Cross-Section Research, L©♥ooking Forward

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：機(jī)器(qì)學習(xí)和(hé)大(dà)數(shù)®β∞λ據時(shí)代，資産預期收益截面差異研究的(de)統一(yī)框¥≥‍™架。

早先的(de)文(wén)章(zhāng)《Cross-Section Research, A History》®​£≠回顧了(le)自(zì)上(shàng)世紀 6σ∞0 年(nián)代以來(lái)關于股票(piào)預期收益率 cr↔♥↔₩oss-section 的(de)研究，包括 ∑φ≈CAPM 以及後來(lái)的(de) ♥σ≈FF3、q-factor model 這(zhè)些(xiē) ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)模型。該文(wén)的(de)最後同時(shí)引出了(le)當下(xià¶γβ₽)流行(xíng)的(de)動态 latent beta factor δ model 框架：

在這(zhè)個(gè)框架中，因子(zǐ)是(s₩™∞♣hì) latent，建模的(de)對(duì)象是(shì)資産α™對(duì)因子(zǐ)的(de)暴露  ，而  是(shì) firm characteristics  的(de)線性或非線性函數(shù)，函數(shù)的(de¶δ)具體(tǐ)形式和(hé)參數(shù)可(kě)以±✔通(tōng)過機(jī)器(qì)學習(xí)算(suàn)法×<₹<，以最小(xiǎo)化(huà)資産的(de)•₹定價誤差為(wèi)目标函數(shù)來(lái)估計(jì)。

鑒于 beta pricing model 和(hé) stochastic $☆©★discount factor（SDF）¶₹的(de)等價性，本文(wén)從(cóng) SDF 的(de)角度進一(yī)步梳理≥ ↓(lǐ)這(zhè)個(gè)統一(yī)的(de★→)研究框架，它能(néng)夠将當下(xià)衆多(duō)基于機(j↓♠♣©ī)器(qì)學習(xí)的(de)實證資産定≠Ω≥δ價模型納入其中，代表了(le) cross-secα §tion research 的(de)未來€™‍≠(lái)。

1

在解讀(dú)框架之前，首先要(yào)回答(dá)的(de)是Ωσ≤(shì)為(wèi)什(shén)麽需要(yào)框架。這(zhè)個(gè÷>)問(wèn)題的(de)答(dá)案是(sh↔♥ì)：新時(shí)代的(de)實證資産定價✔"↔≤研究是(shì)以大(dà)數(shù)據為(wèi)依托、以機≤"σ(jī)器(qì)學習(xí)算(suàn)法為(wèi)工(gōng)具，圍  ∑繞資産定價理(lǐ)論展開(kāi)；而非将數(shù)據£ ©無腦(nǎo)扔進高(gāo)級算(suàn)法，單$™♥純指望數(shù)據發聲。因此，唯有(yǒu)放(fàng)在框架下(xi‍​ à)探討(tǎo)前沿進展，才能(néng)理(lǐ)解不(bù¶☆>)同方法之間(jiān)的(de)共性和(hé)差異，從(←♣cóng)而将學術(shù)研究的(de)最新發現(xiàn)映射到(d™≥<ào)投資實務之中。

讓我們從(cóng)條件(jiàn) SDF 說(shuō)起：

将權重  視(shì)為(wèi)公司特征  的(de)函數(shù)：

式中  是(shì)非線性函數(shù)，  維向量  則表示  期公司  的(de)公司特征取值。當然，  是(shì)未知(zhī)的(de)。因此，為(w♠α↔èi)了(le)構造 SDF，使用(yòng)一​σ(yī)系列 managed portfoli£​¶os 來(lái)近(jìn)似  ：

式中，  表示第  個(gè) managed portfolio 中股票 ♥‌(piào)  的(de)權重。值得(de)注意的(de)是(shì)，managed po≈₹rtfolios 的(de)維數(shù)是(shì)  ，它可(kě)以比  小(xiǎo)很(hěn)多(duō)。這(zhè)些(xiē) mana​®ged portfolios 就(jiù)是(shì)我們常說(sh™★‌←uō)的(de)因子(zǐ)。所以從(cóng)因子(zασ≠↑ǐ)的(de)角度來(lái)說(shuō)，SDF 可(kπ™α$ě)以是(shì)稀疏的(de)，但(d→€àn)是(shì)從(cóng)原始變量的(de)β←βα角度來(lái)說(shuō)，SDF 并不(bù)稀疏。且這(zhè)些(xiē) managed po©§rtfolios 可(kě)能(néng)是(shì)公$<司特征的(de)非線性函數(shù)。

利用(yòng) managed portfolios，将原始 SDF ¥​轉化(huà)成如(rú)下(xià)靜(jìng)态模型¥≤γ∑：

其中

上(shàng)述模型之所以是(shì)靜(jìng)态的(de♥≈)，是(shì)因為(wèi)系數(shù)  不(bù)包含下(xià)标  ，而模型的(de) dynamics 是(shì)通(↕✔tōng)過 managed portfolios 中公司特征的(≈∑de)變化(huà)來(lái)體(tǐ)現(x₩€→iàn)的(de)。該靜(jìng)态模型就(jiù)構成了(le)我們  ©‍的(de)研究框架。不(bù)同的(de)定價模型代表了(le)真實 SDF 所包含的(d₹©♥™e)風(fēng)險因子(zǐ)的(de)不(bù)同先驗。以人(rén)們熟悉的(de) Fama-Frenc ®↓h 三因子(zǐ)為(wèi)例。在這(✔φ₩zhè)個(gè)框架下(xià)，公司特征為(wèi) market ca<ε★p 和(hé) book-to-market ratio，而 ™₩♣ε 為(wèi) double portfolioφ✘  sort。

在這(zhè)個(gè)框架下(xià)，新時(shí)代實證資産定價的(π←✘de)研究目标為(wèi)：以最大(dà)化(huà) MVE¶★< 組合樣本外(wài)夏普比率為(wèi)目标，選擇含有(yǒu)收益率預測信息的(de)公司特征©♠  、構造 managed portfolios  、以及估計(jì) SDF 系數(shù)  。

以下(xià)兩節分(fēn)别探討(tǎo) ✘¥ 和(hé)  兩部分(fēn)。而對(duì)于系數(shù)  ，可(kě)通(tōng)過 mean-variance o ™ptimization 疊加正則化(huà)的(d ±↔e)方式，确保樣本外(wài)穩健的(de)表現(xiàn)。

2

關于  ，與股票(piào)預期收益率相(xiàng)關的(de)協變量是(shì)高(gāo)維的(de↕←&≥)（量價數(shù)據、财務數(shù)據、分(fēn)✔σ析師(shī)一(yī)緻預期、輿情數(shù)據、另≥‌♥類數(shù)據），且協變量與預期收益率之• ↑$間(jiān)存在非線性關系，特别是(shì)協變量間>↑(jiān)的(de)交互作(zuò)用(yòng)（例如(rú)‌↑，學界和(hé)業(yè)界常見(jiàn)的(de)市π♦‍(shì)值和(hé)另一(yī)個(gè)變量雙重排序）。為(w↔✔σèi)了(le)尋找協變量，學界的(de)思潮≈$£主要(yào)圍繞以下(xià)幾個(gè)方面。

第一(yī)，針對(duì)多(duō)重假設檢驗問(wèn)題進行(xíng)調整（Harvey 2017，Harvey, →↔¶Liu and Zhu 2016）。在這(zhè)方面，盡管這(zhè)β≥幾年(nián)更多(duō)的(de)聲音(yīn)是(s£Ω•hì)學術(shù)發現(xiàn)大(d± ∞à)部分(fēn) are likely true（Jense↑₽n, Kelly, and Pedersen 2023¥>），但(dàn)我個(gè)人(rén)©λ‍♥更支持 Harvey and Liu 的(de)觀點。對(duì)這(zσ<hè)個(gè)問(wèn)題，根據經驗和(hé)對(duì)數(sh&σ∞ù)據的(de)理(lǐ)解、使用(yòng®≤)合理(lǐ)的(de)先驗（即真實因子(zǐ)的(de)百分(fēn)比）才≈"能(néng)得(de)到(dào)對(duì)于投資實踐有(yǒu)益的 '(de)結論。而基于 ensemble null 假設的(de" )數(shù)學推導遊戲（Chen 2021）毫無意義。

第二，投資者面臨的(de)高(gāo)維學習(xí)問(wèn)題（Martin and Nagel 2022）。理(lǐ)性預期假設投資者知(zhī)道×ε‍₹(dào)真實的(de)估值模型。然而，​₽↓λ投資者面臨高(gāo)維學習(xí)問(wèn)題，不(bùα≥₽‍)可(kě)能(néng)知(zhī)道(dào)真實的(de)<≥δ估值模型。這(zhè)會(huì)造成均衡狀态下"★‍(xià)資産價格和(hé)理(lǐ)性π → 預期情況下(xià)相(xiàng)比出現(xiàn)偏差。因此，↔ σ在事(shì)後（ex post）分(fēn)析中，已實現(xiàn)收益率↓ 中包含一(yī)部分(fēn)因估計(jì)誤差導緻的‌✔δ↑(de)可(kě)預測成分(fēn)。而對(duì)投資者來(lái)說(s×β←§huō)，事(shì)前（ex ante）無法利用(yòng)上(shàng)述可(kěγ✘≠)預測性。事(shì)後分(fēn)析中發現(xiàn)的(de•‌©)可(kě)預測性是(shì)虛假的(d•×÷₩e)。在這(zhè)方面，最直觀的(de)例子(zǐ)就(jiù)是(shì®♦)将當下(xià)的(de)技(jì)術(shù)←₩​手段所進行(xíng)的(de)高(gāo)​¶≥©級數(shù)據分(fēn)析應用(yòng)于曆史數(sh®←↑ù)據中，而曆史數(shù)據那(nà)個(gèε>)時(shí)期并不(bù)存在同樣的(de)分(fēn)析手段或者投₩ 資者使用(yòng)該手段的(de)成本極高(gāo)。

第三，由 APT 可(kě)知(zhī)，解釋資産預期收益率的(de)協變≈≠"量應能(néng)解釋資産的(de)共同運動（Kozak, Nagel, and Santosh​φ 2018）。所以，協變量應該和(hé)資産收益率的(de)一(yī)階矩以及二階矩↑¥δ都(dōu)有(yǒu)關。在這(zhè)個(δ&gè)背景下(xià)，同時(shí)考慮一(yī)階矩和("Ωφhé)二階矩信息的(de)方法（例如(rú)≥'  risk-premium PCA）取得(de)了(le)很(hěn)好(hǎo)的(de)實證結果。

3

再來(lái)看(kàn)  。

傳統的(de)構造方法以來(lái) portfolio sort（這(zhè)主要(yào)歸功于 Fama and French 的αλ(de)開(kāi)創性工(gōng)作(zuò)）。而顯​γ然，在協變量的(de)高(gāo)維數(shù)時(shí)代，進行(→±‌←xíng)高(gāo)維的(de) portf ‌±olio sort 是(shì)不(bù)切實際的(de↓★¶)。所以，當下(xià)的(de)解決方案是(shì) embrace>γ✔≠ machine learning。

然而，由于金(jīn)融數(shù)據的(de)信₹₹☆"噪比極低(dī)以及不(bù)滿足平穩性（即 a‌λlpha 會(huì)因為(wèi)被交易掉 >而消失），導緻 parameter scal←♠¥•ing, regularization, cost​㧕 function……每個(gè)選擇都(dōu)可(kě®≥✔)能(néng)影(yǐng)響機(jī)器(qì£δ)學習(xí)模型在樣本外(wài)風(fēng)險收益特征（Nagel 2 ∑021）。對(duì)此，學術(shù)界的(de)一(yī)緻觀點是(shì§→) off-the-shelf 的(de)機(jī)器(qì↕™↔)學習(xí)算(suàn)法難以成功，而是(λ≤‌shì)要(yào)通(tōng)過适當的(de)途徑注入經₽↓濟學理(lǐ)論（例如(rú)使用(yòng)貝≤ ∞•葉斯框架）。例如(rú)，實證分(fēn)析表明(λ®míng) ridge regression 比 OLS 在樣本外✔₹↕(wài)能(néng)夠獲得(de)更高(gāo)的(de)  和(hé) Sharpe Ratio。這(zπ↑hè)是(shì)因為(wèi) Ridge r≈₩¥egression 背後有(yǒu)優雅的(de)貝γ¥♥←葉斯收縮解釋。

此外(wài)，No-Free-Lunch 定理(l♥≤ǐ)對(duì)于資産定價研究同樣适用(↕♥£‍yòng)。不(bù)同的(de)模型和(hé)不(bù)同的(de)÷$‌協變量選擇，代表了(le)研究者關于 SDγ™F 的(de)不(bù)同先驗，也(yě)會(huì)有(yλ±↕ǒu)不(bù)同的(de)實證結果。僅僅以實證φ 結果為(wèi)依據來(lái)挑選模型隻能(néng)陷入✘σ≈ model-hacking。

4

在本文(wén)所描述的(de)框架下(xià)，我們很(hěn•γ£)容易理(lǐ)解并比較近(jìn)年(nián)來​♠λ☆(lái)實證資産定價研究的(de)最新發現(xiàn)。例如(rú) Bryzgalova, Pelger a←↑nd Zhu (2020) 的(de) asset pricing tree。該文(wén)通(tōn∞∞g)過 decision tree 構造 managed portfol‌☆ios，而在估計(jì)權重系數(shù)  時(shí)，同時(shí)收縮 managed porΩ₹♣tfolios 的(de)預期收益和(hé‌↔↑☆)協方差矩陣。又(yòu)比如(rú) Chen, Pelger and Zhu (2020) 使用(yòng)生(shēng)成對(duì)≤≈★‌抗網絡來(lái)構造 managed por¶✘✔‍tfolios。此外(wài)，IPCA 或者 autoencoder 等模型則可(kě)以放(fàng)在和(hé) π™✘SDF 等價的(de) latent beta factor modelφ£₽ 下(xià)來(lái)對(duì)比。在統一(yī)的(dΩ©γ£e)框架下(xià)審視(shì)這(zhè)些(xiē)方法無疑會(huì)→®★Ω加深我們的(de)理(lǐ)解。

讓我們重申一(yī)下(xià)機(jī)器(qì)♦γ•學習(xí)時(shí)代的(de)實證資産定價研究♥®♦。和(hé)傳統的(de) ad-hoc 多(duō)因子(zǐ)φΩ≤>模型以最小(xiǎo)化(huà)樣本內(nè¥$©i)的(de) pricing errors 不(bù)同，它們以最大(dà)±©化(huà)樣本外(wài)條件(jiàn♠¶↓Ω)夏普比率為(wèi)目标。機(jī)器(qì)學習(xí±≈)算(suàn)法可(kě)以同時(shí)處理(lǐ)大(dà)量解' ≥π釋變量、考慮變量和(hé)預期收益率的(de)非線性關系σ $，但(dàn)使用(yòng)時(shí)需施加經濟學推理(lǐ)。近(jì×↕±n)年(nián)來(lái)，學術(shù)界利用(yòng) SD∞♠£F 框架或隐性因子(zǐ)模型範式，提出包含大(d↑™≤à)量公司特征的(de)定價模型，這(zhè)種趨勢代表了(le×™•∑)實證研究的(de)未來(lái)。

最後，once again，一(yī)圖勝千言。

參考文(wén)獻

Bryzgalova, S., M. Pel™σger, and J. Zhu (2020). Forest≤​  through the trees: Building cross-‍≠sections of stock returns. Wo®♠rking paper.

Chen, A. Y. (2021). The limit÷€s of p-hacking: Some thought&• experiments. Journal of Finance 76(5), 2447–2480.

Chen, L., M. Pelger,≈§α≥ and J. Zhu (2020). Deep lγ"‌earning in asset pricing. Management Science forthcoming.

Harvey, C. R. (2017). Presidential Ad §€ dress: The scientifi☆☆c outlook in financial eπ↕conomics. Journal of Finance 72(4), 1399–1440.

Harvey, C. R., Y. Li∑ >u, and H. Zhu (2016). … and the ε♠cross-section of expected returns. Review of Financial Studies 2←•9(1), 5–68.

Jensen, T. I., B. T.®ε< Kelly, and L. H. Pederse↕λσ∑n (2023). Is there a replication crisiγ↑∏s in finance? Journal of Finance 78(5), 2465–2518.

Kozak, S., S. Nagel, and S'π¥. Santosh (2018). Inte₩$≥rpreting factor modeδ☆ls. Journal of Finance 73(3), 1183–1223.

Martin, I. and S. Nagel (2022). Market‌γ efficiency in the age of big data.× "  Journal of Financial Econom‍★ics 145(1), 154–177.

Nagel, S. (2021). Machine Learning in Asset Pricing. Princeton University Press.

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