簡單多(duō)樣化(huà)，資産配置的(de)優σ↔↔秀基準

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：簡單多(duō)樣化(huà)是(shì)一(yī)個(g♠>è)客觀的(de)比較基準；任何複雜(zá)的(de)資産配置方法都(®→≠dōu)需要(yào)至少(shǎo)要(yào)在統計(jì)上(shàβ↔∑✘ng)顯著戰勝簡單多(duō)樣化(huà'±)才能(néng)被稱之為(wèi)有(yǒu)效。

1 引言

資産配置（Asset Allocation） 在量化(huà)投資中無處不(b>εφ®ù)在。投資者需要(yào)把資金(jīn)配置在不(bù)同的(​✔¶de)資産中，比如(rú)股票(piào)、債‍©$券、商品期貨等；多(duō)因子(zǐ)選股策略需要(yào)決定使用(yò™♠↑ng)哪些(xiē)因子(zǐ)以及資金(↑☆✘jīn)在這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)中的(≈  ☆de)配置比例（每一(yī)個(gè)因子(zǐ)就(jiù)是(shì≥¶)一(yī)個(gè)投資組合）；Fund ofβ≤φ> Fund（FOF）需要(yào)調研大(dà)量的(de)基金(j€↔÷īn)從(cóng)而在相(xiàng)關性低(dī)的(de)基金(→‌jīn)之間(jiān)進行(xíng)配置。

科(kē)學的(de)資産配置對(duì)于投資的(de)成§§↕α功至關重要(yào)。

然而由于每種資産的(de)收益存在不(bù)确定性（風(fēng)險），且不(φλ‍↓bù)同資産之間(jiān)的(de)相(xiàn<☆★↔g)關性也(yě)不(bù)同，因此在幾十年(nián)前人(r↕↕‍ én)們并不(bù)知(zhī)道(dào)應該怎麽“科(kē)學”配置，直→♦到(dào)馬科(kē)維茨的(de) Modern PorΩ‌€←tfolio Theory （MPT）橫空(kōng)出世（Markowitz‌ ♠∞ 1952）。MPT 使用(yòng) mean-variance op♦ §¥timization 确定最佳的(de)配置權重，在數(shù÷↓Ω)學上(shàng)十分(fēn)優雅。然而在實戰中，∞•£‍MPT 卻因在樣本外(wài)的(de)表$≈∏現(xiàn)很(hěn)差而聲名狼藉。這(zhè)是(shì)因為(wèi)優化(huà)結果對( ×duì)于輸入異常敏感，而僅使用(yòng)曆史樣本數(shù)據進行(x✘∞íng)均值和(hé)協方差進行(xíng)估計(jì)的(de)估計γ✔(jì)誤差（estimation err™≈£αor）非常大(dà)。如(rú)何減少(shǎo) estimation error 就(ji∑φ×↓ù)成了(le)學術(shù)界關注的(de)重點。改進僅使用(yòng)樣本曆史數(shù)×★據的(de) mean-variance optimization ©© 的(de)努力主要(yào)有(yǒu)以下'↑¶♦(xià)幾個(gè)方向：

這(zhè)些(xiē)對(duì) MPT≥©§✔ 的(de)改進方法在學術(shù)期刊的(de)↓‍₹™論文(wén)中至少(shǎo)都(dōu)獲得(de)了•&(le)很(hěn)好(hǎo)的(de)效果，但(dàn)是✔∞(shì)它們在實戰中又(yòu)如(rú)何呢(ne)？為(←£wèi)了(le)客觀的(de)評價它們的£>(de)效果，需要(yào)選擇一(yī)個(gè)合适δ¶←×的(de)基準。這(zhè)個(gè)基準就(ji§ ±ù)是(shì) —— 簡單多(duō)樣化(huà)（naïve diversificatio®Ω n）。

簡單多(duō)樣化(huà)又(yòu)稱為(wèi) 1/N 法≥&，即我們把資金(jīn)平均的(de)分∏ (fēn)配到(dào) N 個(gè)待配置的(de)資ε←↕¥産中（配合适當的(de)再平衡）。簡單多(duō)樣化(huà)背後的(de)含義≠∑≠是(shì)：不(bù)預測不(bù)同投資組合或者投資$•£←策略未來(lái)表現(xiàn)的(de)相(xià≈≤ng)對(duì)強弱，以期實現(xiàn)樣本外§€(wài)最大(dà)的(de)随機(jī)性、到(dào)達“最大(dà) Ω×熵”的(de)狀态，使得(de)配置結果在樣本外(wài)的(de)适應性更→σ強。毫無疑問(wèn)，簡單多(duō)樣化(huà)是(Ω↓♦πshì)一(yī)個(gè)客觀的(de)基準。任一(yī)個(gè)複雜(zá)的(de)資€≠産配置算(suàn)法如(rú)果要(yào)宣"÷→♥稱有(yǒu)效，至少(shǎo)都(dōu ×₹)要(yào)在樣本外(wài)、從(cóng)統計(jì)上(shàngλ≤♥™)顯著的(de)戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(de)配置結果。這(zhè)裡(lǐ)，戰勝意味著(zhe)考慮了(♦αle)更高(gāo)換手率造成的(de)交易成本後仍能(néng)夠帶來(→σlái)更高(gāo)的(de)風(fē‌♥₩✔ng)險收益比，如(rú)夏普率。

長(cháng)期以來(lái)關注公衆号的(de)小(xiǎo)♦∑∞←夥伴可(kě)能(néng)會(huì)有¥ ↑(yǒu)印象：我其實非常喜歡簡單多(duō)樣∞♦ε化(huà)。這(zhè)一(yī)點在《多(duō)個(gè)因子(zǐ)配置實證》、《你(nǐ)用(yòng)因子(zǐ)、他(tā)也(yě)用(yòng)☆↓δ÷因子(zǐ)；你(nǐ)沒賺錢(qián)、他(tā)卻賺錢(q€®ián)了(le)》均有(yǒu)體(tǐ)現(xiàn)。當然，這(zhè)種觀點的(de)Ω‌γ主觀情緒太濃厚，咱們還(hái)要(yào)用(yòng)數(sh€∏ù)據說(shuō)話(huà)。在金(jīn)融領域頂刊 Review of Financial®×→∑ Studies 于 2009 年(nián)發表的(de)一γ¶σ(yī)篇文(wén)章(zhāng)中，DeMiguel etε€ ± al. (2009) 使用(yòng)了(le) 7 個(gè)股票(pià™®≠≠o)數(shù)據集（大(dà)部分(fēn)都(dδαōu)是(shì)來(lái)自(zì)美(měi)股）比較了(le)簡↔∏單多(duō)樣化(huà)和(hé) 14 種基于 MPπ'T 的(de)資産配置方法。孰優孰劣了(le)？一(yī)起來(lái)看(k "πàn)看(kàn)。

2 資産配置方法與數(shù)據集

假設 μ 和(hé) Σ 分(fēn)别代表 N"α×≤ 個(gè)資産的(de)收益率均值向量和(hé)協方差矩陣©₹、γ 表示投資者的(de)風(fēng)險厭(yàn)惡系數(sh ∑↑♥ù)，則 mean-variance optimization 求解如(r↔•©ú)下(xià)最優化(huà)問(wèn)δ↓題得(de)到(dào)最優配置 ω：

如(rú)果考慮所有(yǒu)資産的(de'α)權重之和(hé)加起來(lái)等于 1 這(zh觧♣≠)個(gè)約束條件(jiàn)，則上(shàng)述問(wèn)>< ∑題的(de)最優解為(wèi)：

其中 1_N = [1, 1, …, 1]^T。值得λ≈↓♠(de)一(yī)提的(de)是(shì)，MPT 是(sh₽∞↔'ì)單期資産配置算(suàn)法，它假設投資者僅對(duì)下(xià)"≥♦$一(yī)期的(de)最優資産配置感興趣。接下(xià)來(lá£∞‌i)，本文(wén)介紹一(yī)些(xiē)有(yǒu)代表性的(de) £↕‌改進資産配置方法（更多(duō)的(de)可(kě)​™♦見(jiàn) DeMiguel et al. 2€ 009）。對(duì)它們的(de)描述、分(fēn)類以及參考文™π(wén)獻如(rú)下(xià)表所示。

模型 0 和(hé)模型 1 無需多(d↔↔ε₽uō)言，對(duì)其他(tā)模型的(d®©e)簡單說(shuō)明(míng)如(rú)下(xià)：

第 7、8、9 種方法分(fēn)别為(w>≈èi)第 1、2、4 種方法加上(shàng)了(le) shorΩ®<βtsale 約束，即要(yào)求配置權重非負。J'∏‌agannathan and Ma (200±₩>™3) 指出，對(duì) minimum-varian€€ce 加上(shàng) shortsale 權重相(xiàng)當于€↑♦收縮協方差矩陣。因此方法 9 也(yě)代表了(le)一(yī)大(dà)類收縮協方差矩陣的($↕✔de)配置方法，例如(rú) Ledoit and<λ Wolf (2004)。下(xià)面再來(lái)看(kàn)看(kàn)用(yφλ‌òng)到(dào)的(de)數(shù)據集。在考察的(de‌β£) 7 個(gè)股票(piào)數(shù)據集中，除₩♥¶β了(le)第 3 個(gè)之外(wài)均來♠≈ε(lái)自(zì)美(měi)股。下(xià)表對(€←≠‍duì)它們進行(xíng)了(le)總結。

表中唯一(yī)可(kě)能(néng)造成困惑的₽£​(de)地(dì)方是(shì)，它使用(α≈∞yòng) x + y 的(de)形式表♠<示了(le)資産個(gè)數(shù) N。例如(rú)，第一(yī)個(g≤© è)數(shù)據集的(de) N = 10 + 1¶©↓ = 11。這(zhè)麽做(zuò)的(‍'de)原因是(shì) Bayesian Data-and-Mod•π$el 這(zhè)個(gè)模型需要(yào)使用(yòng)給定的(d‌♣e)因子(zǐ)模型（資産定價模型）作(z$€÷uò)為(wèi)先驗。因此上(shàng)述表¥β∞達式中加号後面的(de)數(shù)字代表了(le)因子(zǐ)的(®π≈de)個(gè)數(shù)。特别需要(yào)說(shuō)明(míng)的(de)是(shì)，這(z®€hè)些(xiē)因子(zǐ)投資組合除了(le)在 Bayesian♥π Data-and-Model 模型中計(jì)算(suàn)♥£先驗外(wài)；在所有(yǒu)實驗中，它們也(yě)都(dōu)作(zuò)為(wèi)獨♦→立的(de)資産參與配置。舉例來(lái)說(shuō)，在第一(yī)個(gè)數✘&"(shù)據集中，參與配置的(de)不(bù)僅僅是(shì) 10 個(g$₹βè) S&P 500 sectors 投資組合，而且也(yě∞β↕)包括了(le) US equity market portβ♠♣folio 這(zhè)個(gè)作(zuò)↓≈ε±為(wèi)因子(zǐ)的(de)組合，因此一(™σyī)共有(yǒu) 11 個(gè)資産參與資産配置。✔×€<這(zhè) 7 個(gè)數(shù)據集中用(yòn<•Ω×g)于計(jì)算(suàn)先驗的(de)因子(zǐ)分(fēn)别為(‍♣wèi)：

3 評價指标

除了(le)簡單多(duō)樣化(huà)外(wài)，上(shàn₩ π♣g)述所有(yǒu)這(zhè)些(xiē)配置算(suàn)法（包括 sam₩​♦ple-based mv 和(hé)其他(tā) 8 個(gè)改進♥↓方法）都(dōu)需要(yào)使用(yòng)α₹曆史數(shù)據來(lái)計(jì)算(suàn)參數​€♠(shù)。在實證中，DeMiguel et al. (2₹✔009) 采用(yòng)月(yuè)頻™β‍(pín)數(shù)據并使用(yòng)長(cháng)度ε₽¶±為(wèi) 120 個(gè)月(yuè)的(de)滾動窗(ch↕λ‌€uāng)口進行(xíng)參數(shù)®γ±估計(jì)，按月(yuè)調倉以評價不$​≈÷(bù)同配置方法在樣本內(nèi)的(de)表現(xiàn)γ∑∏。評價指标包括以下(xià)三個(gè)：

下(xià)一(yī)節就(jiù)來(lái)看(•← kàn)看(kàn)實證結果。

4 實證結果

下(xià)表顯示了(le)不(bù)同資産配置策略在不(bù)同數(shù₽±)據集上(shàng)的(de)夏普率。從(cóng)第二列開(>ε ≥kāi)始，每一(yī)列代表了(le)一(yī)個(g©♣σ±è)數(shù)據集（由于數(shù)據集 6 和(hé)數(shù)據集 5$∑ε• 的(de)效果很(hěn)接近(jìn)，‍♠ 因此被省略了(le)）；每一(yī)行(xíng)是(↑α÷shì)一(yī)個(gè)策略，由策略名的(de)縮寫表示。其中 mv Ω≥∏₽(in sample) 代表了(le)在整段數(s&★☆hù)據上(shàng)開(kāi)天眼計(jì)算(suàn)均值和(h‍><≈é)協方差矩陣後使用(yòng) mean-vΩ★ariance optimization的(de) ε✘♠表現(xiàn)，因此它是(shì)樣本內(n≈↓₹∏èi)的(de)表現(xiàn)，相(xiàng)當于所有(yǒu)樣本'£®‌外(wài)表現(xiàn)的(de)上(shàng)限。其他(tā)所≠λ∞有(yǒu)非括号內(nèi)的(de)數(shù)字都(dōu)是(sh​λì)不(bù)同策略的(de)樣本外(wài)夏普率。括号中的(de)數(shù)字表示樣本外 ±Ω∑(wài)，給定策略和(hé)簡單多(duō)樣化(huà)©↑策略夏普率差值的(de) p-value。

以第一(yī)個(gè)數(shù)據集 S&P <£≤sectors 為(wèi)例，簡單多(duō)樣化γ (huà)即 1/N 策略的(de)樣本外(wài)夏普率是(sh €↓£ì) 0.1876，而 mv 樣本內(nèi←≤↑§)的(de)夏普率高(gāo)達 0.384‌䶶8，其樣本外(wài)的(de)夏普率僅有(yǒu) 0.0794。0.079∑©<4 下(xià)方括号內(nèi)的(de)數(shù)字表示 m‌★v 和(hé) 1/N 這(zhè)兩個(gè)策略樣本外(wài)夏¥☆普率差值的(de) p-value —— 0.1σ 2。觀察表中數(shù)據不(bù)難發現(xiàn)如(rú)下(xε≠×γià)結論：

下(xià)表是(shì)以 CEQ 為(wèi)評價指标的(de)結果。它♦ε 傳遞出的(de)信息和(hé)夏普率一(yī)緻，πσ↑且結果更加偏向于簡單多(duō)樣化(huà)策略 ™<™—— 如(rú)果考慮 CEQ 的(de)話(huà)，這(zhè)些(x‌™δiē)策略更難以戰勝簡單多(duō)樣化(huà)。

最後是(shì)換手率。下(xià)表中，1/N 那(nà)一(yī)行 γ∞→(xíng)的(de)結果是(shì)絕β₩₩π對(duì)的(de)換手率，其他(tā)策略的(d♠​→e)結果是(shì)相(xiàng)對(duì)于 1/N 策略的(de)✔‍相(xiàng)對(duì)換手率。首先↓✘ ，我們被僅僅基于樣本數(shù)據的(de) mv↑₹ 策略的(de)相(xiàng)對(duì)換手率震↔​驚了(le)。由于 mean-variance optimizat≤γσion 對(duì)輸入數(shù)據異常敏感，它經常求解出令人(ré☆☆♣$n)難以理(lǐ)解的(de)“最優權重”。由于馬科(kē)維茨的α×σ±(de)資産配置是(shì)單期配置，因此不(bù)同期之間(jiān)的£λ©∑(de)最優權重可(kě)能(néng)完全不(bù)同，這(zhè)導£δ緻了(le)非常不(bù)切實際的(de)巨大(©•dà)的(de)換手率。

其他(tā)幾種方法有(yǒu)效的(de→↕©™)降低(dī)了(le)換手率，特别是(shì)最後三種€©加上(shàng)做(zuò)空(kōng)限制(zhì)的(de∑≥∑∏)方法。它們直接把優化(huà)問(wèn)題✘£λ變成約束優化(huà)，從(cóng)根兒(ér)上(shàng)限制(z ♦↔₽hì)了(le)求解空(kōng)間(jiān)，使得(dγ←e)最優權重更加合理(lǐ)、不(bù)同期之間(jiān)的(de)最•←✘©優權重相(xiàng)對(duì)連續，有(yǒu)效的(de)降低($±δ<dī)了(le)換手率。即便如(rú)此，除了(le) vm 這(zhè)種方法‍λλ•是(shì) buy-and-hold  σ¥ 因此換手率為(wèi)零外(wài)，其他(tā)配置策略的(de)換手率均高α±β(gāo)于簡單多(duō)樣化(huà)。從(cóng)夏普率以及 CEQ 的(de)≈φ☆分(fēn)析可(kě)知(zhī)，複雜(zá)配置↔≈±φ策略并不(bù)能(néng)持續的(de)戰勝簡單多(duō<✔™σ)樣化(huà)；考慮到(dào)由此造成的↑↔σ(de)潛在更高(gāo)的(de)交易成本，它們和(hé)簡單多(↑♣σ₽duō)樣化(huà)比起來(lái)就(jiù)更難言有(yǒu)優勢了("‌∏÷le)。

實證結果有(yǒu)些(xiē)令人(rén)失望，因為∏♣(wèi)這(zhè)些(xiē)複雜(zá)配置方法都(dōu)不(bù™↕∏☆)能(néng)顯著戰勝簡單多(duō)樣化(huà)。為(wè$€Ω∑i)了(le)研究資産個(gè)數(shù) N、參數(shù©$)估計(jì)窗(chuāng)口長(cháng)↓ ♣∑度 M 對(duì) mean-variance 和(hé)λ₹∞♦ 1/N 方法的(de)影(yǐng)響，DeMiguel±☆  et al. (2009) 根據 Kan aλ∞§nd Zhou (2007) 的(de)思路&'≤©(lù)進行(xíng)了(le)理(l≠‍ǐ)論分(fēn)析。為(wèi)此，他(tā)們定義了(le) e≥∞₹xpected loss 函數(shù)：

其中 S^2(x*) 是(shì)未知(zhī)最優¥✘權重 x* 實現(xiàn)的(de)最優夏普率↑₽♠的(de)平方（也(yě)是(shì)未知(zhī)的(de)），而 S^¥₽≈‌2(\hat x) 是(shì)在給定權重下(xià)夏普率的(de)λγ平方。最優夏普率平方和(hé)實現(xiàn)"×β↔的(de)夏普率平方的(de)期望之間(jiān)差别就(jiù)是(shì≈$) expected loss。DeMiguel et al. (2009) 指出 mean-variancΩ¶ e 要(yào)想戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(d​✘e)前提條件(jiàn)是(shì) M 足夠大(dà)，以↓∑ 及 N 足夠小(xiǎo)。這(zhè)意味著(zhe)，當參數(shù)估計(jì)的(de)窗ε (chuāng)口很(hěn)大(dà)（從(cóngγσ) DeMiguel et al. 2009 ​Ω的(de)結果來(lái)看(kàn)，M 非常大(dà)，長($®cháng)過很(hěn)多(duō)實際中☆♦資産的(de)曆史數(shù)據）以及待配置的(de)資産數( ‍σshù)量較少(shǎo)時(shí)，基于 mean-var✘•π iance 的(de)配置方法才有(yǒu)希望戰勝簡單多→✘(duō)樣化(huà)。DeMiguel et al. (2009) 通(tōng☆λ)過蒙特卡洛仿真模拟收益率數(shù)據驗證了↓>♣(le)上(shàng)述觀點（下(xià)表）。

5 結語

又(yòu)到(dào)了(le)總結的× ∞(de)時(shí)間(jiān)了(le)。有(yǒu)必要(yào)強調的(de)是(sh‍σ≠ì)，本文(wén)和(hé) DeMiguel et¥φ↓₹ al. (2009) 都(dōu)沒有(yǒu)主張一(yī)定要(yào)用(yòng)簡單多(duō)樣化(€÷huà)進行(xíng)資産配置。如(rú)果對(duì)未來(lái)的(de)判斷很(hěn)準确，那™σ(nà)麽以此為(wèi)先驗是(shì € ♥)可(kě)以戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(de)，比如(rú)γ∏大(dà)名鼎鼎的(de) Black-Litterman 方法。<©←<另外(wài)，風(fēng)險平價也('×€✘yě)是(shì)一(yī)種資産配置方法，它也( &yě)是(shì)以準确的(de)主觀判斷為(wèi)前提的(®φ₹£de)（因為(wèi)需要(yào)構建夏普率相(xiàng≠×→)當、且相(xiàng)關性很(hěn)低(dΩ≈ī)的(de)不(bù)同大(dà)類資産，見(jiàn)《你(nǐ)真的(de)搞懂(dǒng)了(le)風(fēng)險平價嗎(m ☆∏☆a)？》）。但(dàn)是(shì)，對(duì)未來(lái)準确判斷談何®↕≠§容易？大(dà)部分(fēn)投資者擅長(cháng)的(de™•)僅僅是(shì)使用(yòng)曆史數(shù)據外( ★wài)推而已。

DeMiguel et al. (2009) 傳遞出↑←來(lái)的(de)兩個(gè)清晰的(deφγ )觀點是(shì)：

在投資中，資産配置是(shì)最核心的(de)≥¶ ↔問(wèn)題（沒有(yǒu)之一(yī)，相€✔λ©(xiàng)信很(hěn)多(duō)人(ré‌ n)會(huì)認同）。這(zhè)個(gè)問(wèn)題值得(de)我們持™™ 續的(de)探索。

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