随筆(bǐ)

發布時(shí)間(jiān)：2024-07-06 | '¶♥ 來(lφ♦ái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：我們每個(gè)人(rén)的(de)能(néng)力都(dōu)有(φ☆β≈yǒu)限，也(yě)終究會(huì)停下(xià)腳步。但(dà↕✔n)是(shì)如(rú)果我們把路(lù®¥←)鋪好(hǎo)，就(jiù)能(néng)夠讓别人(rén)β↑∞走得(de)更遠(yuǎn)。

最近(jìn)看(kàn)到(dào)了(le)北‍€‍(běi)大(dà)王熙老(lǎo)師(shī)說≠←(shuō)的(de)一(yī)段話(huà)：

知(zhī)識的(de)傳授不(bù)是(shì)為(>σφλwèi)了(le)炫技(jì)

而是(shì)梳理(lǐ)清楚學科(kē)裡(lǐ)面重要(yà©↔o)的(de)問(wèn)題

問(wèn)題和(hé)問(wèn)題之間(ji÷<ān)的(de)聯系

前人(rén)是(shì)怎麽回答(dá)的(d >→e)

我們怎麽樣更好(hǎo)地(dì)回答(dá)這(zhè)些(x∞←iē)問(wèn)題

并最終學會(huì)問(wèn)更好(hǎo)的≥©$(de)問(wèn)題

看(kàn)完後感觸頗深。這(zhè)和(hé)我一(yī)直寫公衆≥δ号的(de)初衷契合，也(yě)和(hé)我自(zì)己涉獵一(yī)個©÷×≥(gè)領域時(shí)的(de) approach 一(y Ωī)緻。例如(rú)，我的(de)博士論文(wé<'£n)的(de)文(wén)獻綜述裡(lǐ)，最早的(de)參∑₩¥∑考文(wén)獻是(shì)上(shàng)世紀•♣↓ 50 年(nián)代的(de)。後來(l✘€γ♣ái)有(yǒu)個(gè)老(lǎo)教授看(k→∑♣àn)了(le)之後，不(bù)無感慨的(d®♣&€e)說(shuō)“現(xiàn)在很(hěn)少(shǎo)有(yβ₽ǒu)人(rén)讀(dú) old papers 了(lπ♦¶↓e)”。

對(duì)于任何一(yī)個(gè) top$★≤ic，我們都(dōu)需要(yào)搞清楚其發展的(de)來(lái)σ£✘龍去(qù)脈并清晰的(de)展現(xiàn ≥)出來(lái)。更重要(yào)的(de)是(shì)，∞←λ‌這(zhè)種展現(xiàn)不(bù)應是(shì)★→♥文(wén)獻按照(zhào)不(bù)同 ca↔♣tegories 的(de)羅列（盡管很(∏$hěn)多(duō) review pap>er 都(dōu)是(shì)這(zhè)♥β§麽寫的(de)），而是(shì)通(tōng)過主線厘清問(wè→☆≈n)題以及解決方法的(de)演進和(hé)叠代、不(bù)同方法之間(ji♠₩£ān)的(de)關聯。

就(jiù)以基于多(duō)因子(zǐ)模型的(de)實證資産定價為↔↕☆(wèi)例。如(rú)今最新的(de)文(wénβΩ‍)章(zhāng)大(dà)部分(fēn)是(shì)在這(z♥§ hè)個(gè)框架下(xià)通(tōng)過機(jī≠♥π)器(qì)學習(xí)算(suàn)法把大(dà)量的(de☆÷) firm characteristiγ¥cs 映射到(dào) factor exposure 之中。然而σ☆，當我們試圖去(qù)理(lǐ)解這(zhè)種‌↔₹∑做(zuò)法的(de)時(shí)候，先決±♦‍條件(jiàn)就(jiù)是(shì)首先明(mín©♠¥↓g)白(bái)人(rén)們是(shì)如(rú)何走到(dε±∑ào)這(zhè)一(yī)步的(de)。

這(zhè)就(jiù)意味著(zhe)，我們需要(yào) ↕✔∑從(cóng)資産定價理(lǐ)論，例如(rúφ÷) SDF、APT/ICAPM 說(shuō)起：APT/ICA>ΩPM 提出了(le)使用(yòng)多(duō)因子(zǐ)模♣£型作(zuò)為(wèi)實證研究的(de)框架。然而，無論 A∏♣∑PT 還(hái)是(shì) ICAPM 都(dōu)沒有(®₹α©yǒu)告訴人(rén)們應該用(yòng)哪些(xiē)因子(≈↓zǐ)。所以，從(cóng)這(zhè)裡(♥•✘ lǐ)開(kāi)始，相(xiàng)關的(de)研究就(jiù)又(♠×yòu)劃分(fēn)到(dào)兩個(gè)分(fēn)支。

其一(yī)是(shì)通(tōng)過經濟學或★≈©≥者金(jīn)融學理(lǐ)論來(lái)提出因子(zǐλ )，例如(rú) Fama-French 和(hé) q-fa→εctor model 等（它們确實叱咤學術(shù)界二十載），而另一≠♣(yī)個(gè)分(fēn)支則是(shì)繼§↓★承 APT 的(de)思想，以解構 covariance matrix 的(de) structure 為(wèi)目标，通(tōng)過 PCA 來(lái)構造 latent facto§↑≤↔r。而這(zhè)方面，随著(zhe)機(jī)器( ✘qì)學習(xí)的(de)發展又(yòu)換發了(le)青春。•→α比如(rú)，傳統的(de) PCA 隻關心 centra¶φ∞™l 二階矩，而不(bù)關心一(yī)階矩（averageγ♦ return），所以學界在 PCA 的(de)基礎上(s™&hàng)提出了(le) RP-PCA；又(yòu)比↔£‌如(rú)上(shàng)述方法都(dōu)僅僅是(shì)通(tōng)過∏' return 數(shù)據來(lái)構造因子(zǐ)↑∑，而忽視(shì)了(le)其他(tā)信息，因此₩>π±在這(zhè)個(gè)動機(jī)的(de)♠γ$♠趨勢下(xià)，Instrumented PCA 被提出，它在₩↑ return 基礎上(shàng)納入了(le) & firm characteristics 的®✘σ(de)信息，且因為(wèi)後者是(shì)随時(±€©£shí)間(jiān)變化(huà)的(de)，因☆$✔此還(hái)把多(duō)因子(zǐ)模型從(cóng)靜(j↔↔ìng)态轉向了(le)動态。

再比如(rú)，随著(zhe)近(jìnε¥₽)年(nián)來(lái)對(duì)模型複雜(zá)度和(hé↑♠λ)樣本外(wài)表現(xiàn)關系的(de)重↑£新認知(zhī)，學界又(yòu)提出應該盡可(kě)能(néng)用≈ ÷↓(yòng)更豐富的(de)高(gāo)維信息以及信息和(hé)收益率φ£>之間(jiān)的(de)非線性關系（盡管尚有(yǒu)争♣≥>®議(yì)）。在這(zhè)個(gè) trend 之下(x"•>ià)，人(rén)們又(yòu)從(cóng) l₩↔™inear mapping 轉向了(le) nonlinear map$© ping（例如(rú) Conditional Autoencoder 模≤®®型）等等。

你(nǐ)看(kàn)，這(zhè)就(jiù ¥)解釋了(le)我們是(shì)怎麽從(cóng) FF3 慢(màn)慢(màn)的(de)走到(dào)今♣α®★天的(de)。而當這(zhè)條主線清晰的(de)被展現(xiàn≠∑•δ)在人(rén)們面前的(de)時(shí)候，我們就(σπ≥♥jiù)能(néng)更好(hǎo)的(de)理(‍π∏lǐ)解新模型被提出的(de)動機(jī)，±☆¶以及每個(gè)新模型解決了(le)哪些(xiē)前✔σ₽人(rén)遺留的(de)問(wèn)題。

說(shuō)到(dào)這(zhè)，我索性歪α±↕個(gè)樓，簡單介紹一(yī)篇我個(gè)人(rén)€δ‌很(hěn)欣賞的(de)文(wén)章(zhāng)↔§™₩ Kozak (2019)。這(zhè)篇文(wén)章(''zhāng)将 kernel trick 巧£σ 妙的(de)用(yòng)在了(le) PCA 當中，在不(bù)≈₽☆α增加計(jì)算(suàn)量的(de)同時(shí≈γ₹)實現(xiàn)了(le) managed‌π portfolio 的(de)維數(shù)激增，從(cóng)而提升了"‌γα(le) latent factor model 的(de)樣本外(w>♠"↓ài)表現(xiàn)。

簡單來(lái)說(shuō)，我們考慮 $L$ 個(gè) managed portfolios:

$\underbrace{F_{t+1}}_{L\times 1}=\underbrace{X_t’}_{L\times N}\underbrace{R_{t+1}}_{N\times 1},$

并以這(zhè)些(xiē) managed portfolios ✔•為(wèi) assets、通(tōng§☆σ)過 PCA 來(lái)構造 latent factors。₽•把 $F_t$ 轉置再縱向堆疊起來(lái)，得(de)到(dào) $T\times L$ 維矩陣 $F$ ：

$\underbrace{F}_{T\times L}=\left[ \begin{array}{c} F_1'\\ F_2'\\ \vdots\\ F_T’ \end{array} \right].$

為(wèi)了(le)簡單起見(jiàn)，假設 $F$ 的(de)每一(yī)列（即每個(gè) man ±aged portfolio）已經時(sh∞★í)序上(shàng) demean 了(le≠✔>)，因此它們的(de) variance-covarianceα<$ matrix 可(kě)以寫成：

$\begin{array}{rll} \Sigma&=&\displaystyle \frac{1}{T}F’F\\ &=&\displaystyle\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t’R_{t+1}R_{t+1}’X_t\\ &=&\text{vec}(X)’\text{diag}(R)\text{diag}(R)’\text{vec}(X). \end{array}$

上(shàng)面就(jiù)是(shì)一(yīδ&)般的(de) PCA，隻不(bù)過把個(gèα‍∏₹)股的(de)超額收益率換成了(le) manag↕γ≠ed portfolios 的(de)超額收‍♦λ益率。下(xià)面是(shì)第一(yī)個(gè)精妙之處：‍↔對(duì)于 PCA 而言，對(duì) $F’F$ 進行(xíng)特征分(fēn)解和(hé)對(duì) $FF’$ 進行(xíng)特征分(fēn)解是(shì)等價的(de)₽≠₹（因為(wèi)都(dōu)是(shì)基于原始數(sh×↓ù)據 $F$ 的(de) SVD 分(fēn)解，所以二者之間(ji ₹ān)可(kě)以相(xiàng)互轉換）。所以，可(€πkě)以把原始問(wèn)題轉化(huà)為(•$®Ωwèi)對(duì) $T\times T$ 維的(de)矩陣 $FF’$ 來(lái)進行(xíng)PCA：

$\Omega=\underbrace{\text{diag}(R)’}_{T\times NT}\underbrace{\text{vec}(X)}_{TN\times L}\underbrace{\text{vec}(X)’}_{L\times TN}\underbrace{\text{diag}(R)}_{NT\times T},$

其中

$\underbrace{\text{vec}(X)}_{TN\times L}\underbrace{\text{vec}(X)’}_{L\times TN}=\left[ \begin{array}{ccc} X_1X_1’&\cdots&X_1X_T’\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ X_TX_1’&\cdots&X_TX_T’ \end{array} \right]_{NT\times NT}.$

式中每個(gè) $X_tX_s’$ 都(dōu)是(shì)一(yī)個(gè)'∑ $N\times N$ 維矩陣，其中第 $(i,j)$ 個(gè)元素代表 $t$ 期股票(piào) $i$ 和(hé) $s$ 期股票(piào) $j$ 所有(yǒu)特征取值的(de)內積。可(kě)見(jiàn)，在 $FF’$ 中， $\text{vec}(X)\text{vec}(X)’$ 包含了(le)所使用(yòng)的(de)協變∞α量的(de)全部信息。更重要(yào)的(de)是(sh←₩ì)，無論 managed portfolios 的(÷≠→εde)維數(shù) $L$ 多(duō)大(dà)，其中每個(gè) $X_tX_s’$ 都(dōu)是(shì) $N\times N$ 維。

Ok，下(xià)面就(jiù)是(shì)第二個(gè)精妙之→¶處（kernel trick）。我們可(kě)以把 $X_tX_s’$ 換成原始協變量的(de)非線性函數(shù)，即 $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’$ ，但(dàn)這(zhè)可(kě)能(néng)是★ §(shì)非常高(gāo)維的(de)，從(cóng)π€而大(dà)大(dà)增加計(jì)算(suàn ∞¶α)量。然而，利用(yòng) kernel trick， $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’$ 的(de)計(jì)算(suàn)可(kě)以通(tōng)過 k★₽ernel 函數(shù)來(lái)完成，即 $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’=\mathcal{K}(X_t, X_s)$ 。而 $\text{vec}(X)\text{vec}(X)’$ 變為(wèi)

$\left[ \begin{array}{ccc} \mathcal{K}(X_1,X_1)&\cdots&\mathcal{K}(X_1,X_T)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \mathcal{K}(X_T,X_1)&\cdots&\mathcal{K}(X_T,X_T) \end{array} \right]_{NT\times NT}.$

這(zhè)樣，就(jiù)可(kě)以在不(bù)增加計(✘‌γ£jì)算(suàn)量的(de)前提下(xià)，把原始協變量增加到'→↔€(dào)更高(gāo)的(de)維數(shù)和(hé)更複雜(zá£ )的(de)非線性關系。實證結果顯示，以此為(wèi)前提構造的(de) la↓§₩tent factors 能(néng)夠 span 出樣本外(wài)π₽更好(hǎo)的(de) SDF。

Beautiful.

老(lǎo)實說(shuō)，我個(gè)人(rén)非 "$常喜歡這(zhè)種 style 的(de)論文(wén)，就(jiù₹¥)是(shì)它有(yǒu)足夠的(de)經×→ 濟學動機(jī)，且 technique 用(yòng)的(de)恰到(d✔σ★ào)好(hǎo)處（而不(bù)是(shì)無腦(nǎoπ☆✘)模型的(de)堆砌；我不(bù)是(shì)很(hěn)理(lǐ)解連漸近∑↕✔(jìn)性質都(dōu)沒搞清楚的(de'£‌±)時(shí)候非要(yào)使用(yòng)複雜(zá)神經網絡的(d¥∑§e)做(zuò)法）。

不(bù)過有(yǒu)意思的(de)是✔& ≥(shì)，這(zhè)篇文(wén)章(zh₩☆←δāng)到(dào)今天還(hái)是(shì)個(gè) δ€working paper。也(yě)許 Ko$©αzak（或者學術(shù)界？）認為(wèi)它的(de) ± contribution 有(yǒu)限σ<？另外(wài)，我自(zì)己試過這(z δ↓hè)個(gè)方法，但(dàn)是(shì)它的("✔α☆de)實施上(shàng)确實還(hái)有(yǒu)一≠¶‍$(yī)些(xiē)坑。感興趣的(de)小(xiǎo)夥伴請(qǐng)↔≈仔細閱讀(dú)原文(wén)。

Sorry! 我 detour 的(de)有(yǒu)點遠(yuǎn)。讓我"®在回到(dào)本文(wén)的(de)主題：聽(tīng)王↓∏® 老(lǎo)師(shī)的(de)話(huà)有(y¥₽¥♦ǒu)感。我希望公衆号能(néng)一(yī)直不(bù)忘初心，腳踏實地♠‍α(dì)。畢竟，我們每個(gè)人(rén)的(de)&♦&♠能(néng)力都(dōu)有(yǒu)限，®§也(yě)終究會(huì)停下(xià)腳步。但(dàn)是∑♦α(shì)如(rú)果我們把路(lù)鋪好(hǎo)，就(ji♦₩‌←ù)能(néng)夠讓别人(rén)走得(de)更遠(yuǎn)。

參考文(wén)獻

Kozak, S. (2019). Kernel trick forδ♠ the cross-section. Workin±γ ™g paper.

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