕≠)學習(xí)方法（如(rú)果用(yòng)對(duì)的(d☆₽ e)話(huà)）大(dà)有(yǒu)可(kě)為(wèi)；（2）傳統強加☆ε ad-hoc 稀疏性假設的(de)模型（比如(r•↓ú) FF3、FF6）所代表的(de)投資機(jī)會(huì)☆£→λ非常弱（體(tǐ)現(xiàn)在很(hΩ∑∑ěn)低(dī)的(de) CAPM-α 以及年(ni∏∏"án)化(huà)夏普比率），所以對(duì)未來∏→(lái)任何以它們為(wèi)基準的(de★')顯著實證結果都(dōu)無需太興奮。
預熱(rè)得(de)差不(bù)多(duō)了(le)，下(xià)面我€← ★們來(lái)看(kàn) Baba-Yaraφβ, Boyer and Davis (2021) 的(de) main × results —— 是(shì)否有(yǒu)哪個(gè)模型的ε>£<(de) MVE 組合能(néng)給其他(tā) MVE±Ω÷ 組合定價。為(wèi)此，該文(wén)同時(shí)考察了(le)無條件(←<jiàn)模型以及條件(jiàn)模型（即
因此，如(rú)果有(yǒu)某個(gè✔σδ)模型是(shì)“最優”的(de)話(huà)，那(nà)麽我們應該能(÷λnéng)夠看(kàn)到(dào)某一(yī)列的(de↕σβ↔)顔色都(dōu)是(shì)淺色。然而，事(shì)與願違， ®以樣本外(wài)為(wèi)例，放(fàng)眼望去(qù)是('ε÷shì)一(yī)片深紫色，說(shuō)明(m÷λíng)哪怕以機(jī)器(qì)學習(xí)方法構造的(de)模型>✘，也(yě)沒有(yǒu)哪個(gè)能(néng)為(wèi)£♦₹≠所有(yǒu)其他(tā)模型定價。進一÷✔✘(yī)步通(tōng)過 GRS test 聯合檢驗 Ωλφ每個(gè)基準下(xià)的(de) pricing errors，對•≈☆→(duì)應的(de) F-statistic 都(dōu)非常大(dà)，說(φΩ↔shuō)明(míng)這(zhè)些(x↔π iē) pricing errors 不(bù)為(wèi)零。
以上(shàng)結果說(shuō)明(míng)，γ®實證層面，盡管近(jìn)年(nián)來(lái)新的(de)模型層≤ 出不(bù)窮，但(dàn)依然沒有(yǒu)所謂的(d<§↕e)“最優”模型。面對(duì)這(zhè)樣的(de)結果，人(rén)們 ✔₹↕不(bù)禁要(yào)問(wèn)：為(w✘<èi)什(shén)麽？
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實證方面細緻的(de)工(gōng)作(zuò)無疑是(shì)π≤α" Baba-Yara, Boyer an≠≥¶d Davis (2021) 一(yī)文β®®α(wén)的(de)重要(yào)貢獻，然而關于理(lǐ)論模型的(↕¶βde)討(tǎo)論才是(shì)該文(wéπ₽n)畫(huà)龍點睛的(de)一(yī)筆(bǐ)。
由前文(wén)論述可(kě)知(zhī)，站(zhàn)在 MVE 投資↕ 組合的(de)視(shì)角，一(yī)個(gè)多(duō)因子(z¶₩α↔ǐ)模型可(kě)以被視(shì)為(wèi)一(yī)個(gè)以& 因子(zǐ)為(wèi)标的(de)構造的(de) MVE 組合的"π↕(de)權重向量。從(cóng)理(lǐ)論上(shàng)說(shuō)，用♣ ÷(yòng)于構造真實 MVE 組合的(de)因子(zǐ)'↓₩可(kě)能(néng)會(huì)有(yǒu)很(hěn)多(duō)，≈< 而所有(yǒu)給定的(de)多(duō)因子(zǐ)模型都(₹™dōu)帶有(yǒu)某種程度的(de)降維處理(lǐ)。比₽±如(rú)，最簡單的(de) FF3 使用(yòng)市(shì)值和(hé)≈± Book-to-Market Ratio 構造因子(zǐ)。這(zhè)意味ε"著(zhe)該模型認為(wèi)這(zhè)兩個(gè)組合在 MVE 組合中∞✔≈的(de)權重非零，而其他(tā)潛在因子(zǐ)的(de)權重都(dōu)≠α為(wèi)零（假設不(bù)考慮市(shì)場(cσhǎng)因子(zǐ)）。類似的(de)，其他(tā)傳統模型則是(shì) ♥'人(rén)為(wèi)地(dì)選擇了(↕¶↑∏le)盈利、投資、動量等因子(zǐ)，并認為(wèi)它們的®♥(de) MVE 權重不(bù)為(wè<✘€i)零；而機(jī)器(qì)學習(xí)方法則更多(duō)的(de)通(♣§♠©tōng)過數(shù)據驅動的(de)方式來(lái↑φ)選擇 firm characteris§¶tics（以及它們的(de)交互作(zuò)用(yòng)）、構造因子(zǐ)♥♥，并決定因子(zǐ)在 MVE 組合中的(de)權重。
在這(zhè)個(gè)視(shì)角下(xià)，不∑★(bù)同的(de)多(duō)因子(zǐ)模型可φ€±(kě)以被理(lǐ)解為(wèi)對(duì¶♣)真實 MVE 組合中的(de)權重施加了(le)不(bù)同的(de)先驗≥®>♥（先驗的(de)差異造成了(le)第三節展示的(de)不(bù)同模>€↑型的(de) MVE 組合的(de)相(xiàn>φ♥g)關系數(shù)并不(bù)高(gāo)）。沿著(zhe)這(zhè)" ♠個(gè)思路(lù)，Baba-Yara, Boyer an"Ω d Davis (2021) 提出了(le)一(yī)個(gè)貝葉斯框δ ↓架的(de)理(lǐ)論模型，并發現(xiàn)當潛在的(de)因子•(zǐ)個(gè)數(shù)非常大(dà)時(s'♠♦hí)，使用(yòng)不(bù)同先驗的(de)模型無法為(wèi)彼此定價 "。此外(wài)，哪怕某個(gè)模型是(shì)真正&¥的(de)模型（即它的(de)先驗是(shì)正确的(de)） ♣&，另外(wài)一(yī)個(gè)使用(yòng)≠ φ不(bù)同先驗的(de)模型也(yě)注定能φφ(néng)夠産生(shēng)該模型無法解釋的(de)超額收益。< λ∑這(zhè)就(jiù)是(shì)本文(wén)一(yī)←' §開(kāi)始提到(dào)的(de) impossλπibility result。在協變量的(de)高(gāo)維數(shù≈₽↑)時(shí)代，不(bù)存在“最優” ¶☆的(de)模型 —— 對(duì)于給定的(de)任意模型，總能φ©σε(néng)找到(dào)能(néng)夠獲得(de)其無法解釋的(de)超額∞¥>收益的(de)新模型。
In other words, it is impossiσλ>ble to establish a domi✔&≤αnant or best asset pricing m←αodel in a high dimensional w↕₽orld. Any model that claims dominanΩ☆ce can invariably be dominated ≈ וby a new model with a slight tweak.
—— Baba-Yara, Boyer and Davis (ε↕®2021)
近(jìn)年(nián)來(lái)，factor (mod♣€≈el) war 愈演愈烈。而 Baba-Yara, Boyer and Da₩vis (2021) 一(yī)文(wén"∞)的(de)實證結果和(hé)理(lǐ)論模型無♠®←疑給人(rén)們帶來(lái)了(le)全新的(de)思考σ∞。至少(shǎo)對(duì)我來(lái)說(shuō)，再看(kàn)傳α®統模型在那(nà)裡(lǐ) PK 來(lái) PK 去(qù)實在是(sh↔€ì)不(bù)痛不(bù)癢。對(duì)于業(yè)界實σ£γ務來(lái)說(shuō)，人(rén)γ☆們使用(yòng)多(duō)因子(zǐ)模型降維是(shì)為(wèi∞₽)了(le)減少(shǎo)估計(jì)↑↔↕誤差對(duì) MVE 組合權重的(de)影(yǐng)∑≈∞響。因此，回答(dá)更關鍵的(de)問(wèn)題₩₽，即應該使用(yòng)何種的(de)先驗（回想π§♦一(yī)下(xià)《稀疏性幻覺》）以及如(rú)何更合理(lǐ)的(de)使用(yòng)機(jī)βΩ§器(qì)學習(xí)方法構造因子(zǐ)以及計(jì)算(suàn)它們£↕α♣的(de) MVE 權重，這(zhè)些(xiē)✘★才是(shì)有(yǒu)價值的(de)研ε¶究。
期待 Baba-Yara, Boyer ≠€and Davis (2021) 早日(rì)見(j'§™iàn)刊。
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