Farewell，ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型

發布時(shí)間(jiān)：2022-01-28 | ¶₹ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：強加人(rén)為(wèi)稀疏性假設的(de)多(du×¥ō)因子(zǐ)模型注定會(huì)成為(wèi)一(yī)段曆史$≥☆σ，但(dàn)以它們為(wèi)基礎也(yě)會(♠©✘ huì)孕育出新的(de)範式。

1 引言

前文(wén)《稀疏性幻覺》曾抛出這(zhè)樣的(de)觀點，在以往被提出的(de)、如≤®✔(rú)今早已成為(wèi)實證資産定價中占主導地( ♠dì)位的(de)諸多(duō)多(duō)因子(zǐ)模型都(dōu)÷ε↕♦帶有(yǒu)非常強的(de)稀疏性假設。這(zhè)背後的(de™ )動機(jī)是(shì)繞過和(hé)收益率有(yǒu)關的(de)協<↕變量的(de)高(gāo)維數(shù)問(wèn)題，≤≥從(cóng)而用(yòng)低(dī)維模型研究定價 &<‍問(wèn)題。然而，希望通(tōng)過包含有(yǒu)限個(gè)因子(zǐ)的(d♠ σe) ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型來(l€♦ái)解釋股票(piào)預期收益率或者 span 出更大(dà)的(de)夏¥¶普比率平方，僅僅是(shì)一(yī)種稀疏性幻覺。雖然∏★≤♥追求簡約模型本身(shēn)并無不(bù)妥，但(≥Ω®dàn)這(zhè)些(xiē)曆史上(shàng)曾經輝煌一(yī)時(sπ☆‌hí)的(de)模型并非實證資産定價的(de)未來(lái)，也(y☆ ✘φě)終将退出曆史的(de)舞(wǔ)台。本文(wén)借 Cooper et al. (2021) 一(yī$φ)文(wén)，從(cóng) APT 的(de)角度針對(duì)上(>α®σshàng)述觀點再來(lái)做(zuò)一(yī÷€)番探討(tǎo)。

2 APT 與 PCA

關于 APT（Ross 1976）的(d$↑φe)經濟學動機(jī)，Cochrane (200∑®>5) 有(yǒu)如(rú)下(xià)描述：Factor structure can im¶‍∑ply factor pricing (APT). T✔ ™×he APT suggests that one start ¶♦™with a statistical a÷♣±$nalysis of the covariance matrix of r₩≤eturns and find portfolios that charγ✔αacterize common movement. 這(zhè)段話(huà)的(de)意思就(jiù)是(shì)，能(néng)夠解釋資産收益率共同運動的(de)因子(zǐ)↔"∞"也(yě)應該是(shì)能(néng)夠解釋資産預期收$☆∑益率截面差異的(de)因子(zǐ)。在市(shì)場(chǎng)中不(bù)存在近(jìn)似無風(fēφ•±ng)險套利機(jī)會(huì)這(zhè)個(gè)假設下(xià)，'πφKozak, Nagel, and Santosh (201✔"∞<8) 同樣論述了(le)這(zhè)一(yī✔δ)點（見(jiàn)《Which beta (III)?》）。這(zhè)個(gè)經濟學動機(jī)也(yě)正是(sh×♣ì)最近(jìn)幾年(nián)利用(yò≤&&ng) PCA 構造隐性因子(zǐ)模型備受關注的(de)原因。這(zhè)也≈↔£(yě)是(shì)本節的(de)題目為±£>(wèi) APT 與 PCA 的(de)原因。我們再從(cóng)數(shù)學上(s ↕ ≈hàng)簡單看(kàn)一(yī)下(xià)。假設資産的‍♥>(de)超額收益滿足如(rú)下(xià)回歸模型：

$R^e_{i}=a_i+\beta_{i,1}\tilde{F}_{1}+\cdots+\beta_{i,K}\tilde{F}_{K}+\varepsilon_{i}.$

其中 $R^e_{i}$ 是(shì)資産的(de)超額收益， $\tilde{F}_{k}\equiv F_k-\mbox{E}[F_k], k=1,\cdots,K$ 是(shì) demean 之後的(de)因子(zǐ)（因子(zǐ)可(β÷εkě)以是(shì) traded portfolλσ∞ios，即我們熟悉的(de) long/short p₹•♦ortfolio returns，也(yě)可(kě)以是(s≈α ↔hì) nontraded portfolios）。由于在上(shàng)式δε中對(duì)因子(zǐ)取值做(zuò)了(le)去(qù)均©γ>★值處理(lǐ)，因此有(yǒu) $\mbox{E}[R^e_i]=a_i$ 。接下(xià)來(lái)，令 $M$ 表示随機(jī)貼現(xiàn)因子(zǐ)（SDF）。由φ♥←于 $R^e_i$ 表示超額收益，因此有(yǒu) $\mbox{E}[MR^e_i]=0$ 。對(duì)上(shàng)面的(de)回歸↓€σ®模型兩邊同時(shí)乘以 $M$ 并求期望可(kě)得(de)：

0=a_i\mbox{E}[M]+\beta_{i,1}\mbox{E}[M\tilde{F}_{1}]+\cdots+\beta_{i,K}\mbox{E}[M\tilde{F}_{K}]+\mbox{E}[M\varepsilon_{i}].

利用(yòng) $\mbox{E}[R^e_i]=a_i$ ，将 $\mbox{E}[R^e_i]$ 替換上(shàng)式中的(de) $a_i$ 并做(zuò)簡單運算(suàn)：

$\mbox{E}[R^e_i]=-\beta_{i,1}\frac{\mbox{E}[M\tilde{F}_{1}]}{\mbox{E}[M]}-\cdots-\beta_{i,K}\frac{\mbox{E}[M\tilde{F}_{K}]}{\mbox{E}[M]}-\frac{\mbox{E}[M\varepsilon_{i}]}{\mbox{E}[M]}.$

定義 $\lambda_k\equiv-\mbox{E}[ M\tilde{F}_k]/\mbox{E}[M]$ 以及 $\alpha_i\equiv-\mbox{E}[M\varepsilon_i]/\mbox{E}[M]$ ，上(shàng)式最後變成我們熟悉的(de)形式：

$\mbox{E}[R^e_i]=\alpha_i+\beta_{i,1}\lambda_1+\cdots+\beta_{i,K}\lambda_K.$

可(kě)以證明(míng)，當因子(zǐ)是(shì) tα§₹×raded portfolio retur↓∏★✘ns 時(shí)， $\lambda_i=\mbox{E}[F_i]$ 。在 APT 的(de)推導中，隐含的(de)假設是(sh☆★★'ì)不(bù)同資産的(de) $\varepsilon_{i}$ 是(shì)相(xiàng)互獨立的(±♠≤de)，即 $\mbox{E}[\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}]=0$ ，且特質收益率的(de)方差 $\mbox{var}(\varepsilon_{i})$ 是(shì)有(yǒu)界的(de)。¥↔←♦在這(zhè)兩個(gè)條件(jiàn)下(xià)，如(r✔‍×₽ú)果利用(yòng)本節的(de)回歸模型計(jì)算(suàn©&)不(bù)同資産超額收益率之間(jiān)的(de)協方差矩陣，則 ↔✘♣一(yī)個(gè)自(zì)然的(de)結果 λ"就(jiù)是(shì)這(zhè)些(xiē)解釋資産預期收益率的(de≥δ)因子(zǐ)同時(shí)也(yě)能(néng)解釋資産的(λ<σ‌de)協方差矩陣。在這(zhè)個(gè)結論下(xià)，APT 為(wè✘©i)我們比較不(bù)同 ad-hoc 多(duō)因子(zǐ↓×≠₽)模型提供了(le)一(yī)個(gè)天然的(de₩↕<‌)基準 —— 我們可(kě)以通(tōng)過 PCA 分(fēn)解資産"πα÷的(de)協方差矩陣，利用(yòng)特征向量作(zuò)為(wèi)權αφ¥≤重構造“統計(jì)”因子(zǐ)投資組合，以這(zhè)些(xiē)組✔™‍合的(de)收益率為(wèi)因子(zǐ)構造一(yī)個(gè)基→€∏‌準的(de)多(duō)因子(zǐ)模型。

如(rú)果 ad-hoc 模型能(néng)夠比較好(hǎβ£o)的(de)描述投資者在市(shì)場(chǎng)中面對(duì)αφγ$的(de)投資機(jī)會(huì)以及不(bù)同資産截面預期收益率的(de♣<)差異，則它們在資産定價方面的(de)表現(xiàn)和(hé÷♣₹)上(shàng)述基于 PCA 的(de)基準模型之間(jiān)™←★不(bù)應該存在統計(jì)上(shàng)顯著的(de)↕↕差異。以此為(wèi)出發點，就(jiù)能(néng)夠評價不(bù)同♣‍≠的(de) ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型。這(zhè)也(yě)≤γ正是(shì) Cooper et al. (2021) ε™的(de)研究動機(jī)。

3 實證結果

雖然理(lǐ)論很(hěn)清晰，但(dàn)是(shì)實證依¶®₹然充滿挑戰，那(nà)就(jiù)是(shì ∞←)基于哪個(gè)協方差矩陣構造基準模型。在這(zhèπσ∏)方面，使用(yòng)個(gè)股是(shì)♥€不(bù)現(xiàn)實的(de)，所以隻能(nén≥&γ'g)取而代之使用(yòng)常見(jiàn)的(de) sortedε→ portfolios 作(zuò)為(wèi)資産。Coope£'r et al. (2021) 基于數(shù)據可&₽∑≠(kě)得(de)性等原因選擇了(le) 42 個'☆£(gè)常見(jiàn)的(de)異象，并通(tōng)過每個(gè)異象變☆↑←≤量将股票(piào)分(fēn)成 10 組×•☆（每月(yuè)再平衡），一(yī)共得(de)到(≤>dào)了(le) 420 個(gè)投資組合。以它們為(wèi)→∏資産計(jì)算(suàn)協方差矩陣，Cooper et al. (202<≤≤1) 構造了(le)一(yī)個(gè)包含 σ×≈6 個(gè)主成分(fēn)的(de)基→→↓φ準模型，記為(wèi) APT6。再來(lá₹¶©≤i)看(kàn)看(kàn)被評價的(de) ad-hoc✘₹€✔ 多(duō)因子(zǐ)模型。該文(wén)一(yī)共考慮了(le) π™♣7 個(gè)模型，都(dōu)是(shì)人(rén)們ε✔₽₽非常熟悉的(de)，見(jiàn)下(xià)表。

為(wèi)了(le)比較來(lái)自↓<₹₩(zì) APT 的(de)基準模型和(hé)上(s≈↕★✘hàng)述 7 個(gè) ad-hoc 模型，Cooper et ≈±®al. (2021) 使用(yòng)了(l™σαe)很(hěn)多(duō)常見(jiàn)的(de)實證資産定價檢驗手段。α♠σ®本節介紹其中一(yī)個(gè)，即 time-series s♣β£★panning test。以上(shàng)Ω×∞述 420 個(gè) sorted portfolios→£ 作(zuò)為(wèi) test asset★£≠s，分(fēn)别對(duì)這(zhè) 8 個(gè)模型進行(xíng)↓επ時(shí)序回歸，計(jì)算(suàn)每個(¥εγgè) test asset 的(de) prici∏•©ng error，并基于 pricing errors 進行(x•≥φ£íng)檢驗。其中一(yī)個(gè)檢驗↔∑™統計(jì)量是(shì)截面 R-sq€βuared，定義如(rú)下(xià)：

$R_c^2=1-\frac{\mbox{var}(\alpha_i)}{\mbox{var}(\bar{R}_i^e)}.$

其中 $\mbox{var}(\alpha_i)$ 是(shì) test assets 的(de) prici®" ng errors 在截面上(shàng)的("δ↑de)方差， $\mbox{var}(\bar{R}_i^e)$ 是(shì)這(zhè)些(xiē)資産的★★(de)平均收益率在截面上(shàng)的(de)方差。由定≠×£≥義可(kě)知(zhī)， $R_c^2$ 越大(dà)則說(shuō)明(míng)模型解釋資産預期收益率的(de)♥ ↔能(néng)力越強。下(xià)表給出了(le)檢驗結"×果（隻需要(yào)看(kàn) Panel A 即可(kě "<₹)）。

從(cóng) Panel A 可(kě)知(z∑←÷hī)，來(lái)自(zì) APT 的(de)基準模型× §的(de) $R_c^2$ 高(gāo)于任意一(yī)個(gè) ad-hoc 模型的Ω±(de) $R_c^2$ 。此外(wài)， $SR^2$ （請(qǐng)注意它不(bù)代表夏普比率平 ♥方）這(zhè)一(yī)行(xíng)展示了(lσγ∏↔e)基準模型和(hé)單個(gè) ad-hoc 模型的(de↓φ) $R_c^2$ 之差，其下(xià)方括号內(nèi)為(wèi)對 ✘♣≤(duì)應的(de) p-value。從(cóng) Panel A 的(de)±™δ±結果可(kě)知(zhī)，除了(le) HMXZ5 之外(wài)，其©λ<他(tā) ad-hoc 模型和(hé)基準模型相(xiàng)比的(de™∑♦↔)差異均在 5% 的(de)顯著性水(shuǐ)平以下(xià)。而 ✘π♣•HMXZ5 和(hé)基準模型的(de)差異的(de)顯著性水 (shuǐ)平是(shì) 10% 以下(xià)≥©α。另外(wài)讓人(rén)驚訝的(de)是(shì) BS6 模型σ σ的(de) $R_c^2$ 是(shì)負的(de)。（Panel δ'B 的(de)穩健性檢驗給出了(le)類似的(de)結果。↑♥≥）

面對(duì)以上(shàng)實證結果，我們似乎還( hái)不(bù)能(néng)馬上(shàng)否定 ad-hoα÷←c 模型。其背後的(de)原因有(yǒu)兩個(gè)。首先，APT 模型∞•∞♠是(shì)根據 420 個(gè)作(zuò)為(wèi) €'₹$test assets 的(de)協方差矩陣構造的(d♥↕e)，它是(shì)一(yī)個(gè)純粹的(de) inγ÷-sample test，它能(néng)解釋更多(duō)的(d€↔<★e)截面差異理(lǐ)所應當。第二，HMXZ5 這(zh★>è)個(gè)最近(jìn)兩年(nián)出盡£←♣✔風(fēng)頭的(de)模型（見(jiàn) Hou et ™ al 2019）和(hé) APT 模型的(de)差距在統計(jì)上(s‌★§★hàng)并不(bù)是(shì)那(n≤à)麽顯著。不(bù)過值得(de)一(yī♥♦★)提的(de)是(shì)，HMXZ5 雖然源自(zì)加強版的(de) q✘¶↑-theory model（見(jiàn)《從(cóng) Factor Zoo 到(dào‌Ω≤♠) Factor War，實證資産定價走向何方？》），但(dàn)它也(yě)僅僅是(shì)事(•₽shì)後的(de) in-sample 實證分(fēn)析。為(wèi)了∞★↑(le)排除顧慮，使用(yòng)未被用(yòng)于構®★₹造 APT 模型的(de) test a☆λ✘ssets 就(jiù)顯得(de)格外(wài)重要<₹→♥(yào)。為(wèi)此，Cooper et al. (20↓♦&21) 使用(yòng)了(le)另外(w♥ Ωài) 8 個(gè)異象構造了(le) 80α≤₹ 個(gè) sorted portfolios 作(zu‌"ò)為(wèi) test assets。結果如(rúγ™)下(xià)。

對(duì)于這(zhè) 80 個(gè) test "↑∑assets 來(lái)說(shuō)，β∞基準模型 APT6 依然有(yǒu)不(bù)錯(cuò♥✘★)的(de)定價能(néng)力，其 $R_c^2$ 為(wèi)0.34（p-value = 0.000）。反觀各種 a≥✘"d-hoc 模型，C4、HXZ4 以及 BS6 ≤☆的(de) $R_c^2$ 均為(wèi)負。其中表現(xiàn)最好(hǎo)的(de)是( ☆shì) SY4。另外(wài)，雖然以定價能(néng)力差異來(lá±∏→i)看(kàn)，我們依然不(bù)能(néng)說(shuō) HMXZ5（₩•↕±此外(wài)這(zhè)回還(hái)有(yǒu) FF6）和(hé•₩)基準模型的(de)差異在統計(jì)上(shàng)是(sh↓αì)顯著的(de)，但(dàn)如(rú)果對(duì)照'←€¥(zhào)著(zhe) $R_c^2$ 來(lái)看(kàn)，HMXZ5 首先就(jiù)沒有(yǒu)↓₹表現(xiàn)出統計(jì)上(shàng)顯著的(d‌≤≠e)定價能(néng)力。另外(wài)，考慮到(dào)$<₹ HMXZ5 是(shì) HXZ4 的(de)拓展（僅僅加上(shàng)≠φ×‍了(le)額外(wài)的(de)預期投資增長(cháng)因子(zǐ)），®¥我們也(yě)無法忽視(shì) HXZ4 和(hé) HMX↑εZ5 的(de)巨大(dà)反差（ $R_c^2$ 一(yī)正一(yī)負）。

除本節介紹的(de)實證結果之外(wài)，Cooper et al. (2 ÷021) 還(hái)考慮了(le)其他(tā)δλ "很(hěn)多(duō)穩健性檢驗，感興趣的(de)小(x↕☆®λiǎo)夥伴請(qǐng)閱讀(dú)原文(wén)。總體(tǐ∑¶)而言，來(lái)自(zì) APT 的(de)基準模型無論✘' α在 in-sample test 還(hλ¥ái)是(shì)在 out-of-sample test 都(dōu≈β∏)表現(xiàn)出了(le)更好(hǎo)的(de)∑¶定價能(néng)力，因而優于各類 ad-↕←₩πhoc 模型。在諸多(duō) ad-hoc 模 π型中，唯一(yī)能(néng)與其相(xiàng)比的( φde)是(shì) HMXZ5，但(dàn)其 •所代表的(de)投資機(jī)會(huì)遜于 φ÷&APT 模型。

4 結束語

最近(jìn)幾年(nián)，實證資産定價的(¥δβ'de)研究範式已從(cóng) ad-hoc ✘§多(duō)因子(zǐ)模型轉到(dào)隐性多(duō)&‌因子(zǐ)模型，其中的(de)代表作(zuò)當屬基于 PCA 方法的♦★(de) Kelly, Pruitt, and Su (2↔≥019) 以及 Kozak, Nagel, and Sa✘$ntosh (2020)。（順便一(yī)提，這(zhè)兩篇文(≤↕wén)章(zhāng)分(fēn)别獲得(de) 2019 和(hΩ♣é) 2020 JFE Fama-DFA best pa≠©₹§per prize。）無論從(cóng)對(duì)資産的(de)定‌♦β價能(néng)力，還(hái)是(shì)從(cóng)構造的(de)最大 <(dà)夏普比率平方來(lái)說(shuō)，隐性因子♥φ(zǐ)模型都(dōu)要(yào)優于 ad-hoc 多(du×★→ō)因子(zǐ)模型，一(yī)如(rú) Cooper et al. ≈‍↔ (2021)。對(duì)于業(yè)界的(de)投資實₽>✔務來(lái)說(shuō)，多(duō)因子(zǐ)模型的(de)作(zuò✘≥‌)用(yòng)找到(dào)最能(néng)解釋資産預期收益率 ±差異（即最能(néng)代表投資機(jī)會(huì)）©× ®的(de)因子(zǐ)，并最大(dà)化(huà)樣本外(wài) ₹♥的(de)條件(jiàn)風(fēng)險收益特征。而從(cóng)實證資産定→↓±價來(lái)說(shuō)，多(duō)因子(zǐ)模型的(de)新範式應能∑€(néng)夠正面應對(duì)協變量（公司特征）的(de¥")高(gāo)維數(shù)問(wèn)題，在摒棄稀疏性假設的(de)前×≥提下(xià)研究衆多(duō)高(gā ≠•o)度相(xiàng)關的(de)協變量和(hé)資産收益率的(de)關""∑∞系。

在可(kě)以預見(jiàn)的(de)未來↔✘(lái)，無論是(shì)對(duì)→★↓•業(yè)界還(hái)是(shì)學界✔®的(de)目标，曾經輝煌一(yī)時(shí)的(de) a®§≥d-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型似乎都(d σλ≠ōu)無法繼續發揮太大(dà)的(de)作(zuò)用(yòng)♠∏£。雖然這(zhè)些(xiē)模型讓多(duō)因子(z✔ $ǐ)模型的(de)概念深入人(rén)心，但(dàn)随著("®≈zhe)理(lǐ)論和(hé)實證資産定價研究持續發展，終有σ≥<←(yǒu)那(nà)麽一(yī)個(gè)ε♣☆時(shí)刻，我們要(yào)對(duì)它們說(₽₩shuō)聲拜拜。也(yě)許這(zhè)個(gè)時(shí)刻已經到(d®≥> ào)來(lái)。

參考文(wén)獻

Barillas, F. and J. Shanken (2018). ↑&★Comparing asset pricing↓©§ models. Journal of Finance 73(2), 715 – 754.

Cochrane, J. H. (2005). Asset Pricing (Revise∏πd Edition). Princeton University Press.

Cooper, I., L. Ma, P. Miao, •§£and D. Philip (2021). Mult§♥↔∞ifactor models and their consi¥↓±stency with the APT. ±£≈®Review of Asset Pricing Studieφβs 11(2), 402 – 444.

Fama, E. F. and K. R. French (2015<±). A five-factor asset pri‍±♣cing model. Journal of Financial Econo♣∞λmics 116(1), 1 – 22.

Fama, E. F. and K. R. French (2018). Ch↑ π₹oosing factors. Journal of Financial Economi>'cs 128(2), 234 – 252.

Hou, K., H. Mo, C. Xue, a ≤nd L. Zhang (2019). Which fact &ors? Review of Finance 21(1), 1 – 35.

Hou, K., H. Mo, C. Xue≥∞εΩ, and L. Zhang (2021). An augmented q-f€↕±actor model with expected grow↓λ☆th. Review of Finance 25(1), 1 – 41.

Hou, K., C. Xue, and L.£✔‌ Zhang (2015). Digesting γ✘♦≈anomalies: An investment approacΩh. Review of Financial Studies 28(3), 650 – 705.

Kelly, B. T., S. Pruitt,<↓ and Y. Su (2019). Characteristγ•✔ics are covariances: A uni♠¶fied model of risk and return. Journal of Financial Economicε£↔ s 134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santos π±h (2018). Interpreting factor✘<$ models. Journal of Finance 73(3), 1183 – 1223.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santo ∞©Ωsh (2020). Shrinking the cro>€♥ss-section. Journal of Financial ≥ ≠Economics 135(2), 271 – 292.

Ross, S. A. (1976). The a₹φrbitrage theory of capital÷₽↑ asset pricing. Journal of Economic Theory 13(3), 341 – 360.

Stambaugh, R. F. and ±α₩Y. Yuan (2017). Mispricin¶$Ωφg factors. Review of Financial Studies 30(4), 1270 – 1315.

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