股票(piào)多(duō)因子(zǐ)₩ε™模型的(de)回歸檢驗

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：收益率均值和(hé)因子(zǐ)暴露在截面上σα©←(shàng)的(de)關系就(jiù)是(shì)多(d<↑¶✘uō)因子(zǐ)模型研究的(de)問(wèn)題。本文(≤✘wén)討(tǎo)論一(yī)些(xiē)平時(shí)在使用(yòngδ★ε)多(duō)因子(zǐ)模型時(shí)遇到(d ×★♦ào)的(de)常見(jiàn)問(wèn)題，如(rú)截面回歸 vs 時(™'↔ shí)序回歸、使用(yòng) portfolio ♦₹∞↔returns 和(hé)宏觀經濟指标作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)✔£§有(yǒu)什(shén)麽不(bù)同、以及因子(zǐ)暴露應該如(rú)何ק确定等。

0 引言

這(zhè)是(shì)迄今為(wèi)止我寫的(de)最重要(yào)的(de)文(wén)章(zhāng)，沒‌ε有(yǒu)之一(yī)。

本文(wén)的(de)題目是(shì)股票(pi→÷ào)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗。說(shuō)它重要∞≈↕©(yào)，是(shì)因為(wèi)在多(duō≈€☆)因子(zǐ)模型被用(yòng)于資産定價（選股）越來(lái)越普及的★✘δ(de)今天，很(hěn)多(duō)人(rén)不(bù)一(yφ¥≠ī)定搞清楚了(le)多(duō)因子(z×™ǐ)模型中常見(jiàn)的(de)時(sh δ‌í)間(jiān)序列回歸、截面回歸之間(jiān)到(d®♦ào)底有(yǒu)什(shén)麽區(qū)别，以及它們÷÷£在本質上(shàng)又(yòu)是(shì)何其相(xiàng)似；不(φβbù)一(yī)定搞清楚在使用(yòng)多(duō)因子(zǐ)模型給資産定γ¥價時(shí)，需要(yào)關注的(de) stati₹♣stical tests 目标到(dào)底是(shì)什(shén)™₩σ£麽；不(bù)一(yī)定搞清楚在回歸殘差♣λ‌存在時(shí)序或截面相(xiàng)關性時(shí)，模型參數(×↓shù)的(de) standard error₩¶λφs 可(kě)能(néng)完全是(shì ↑¥ )不(bù)準确的(de)以至于給出錯(cuε© ò)誤的(de)推斷……

本文(wén)旨在討(tǎo)論一(yī)些(xiē≠♦∏↓)平時(shí)在使用(yòng)多(duō)因★₽"子(zǐ)模型時(shí)可(kě)能(néng)遇到(dào)的(de↔≥)各種困惑（比如(rú)什(shén)麽時(shí)候用(yòng±&φ)截面回歸、什(shén)麽時(shí)候用(yòng)時(s↕λhí)序回歸；使用(yòng) portfolio returns 作(zu÷§♠•ò)為(wèi)因子(zǐ)和(hé)其他(t©£ββā)比如(rú)宏觀經濟指标作(zuò)為(w€δèi)因子(zǐ)有(yǒu)什(shén)麽不(bù)同等）。由于篇幅有(♠↓☆yǒu)限，我會(huì)把寫作(zuò)重點放(fà↔↕×ng)在對(duì)核心概念的(de)解讀(dú)上(shàng)。此外('£λwài)，在本文(wén)中還(hái)會(hu↕"ì)涉及對(duì) Barra 模型的(de)一(yī)些(xiē)思©≠考。

文(wén)章(zhāng)的(de)最後一(yδδ♣ī)節将會(huì)安利寫作(zuò)時(shí)使用(yòng)的(d‍© e)主要(yào)參考文(wén)獻（下(xià)文(wén)中對(duì)•<于時(shí)序和(hé)截面回歸的(de)講解、以及對(duì) Fam λ÷a-MacBeth 回歸的(de)說(shuō)明(mínφ↑g)來(lái)自(zì) John Cochrane 的(de)經≤↕≠典教材 Asset Pricing 以及他(t∑φ✘ā)在芝加哥(gē)大(dà)學的(de)同名網∑→λ上(shàng)課程的(de)相(xiàng)關部分(fēn)），感♠∏ σ興趣的(de)小(xiǎo)夥伴在閱讀(dú)本文(wén<&π)後可(kě)以進一(yī)步參考。

1 多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗

多(duō)因子(zǐ)模型是(shì) Asset ♦₩₩Pricing（資産定價）的(de)一(yī)種常見(jiàn)方法•×（其他(tā)的(de)方法還(hái)包括©← consumption-based model 等）。一(yī)€♥個(gè)多(duō)因子(zǐ)模型（假設 K 個(gè)因♠×子(zǐ)）的(de)表達式如(rú)下(≥γ∏xià)：

其中 R_i 代表股票(piào) i 的(de)≠↔超額收益；β_i 為(wèi)股票(piào) i 的(de) K☆  ★ × 1 階因子(zǐ)暴露（factor exposure，也(yě)φ∏稱因子(zǐ)載荷 factor loading）向量；λ 為(γ♠wèi) K × 1 階因子(zǐ)收益率均值向量；E[.§₹ ] 為(wèi)數(shù)學求期望公式。≈∑§多(duō)因子(zǐ)模型檢驗的(de)核心問(w×↔èn)題是(shì)股票(piào)的(de)（超額）收益率期望在截面上(shàng)（即不(bù)同的(de)股票(piào)之間(jiān)）為(wèi)什(s€±↔hén)麽會(huì)有(yǒu)差異 —— 根據模型，如(rú)果一(yī)支股票(piào)∑≠在因子(zǐ)上(shàng)的(de)暴露（β_i）πΩ← 高(gāo)，則它的(de)期望收益（E[R_i]）也(yě)應該更高(gā✘ε±o)。

The central economic quε✔estion is why average returns vary across assets; expected returns of an asset should be high ‍←if that asset has hig↓≤σ✘h betas or risk exposure to factors that carry high risk premia.

雖然本文(wén)才剛開(kāi)始，不(bù₽✘‍Ω)過讓我們停一(yī)停，take a break。我 ¶$想再強調一(yī)下(xià)上(shàng)面這(zhè)句話(huà)↔♥<：多(duō)因子(zǐ)模型研究的(de)是(shì)個(gè₹÷∑)股收益率均值在截面上(shàng)（cross-sec♣∞₩tional）的(de)差異。我們不(bù)關心個(gè)股的(de)收益率 R_i 在時(shí)間(jiān)序列上(shàng)是(shì)如(rú)何随著(zhe)每期因子(zǐ♥"π)收益率來(lái)波動的(de)（這(zδ'>hè)是(shì) model of variance），我們隻關心 R_i 的(de)期望 E[R_i] 在截面上(shàng)和(hé)對(duì)應的(de) β_i 之間(jiān)的(de)關系（∏φ這(zhè)是(shì) model of th‍≠₽♥e mean）。我們選擇的(de)因子(zǐ)代表了(l₽ ↓e)收益率的(de)一(yī)種結構。一(yī)旦結構<♠給定後，個(gè)股（或者任何一(yī)個(gè)投資組合）的↔≠(de)預期收益率就(jiù)完全由它在這(zhè)些(xiē✔♣≥)因子(zǐ)上(shàng)的(de)暴露★β ∑決定了(le) —— 暴露高(gāo)，預期收益率就δ≠₩(jiù)高(gāo)；預期收益率是(shì)因子(z↑σ‌ǐ)暴露的(de)線性函數(shù)。怎樣找到(dào)最好(hǎo)的(de)因子(zǐλ ≠)結構 —— 即哪些(xiē)因子(zǐ)使得(de)個(gè≈™∏)股在截面上(shàng)的(de)預期收益率區(qū‍λ)分(fēn)度高(gāo) —— 就(j♠$iù)是(shì)因子(zǐ)模型研究的(de)問‍•Ω☆(wèn)題。

仍然晦澀？用(yòng)下(xià)面這(zhè)個(gè)圖解→∏"↕釋一(yī)下(xià)（因為(wèi)要(yào)做(zuò)圖，所以§©假設單因子(zǐ)，比如(rú) CAPM 模型¥↑）。下(xià)圖中橫坐(zuò)标為(wè ©♥i) β_i，縱坐(zuò)标為(wèi) E[R_i]，每個(gè)點代表一≠α(yī)支股票(piào)。根據因子(zǐ)模型，每∞€個(gè)股票(piào)的(de)預期收益率 E[R_i]§•π 和(hé) β_i 成正比。圖中這(zhè)條直線就(jiù)代表 E[✔γ✔★R_i] = β_i × λ，它的(de)≥★§↕斜率 λ 就(jiù)是(shì)因子(zǐ)的(de)預期收益。由于所←↔有(yǒu)的(de)股票(piào)收益率都"'✘(dōu)僅僅是(shì)樣本數(shù)據，因此即便 E[R_i] = β_™®​≥i × λ 完美(měi)滿足，在每個(gè)樣本內(nèi$λ♦)，E[R_i] 和(hé) β_i × λ 之間(jiān)也(yě)有(‌¥δyǒu)殘差，正如(rú)圖中的(de) α_i 所示$>"。

因為(wèi)一(yī)共有(yǒu) N 支股票(pi<≈★ào)，因此這(zhè)張圖中的(de)直線反映的(de)是(shì) N ¥♠'個(gè) E[R_i] 和(hé) N 個★©γ↑(gè)對(duì)應的(de) β_i 在截面上(shàng)≥∑ 的(de)關系 —— 正如(rú)前文(wéδ±n)反複強調的(de)，多(duō)因子(zǐ)模型反映的(de)是(sλ★δ<hì)收益率均值和(hé)因子(zǐ)暴露在截面上(shàng)的(de÷λ')關系。我們最熟悉的(de)因子(zǐ)模型無疑是(shì) CAPM，↔♣Ω它因為(wèi)隻有(yǒu)一(yī)個(gè)市(shì)場(chǎng≈₩​&)因子(zǐ)所以是(shì)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)一☆≈≠ (yī)個(gè)特例。人(rén)們最早的(de​")猜測是(shì)市(shì)場(chǎnδ∞<€g)因子(zǐ)的(de)收益率和(hé)£↑個(gè)股在該因子(zǐ)上(shàng)的(de) β 就(jiù)可(kσδ♣ě)以解釋截面上(shàng)不(bù)同股票(piào)收益率之間(ji‍ ān)的(de)區(qū)别。但(dàn)大(dà)量的(de)實證結果顯示×♦★>如(rú)果我們把個(gè)股的(de) E[R_i] 和(hé)它們針對(d≥££•uì)市(shì)場(chǎng)因子(zǐ)的(de) β_β∞✘☆i 畫(huà)出來(lái)，則實際的(de)斜率較∏δ±>模型的(de)結果來(lái)說(shuō)太小(xiǎo)了( ™le)，說(shuō)明(míng)僅僅用(y∏☆<òng)單一(yī)市(shì)場(chǎng)因子(zǐ)無法很(hěn)好™→(hǎo)的(de)解釋 E[R_i] 在截面上(shàng)的(d≤'≠≥e)差别。這(zhè)之後，Black、Jensen 以及 Scholes 提出了(le£γ®) Black CAPM，它在 CAPM 的(d♣✔e)基礎上(shàng)又(yòu)加入了(le)一(yī ≈₽)個(gè)因子(zǐ)，使得(de)這(zhè)個(σφ↔♦gè)雙因子(zǐ)模型更好(hǎo)的(de)解釋 E[R_i] 在§↑≠截面上(shàng)的(de)差别。再後來(lái)，Fama ©✔δ 和(hé) French 提出了(le)大γ>(dà)名鼎鼎的(de)三因子(zǐ)模型，它÷&♠÷在市(shì)場(chǎng)因子(zǐ)的(de)基礎上(sh∑$àng)加入 HML 和(hé) SMB 兩 €♦個(gè)因子(zǐ)。這(zhè)些(xiē)努力都(dōu)是π∞(shì)為(wèi)了(le)能(néng)夠更好(hǎo)的(de)解釋$β​我們在股票(piào)收益率數(shù)據中觀察到(dào)✘✔的(de) E[R_i] 在截面上(sh∞♦ε£àng)的(de)差别。

拿(ná)來(lái)一(yī)個(gè)多(σβ≤duō)因子(zǐ)模型，應該怎麽定量的(de∏€¥)評估它能(néng)否很(hěn)好(hǎo)的(de)解釋 E[R_i] Ω©•≤呢(ne)？我們應該關注三點：Estimate（估計(jì)）、Standard Errors（标準誤）、以及 Test（檢驗），見(jiàn)下(xià)表。

對(duì)于截面關系式 E[R_i] = β_i’λ +∏δ> α_i，我們使用(yòng)回歸分(fēn)析（既可(kě)以通(tōn§✔Ω§g)過時(shí)序回歸、也(yě)可(kě)以是(shì)截面回歸，後₩'<面會(huì)具體(tǐ)講）确定參數(shù) α、β、λ 的(deβ₩)估計(jì)值和(hé)标準誤。隻有(yǒu)有(yǒu)了(le)準确的(de)（無偏且相(<εσxiàng)合）估計(jì)值和(hé)正确的€♥(de)标準誤，才能(néng)評價因子(zǐ)是(shì)否有(yǒu) §¥效（比如(rú)正确計(jì)算(suàn)因子(zǐ)收益率 λ 的(de)£β∏置信區(qū)間(jiān)，從(cóng)而判Ωβ斷這(zhè)個(gè)因子(zǐ)是(shì)否® ↑&有(yǒu)風(fēng)險溢價）。下(xià)文(∑‌wén)會(huì)談到(dào)，由于殘差 α 在截面以及時(shí)序（∞♥特别是(shì)截面）上(shàng)有(yǒu≈σ★♥)相(xiàng)關性，因此在标準誤的(de)計(jì)算(suàn) "&上(shàng)必須格外(wài)小(xiπ&σǎo)心。在上(shàng)述截面關系式中，α_i 代表了(le)個$≤♥©(gè)股 i 的(de)定價錯(cuò)誤（pricing error）。如(rú)果我們能(néng)夠在統計(jì)上(shàng)證明(míng →φ)所有(yǒu)股票(piào)的(de) α_i 都(£±§>dōu)很(hěn)接近(jìn)零，那( ✘☆nà)麽這(zhè)個(gè)多(duō)因子(zǐ)模型就(j> ≥iù)是(shì)很(hěn)好(hǎo)的(de)模型 —— ™δ←這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)能(néng)夠較好 ÷ (hǎo)的(de)解釋個(gè)股截面預期收益率的(de)差®♠₽别。因此，多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗中的(¥→de)重中之重、也(yě)是(shì)我們唯一(yī)關注的(de) test，就(jiù)是(shì)所↓♣γ$有(yǒu)這(zhè)些(xiē) α_i 聯合₩★€>起來(lái)是(shì)否在統計(jì)上(shàng)足夠接近(jì$<n)零。

We want to know whether all the prici<←ng errors are jointly equal to zero.

根據上(shàng)述說(shuō)明(míng)，多(d‍ ≠uō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗可(kě)以$±¶簡單總結成以下(xià)幾點：

無論我們用(yòng)什(shén)麽因子(zǐ)（基本面因子(zǐ)、宏‍₩觀經濟因子(zǐ)、技(jì)術(shù)面因子(zǐ)）；無論在确定截面關系♦€→®時(shí)我們采用(yòng)時(shí)序回歸還(hái)是(shì φα)截面回歸；對(duì)多(duō)因子(zǐ)®↔✘ 模型的(de)最終評判都(dōu)轉化(hε uà)成一(yī)個(gè)核心問(wèn)題 —— 這(zhè)些(xi♠←♦ ē) α_i 聯合起來(lái)是(shì)否在統計(jì)上®α₽(shàng)為(wèi)零。下(xià)面先來(lái)看(kàn)看(kàn)如(rú)∑™β×何通(tōng)過時(shí)間(jiān)序列♠π回歸找到(dào)截面關系。

2 時(shí)間(jiān)序列回歸

如(rú)果模型中的(de)因子(zǐ)是(shì) portfolio returns（即使用(yòng​♠)投資組合收益率作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)），那(nà)麽可(kě)以通(tōng)過時(shí)間(jiān)序列回歸（time-series regres•®♥sion）來(lái)分(fēn)析 E[R_i] 和(hé) β_i 在截面✔ "上(shàng)的(de)關系。例如(rú)，Fama and French★® (1993) 提出了(le)影(yǐng)響深遠(yε≤uǎn)的(de)三因子(zǐ)模型，它裡(lǐ)面的(de)三≤‌' 個(gè)因子(zǐ)，即市(shì)場(chǎng)、HML、SMB 都(d<•€ōu)是(shì)投資組合的(de)收益率。其中 HM★←λL 和(hé) SMB 是(shì)通(tōng)過 B∏"♦P 和(hé)市(shì)值将股票(piào)排序然後做(zuò)多(d&✔βuō)一(yī)部分(fēn)并同時(shí)做(zuò)空(k Ω↕¶ōng)一(yī)部分(fēn)來(lái)構•φ建的(de)投資組合。以 HML 為(w>λ©‍èi)例，它代表著(zhe) high book-to-mar★↓β ket ratio 公司相(xiàng)對(duì)于 low b↕βook-to-market ratio 公司的(de)超額收≥π↑≈益。該因子(zǐ)叫做(zuò) HML 因子(zǐ)而∑‍ 非 BP 因子(zǐ)，其意義也(yě)是(s¶ ¶hì)強調因子(zǐ)本身(shēn)是(shì)一(yī)個(gèλ≥←λ)投資組合的(de)收益率，而非 BP。Fama 和(hé) French 用 ↔® (yòng)這(zhè)三個(gè)投資組合的(de)收益率來(lái)解釋個♦™¶(gè)股或者其他(tā)投資組合在截面上(shàng)的(de)收益率。順便≠↕£提一(yī)句，關于三因子(zǐ)模型的(de)×↔ 重要(yào)性以及其作(zuò)用(yòng)，Fama and Fr± ench (1996) 給出了(le)非常詳盡的(de)解讀(dú)∞≤☆，非常值得(de)一(yī)讀(dú)。

令 f_t 表示 t 期因子(zǐ)向量（不(βγbù)同投資組合的(de)收益率）；使用(yòng) f_t 對(duì♣₩ )每支個(gè)股 i 的(de)收益率 R_it 做‍'(zuò)時(shí)間(jiān)序列≤γ≠回歸：

上(shàng)述時(shí)間(jiān)序列回歸中，回歸方©♠程右側的(de) regressors 是(shì)因子(zǐ↑λ)收益率 f_t，左側的(de)變量是(shì) R_itε×✘，回歸得(de)到(dào)的(de)系數&Ω☆δ(shù)是(shì)個(gè)股 i 在因子(zǐ)上(shàng)的( ® ‌de)暴露 β_i，截距 α_i，以及随機♦₽↑(jī)的(de)殘差 ε_it。将上(shàng)述時(shí)間(jiān)序列回歸結果在時(sh¶£í)序上(shàng)取均值可(kě)得(•§de)（下(xià)式中 E_T[.] 中下(xià)标 T π≠表示在時(shí)序上(shàng)取均☆‍ 值）：

上(shàng)式正是(shì)個(gè∏♥→∑)股期望收益率和(hé)因子(zǐ)暴露在截面上(sφ↑hàng)的(de)關系式。當因子(zǐ)本身(shēn)是(shì)投資組合時(shí)，₹σ™我們隻需要(yào)在時(shí)序上(sβαδhàng)做(zuò)回歸得(de)到(dào)因子(zǐ)暴露和(hé)截距。雖然隻做(zuò)了(le)時(shí)序回歸，但(dàn)是(shì)通(tōng)過在時(shí)序上(shàng)取均值就(jiù)可σ₹(kě)以從(cóng)時(shí)序回歸中得(de)出 E[R_i]β₽ 和(hé) β_i 在截面上(shàng)的(de)關系。比較上(shàng)面兩個(gè)關系式不(bù)難發現(xiàn)∏>✘，時(shí)間(jiān)序列回歸中的(de)截距 α_i ♦≥₽恰恰就(jiù)是(shì)截面關系式中的(de)個(gè)股 i₹∑∑≤ 的(de)定價錯(cuò)誤。Black, Jensen and Schπσoles (1972) 基于如(rú)上(shàng)的(de)論述給出了(∑'<le)時(shí)序回歸法中求解因子(zǐ)預期收‍♠♣✔益率的(de)簡單方法 —— 因子(zǐ)收益率 f_t 在時(shí)序上(sh§↔Ωαàng)的(de)均值就(jiù)是(shì•™)因子(zǐ)的(de)預期收益率：

下(xià)面仍然以單因子(zǐ)這(zhè)σ π種最簡單的(de)情況來(lái)畫(huà)♠σ☆圖看(kàn)看(kàn)通(tōng)過上(shàng)述÷σ ‌時(shí)間(jiān)序列回歸得(de)到(dào)的(de)預期收益率←÷λ₩和(hé) β_i 的(de)截面關系長(₽Ω↕cháng)什(shén)麽樣子(zǐ)。圖中的(d↔↑π>e)紅(hóng)色直線為(wèi) E[R_i] = β∏±≤≠_iE[f]：當 β_i = 0 時(shí)，E[R_i] = 0；♠↕₩此外(wài)，如(rú)果我們用(yòng)該模型解 <釋因子(zǐ)投資組合自(zì)己（即将引資組合視(shì ≠≤©)作(zuò)一(yī)個(gè)投資品放(fàng£§λ♠)在截面關系式的(de)左側），由于因子(zǐ)組合的(de"§) β_i = 1 有(yǒu) E[f] = 0♠♥★↑ + 1 × E[f]。以上(shàng)論述說(shuō)明(míng) ΩΩ時(shí)間(jiān)序列回歸得(de)到(dào)的(de) E[↔‍​↔R_i] = β_iE[f] 這(zhè)條直線一(yī)定會(h>׶‍uì)經過 (0, 0) 和(hé) (1, E[f]) 兩點。

圖中所有(yǒu)藍(lán)黑(hēi)色的 ‍(de)點代表著(zhe)個(gè)股；紅(hóng)色的(de)點 ←✘代表著(zhe)因子(zǐ)投資組合。時(shí)間(jiā↓ n)回歸再按時(shí)間(jiān)求均值而得Ω♦(de)到(dào)的(de)因子(zǐ)模型 E[R_i] = β_i↔ E[f] 就(jiù)是(shì)經過原點和(hé)紅(hα✔óng)點的(de)那(nà)條紅(hóng)色直線。所有(yǒu)藍(lán)黑(hēi)色點（個(g¶<↕™è)股）到(dào)這(zhè)條紅(hóng)線的(dπλe)距離(lí)就(jiù)是(shì)個(gè)股的(↓↓←de)定價錯(cuò)誤 α_i，這(zhè)條時(shí)序回歸得(de)到(dào)的(de)直線并不(bù∑↑)是(shì)以最小(xiǎo)化(hu≥♦>à) α_i 的(de)平方和(hé)為(wèi)目的(de)求→↕α"出的(de)，這(zhè)是(shì)時(shí)序回歸和(hé)下(‍₩xià)一(yī)節要(yào)介紹的(de)截面回歸的φ♦  (de)最大(dà)差别（截面回歸是(shì)以最小(x±₽iǎo)化(huà) α_i 的(de)平方和"&≤(hé)為(wèi)目标的(de)）。得(de)到(dào)了(le)回歸模型的(≠φde)參數(shù)，下(xià)一(yī)步就(j♥'iù)是(shì)計(jì)算(suàn)各種參$©β☆數(shù)的(de)标準誤、以及檢驗我們唯₹ π一(yī)關注的(de)問(wèn)題：所∏₽有(yǒu)股票(piào)的(de)錯(cuò)誤定價 α_i 聯合起 ∞來(lái)是(shì)否在統計(jì)上(shàng)為(wè​∞↕i)零。

在時(shí)間(jiān)序列回歸殘差 ε_•β×it 不(bù)相(xiàng)關且方差相✘ε(xiàng)同（homoskedastic）時(shí)，時(sh✘€←í)序回歸參數(shù)的(de)标準誤可(kě)以由 OLβ S（ordinary least square）的(de)标準公式給出。₽∑此外(wài)，如(rú)果 ε_it 滿足 IID Nor↑π®→mal，Gibbons, Ross and Shan♥​→ken (1989) 給出了(le) α_i 的(de)檢驗統計(jì)量≥♣γ（又(yòu)稱為(wèi) GRS test statistic）：

然而，一(yī)旦 ε_it 之間(jiān ∞φ)存在相(xiàng)關性或者異方差性，α←>£傳統 OLS 的(de)标準誤公式就(jiù)是(shì)錯(cuòβ≠)誤的(de)，且上(shàng)述 α_i 的(de)檢驗統計(jìφ£')量也(yě)是(shì)有(yǒu)問(wèn)題的(de)。↔≥§ε在這(zhè)種情況下(xià)，就(jiù±")要(yào)請(qǐng)出大(dà)殺器(qì) Generalized ♥$Method of Moments（GMM）。它由 Lars Pet &ασer Hansen 于 1982 年(nián)提出（Hansen≤∑ 1982），GMM 可(kě)以解決 OLS 中殘差的(de)相(xiàng♣∞™©)關性和(hé)異方差性的(de)問(wèn)題，得(de)到(dào)準确←↓‍•的(de)估計(jì)以及标準誤。GMM 是(shì) Hansen 于₩'Ω↕ 2013 獲得(de)諾貝爾經濟學獎的(de)原""δ因之一(yī)，足見(jiàn)其在計(jì)量經濟學中的(de)重π∏要(yào)性。具體(tǐ)如(rú)何使用(yòng) GMM≥₩ 超出本文(wén)的(de)範疇，感興趣的(de)讀(dú®∞​)者可(kě)以參考本文(wén)最後一(yī)節安利的(de)參考文(™€™wén)獻。以上(shàng)就(jiù)是(shì)通(tōng)過時(sh<≥í)間(jiān)序列回歸得(de)到(dào)多(duō)因子(zǐ)←↑♣模型的(de)過程。最重要(yào)的(de)三點總結如(rú)下(xià)：♦≈♠§

3 截面回歸

下(xià)面來(lái)看(kàn)看(k♣π✔✘àn)截面回歸（cross-sectional regres♥±sion）。截面回歸的(de)最大(dà)好(hǎo)處是(shì)，因子(z  ǐ)可(kě)以不(bù)是(shì) portfolio ★±↕≠returns。比如(rú)因子(zǐ)可(kě)以是(shì) GDP、CPI、利率這↓Ω₹¶(zhè)些(xiē)宏觀經濟指标。顯然，它們的(de)πλ★因子(zǐ)取值不(bù)是(shì)收益率，因子(zǐ)收益率 ₽​×需要(yào)通(tōng)過截面回歸得(de)到(dào)。但 $β¶(dàn)是(shì)在那(nà)之前，我們必須先通(®¶§tōng)過時(shí)間(jiān)序列回歸得(de)到(dào)個(gè®÷₹​)股在不(bù)同因子(zǐ)上(shàng)的(de)暴露。因此，截面回歸的(de)第一(yī)步仍然是(shì)時(shí)序回歸，以 &确定因子(zǐ)暴露。有(yǒu)的(de)小(xiǎo)夥伴可(kě)能(néng∑↕ε≈)會(huì)問(wèn)，那(nà)些(xiē)因®α子(zǐ)取值（比如(rú) GDP 的(de)取值、CP♦ ₹©I 的(de)取值）不(bù)能(néng)直接當作(zuò) β_i ‍ 嗎(ma)？答(dá)案是(shì)否←'定的(de)。首先這(zhè)沒有(yǒu)意義，因為(wèi)時 ↑ (shí)序上(shàng)我們關注的(de)是(shì)​↑這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)的(de)變化(huà)對(duì)₩§≠↑個(gè)股收益率變化(huà)的(de)解§< ‍釋程度（model of variance），這(z§✘★hè)由個(gè)股收益率對(duì)這(zh♠βφ​è)些(xiē)因子(zǐ)的(de)敏感程度，即時(shí)序回歸的(de)系數(s​αhù) β_i，而非因子(zǐ)本身(shēn)的(de)大(dà)小↕ ¶(xiǎo)決定。第二，行(xíng)業(y♦♠‌è)不(bù)同、基本面存在差異的(de)公司受宏觀經濟的(de≤✔)影(yǐng)響也(yě)不(bù)同，因此它λ¥♥們在同樣宏觀經濟指标上(shàng)的(d€€<€e)暴露勢必不(bù)同。

一(yī)般的(de)，假設因子(zǐ)'↑÷不(bù)是(shì) portfolio retu"£₩≤rns，首先進行(xíng)時(shí)序€∏回歸确定 β_i：

上(shàng)式和(hé)前一(yī)節時(shí)序回歸中的(de)表達式₹π ♥幾乎一(yī)樣，唯一(yī)的(de)α↔¥•例外(wài)是(shì)這(zhè)裡(lǐ)的(de)截距項我特意用(yò$↓✔ng)了(le) a_i，而非 α_i，這(zhè™★)是(shì)因為(wèi)如(rú)果因子(zǐ)‌‌×≈本身(shēn)不(bù)是(shì)投資組合收益率，則該截距并不(bùβ ↓≈)是(shì)稍後我們通(tōng)過截面回歸得(de)到(dào)的(÷↓≤de)個(gè)股的(de)定價錯(cuò)誤。得(de)到(dào) β_i 後，進行¶☆λ(xíng)第二步 —— 截面回歸，從(cóng)而确定每個(gè)因子(zǐ)的(de)預★©期收益率。在截面回歸時(shí)，回歸表達式的(de)右側 ×♦↔ regressors 是(shì) β≈δ_i，左側是(shì)個(gè)股 T 期收益率均值 E_>♦T[R_i]。因此，截面回歸的(de)表達式為(wèi)：↔™©Ω

回歸的(de)目标是(shì)找到(dà∑®γo)因子(zǐ)預期收益率 λ，和(hé)代表股票(piào)定價錯(<€↑cuò)誤的(de)殘差 α_i。仍以單因子(zǐ)為δ&≈(wèi)例說(shuō)明(míng)通(tōn>φαg)過截面回歸得(de)到(dào)的(de)個(gè)<♣∑股收益率均值和(hé)因子(zǐ)暴露的(de)☆$關系（下(xià)圖）。假設在截面回歸時(shí)♣σ采用(yòng) OLS。此外(wài)，定價理✔€'β(lǐ)論暗(àn)示除 α_i 之外(wài)&δ，截面收益率均值應該僅由 β_i 決定，因此一(yī)般來(lái)說(shuō)截面回歸沒有(y±<≈ ǒu)截距項（當然我們也(yě)可(kě)以加上(shàng)）。在這(zh₹±è)樣的(de)假定下(xià)，截面回歸 OLS 将通(tōng)過原點并最小(xi∞≈↑ǎo)化(huà)所有(yǒu)個(gè)股殘差 α_i"→₩ε 的(de)平方和(hé)。

當殘差 α_i 滿足 IID 時(shí)，♥₹€回歸測試的(de) estimate、standard erro₩σ¶rs、以及我們關注的(de) α_i 的(de)檢驗分(fēnπ'±®)别為(wèi)：

雖然上(shàng)面給出了(le) OLS 截面回歸±σ₽∞下(xià)各種關注變量的(de)表達式，但(dàn)不(bù)幸的 ←Ω(de)是(shì)，這(zhè)并沒有(yǒu) ♦©☆太多(duō)用(yòng)。這(zhè)是(shì)因為(wèi)在截面上(shàng)個(gè)股的(de)殘差存在明(míng)顯的(de✔‌)相(xiàng)關性。這(zhè)種相(xiàng)關性雖然不(bù)會(huì)影(yǐng)響 →¶OLS 的(de)估計(jì)，但(dàα∞&←n)是(shì)會(huì)使 OLS β¥給出的(de)标準誤存在巨大(dà)的(de)誤差（低(dī)估）' φ©。為(wèi)此，可(kě)以使用(yò®™☆ng) GLS（generalized least squares）取代 OLS。GLS 考慮了(le)殘差的(de)協方差因此可(kě)以得∑✘(de)到(dào)準确的(de)标準誤。但(dàn)是(shì)，由于必須估計(j×εì)殘差的(de)協方差矩陣，在現(xiàn)實中使用(yòng) G↔↕≤LS 存在巨大(dà)的(de)障礙。如(rú)果有(yǒu)上(shàng)千支股票(piào)，那(nà)↓&‍δ麽協方差矩陣中有(yǒu)太多(duō)的(deλ♥)參數(shù)需要(yào)估計(jì↔±)，不(bù)切實際。

怎麽辦呢(ne)？再次請(qǐng)出大(dà)殺器(qì÷​) —— GMM，它可(kě)以輕松的(de)求出我們需要(yào)的(×β✔de)各種量（Hansen 功不(bù)可(✘★♠↕kě)沒啊）。另外(wài)值得(de)一(yī)提的(de)∑♥是(shì)，在截面回歸時(shí)用(yòng)到(dào)的(d≠★‌e) β_i 并不(bù)是(shì)已知(zhī)、真實的(de)，而"ε☆是(shì)從(cóng)時(shí)間(j¥&φ‌iān)序列回歸得(de)出的(de)估計(j₽αì)值，它們稱為(wèi) generated regressor♥εΩs，存在誤差。Shanken (1992) 給出了(le)解決€ ®₩該問(wèn)題的(de)修正方法，稱為(wèi) Shanken cor↕β≤rection。利用(yòng) Sha¶₽nken correction 和(hé) G↔λMM，就(jiù)可(kě)以檢驗 α_i 是(shì)否為(wèi£✘)零了(le)。好(hǎo)了(le)，又(yòu)到(dào)了(le)我們小£γ✔(xiǎo)結的(de)時(shí)候了(le)：×α

4 時(shí)序回歸 vs 截面回歸

前面兩節分(fēn)别介紹了(le)時(shí)序回歸和(hé)截面™σ<₽回歸。有(yǒu)意思的(de)一(yī)點是(shγ¶λβì)，當因子(zǐ)是(shì)投資組合時(shí)，我們既可(kě)‍™以使用(yòng)時(shí)序回歸又(y♦πβòu)可(kě)以使用(yòng)截面回↓×歸。那(nà)麽它們二者的(de)區(qū)别是(shì)什(shén)麽呢(∑♥φne)？下(xià)圖以單因子(zǐ)為(wèi)例，直觀的α'(de)比較了(le)二者的(de)區(qū)别。在時(sh→α©í)序回歸中，我們僅僅在時(shí)序上(♠♦♣shàng)對(duì)每支個(gè)股做(zuò​π)一(yī)次回歸，然後通(tōng)過在在時(shí)序上(shà&≥ ≠ng)取均值（E_T[.]）來(lái)得(de)到(dào)隐含≠£"的(de)截面關系，因此時(shí)序回歸的(de) E[R_i] = β_iδ✘₹÷λ 必然經過原點和(hé)作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)<δ投資組合的(de)平均收益率所對(duì)應的(de)點 (1, E_☆★βT[f])。反觀截面回歸，它利用(yòng)時(s αhí)序回歸得(de)到(dào)的(de) ε ✔ β_i 和(hé)股票(piào)在時(shí)序上(shàng)的✔ ₹♥(de)均值 E[R_i] 進行(xíng)了(le)第二次回歸。以 OL↑§S 為(wèi)例，這(zhè)個(gè)截面回歸将要"→≠β(yào)最小(xiǎo)化(huà)所有(yǒu)個(gè)股殘差 α_i >♠的(de)平方和(hé)。

和(hé)時(shí)序回歸得(de)到(≥ ←dào)的(de)最終 E[R_i] = β_iλ  •δ♥關系式相(xiàng)比，截面回歸利用(yòng)了(le)←↕所有(yǒu)個(gè)股的(de)數(shù)據。從(cóng)某↓ε☆ 種意義上(shàng)來(lái)說(shuō)，£→>←這(zhè)更合理(lǐ)。對(duì)于時(s☆♥βhí)序回歸，因子(zǐ)的(de)平均收益率就(j᧥iù)是(shì)該因子(zǐ)組合在 ↔©<÷T 期收益率上(shàng)的(de)均值：λ = E•<<_T[f]。而對(duì)于截面回歸來(lái)說(shuō)，因子(©∏zǐ)收益率通(tōng)過 OLS 或 GLS $ε确定，取值和(hé) E_T[f] 不(bù)同。這(zhè)是(shì)∏∞二者最大(dà)的(de)區(qū)别。此外(wài)，當多(duō)個(gè)因子(zǐ)同時(s​λ  hí)進行(xíng)截面回歸時(shí)，根據 Barra 純因∞£✔✔子(zǐ)模型的(de)理(lǐ)論，得(d σ£♦e)到(dào)的(de)因子(zǐ)收益率是(shì)∏×純因子(zǐ)組合的(de)收益率 —— 即截面回歸後得₹×$<(de)到(dào)的(de)因子(zǐ)組合中個(gè)股的(de)權重與•±最初構建因子(zǐ)時(shí)使用(yòng)≥  ←的(de)個(gè)股權重會(huì)有(y€§ ↓ǒu)所不(bù)同。純因子(zǐ)組合較其他(¶¶®♣tā)因子(zǐ)組合有(yǒu)一(yī)定的(de)優勢™≤，這(zhè)有(yǒu)助于更好(hǎo)£±的(de)評判因子(zǐ)的(de)風(fēng)險溢✘↓♣‌價。

時(shí)序回歸和(hé)截面回歸有(yǒu)時(sh§‌♣í)也(yě)被同時(shí)使用(yòng)來(lái)檢驗模Ω÷↕×型（選擇的(de)因子(zǐ)）是(shì)否有∏↔‍§(yǒu)意義。考慮下(xià)面這(zhè)個(gè)例子(zǐ)。假如(δ♦‌βrú)我們選了(le)一(yī)個(gè)因子(zǐ)，E[R_i] 和Ωε (hé) β_i 在截面上(shàng)的(de)關↕ 系如(rú)圖中那(nà)些(xiē)藍(lán)黑(hēi)色圓點表示。如π'<(rú)果我們進行(xíng)時(shí)序回歸（圖中紅(hóng)線），¥δ會(huì)得(de)到(dào)一(yī)個(gèφ↕★)正的(de)因子(zǐ)預期收益率；而如(rú)果我們進行(xβ≤γγíng)帶有(yǒu)截距項 γ 的(de)截面回歸，即 E[R_i] = γ + β_i☆‌λ + α_i，則會(huì)得(de)到(dào)完全不(bù)同的(dφ∞e)結果（圖中藍(lán)線）：負的(de)因子(zǐ)預期& ​收益率。兩個(gè)模型的(de)背離(lí)說(∏ ‍δshuō)明(míng)因子(zǐ)的(de)選擇有(yǒu)問↔↑(wèn)題，需要(yào)進一(yī)步考察。

5 Fama-MacBeth 回歸

1973 年(nián)，Fama 和(hé) MacBet☆≠h 提出了(le) Fama-MacBeth Regression（F♠ ₩ama and MacBeth 1973），目的(¶β♦de)是(shì)為(wèi)了(le) ε‌檢驗 CAPM。Fama-MacBeth 也(yě)是(shì)一(yī↑€")個(gè)兩步截面回歸檢驗方法；它非常巧妙排除了(le)殘差在截面上(shàng)的(de)相(xiàng)關∞≤≈性對(duì)标準誤的(de)影(yǐn¥Ωg)響，在業(yè)界被廣泛使用(yòng)。這&">✔(zhè)篇文(wén)章(zhāng)也(yě)是(shì)計(jì)量經濟±≥學領域被引用(yòng)量最高(gāo)的(de)™π★€文(wén)章(zhāng)之一(yī)。★☆✔¥Fama-MacBeth 回歸的(de)第一(yī)步仍然是♥ΩΩε(shì)通(tōng)過時(shí)間(ji∏↓ān)序列回歸得(de)到(dào)個(gè)®<‍股收益率在因子(zǐ)上(shàng)的(de)暴露 β_i，這(zhδ€☆è)一(yī)步和(hé)本文(wén)第三節截面回歸中的(de) ​ γ第一(yī)步一(yī)緻。在第二步截面回歸中，Fama-MacBeth 在每個(gè)時(shí)間(jiān) t 上(shàng)進行(xíng)了(le)一(yī)次截>β ™面回歸，這(zhè)是(shì) Fama-MachB ♣eth 和(hé)上(shàng)面的(de)截面回↑≥≥↕歸最大(dà)的(de)不(bù)同：

比較一(yī)下(xià)上(shàng)¥§式和(hé)本文(wén)第三節截面回歸中的(de)表達式。在↓εαα一(yī)般的(de)截面回歸中，我們首先在時(shí)序上(s¶&hàng)對(duì) R_it, t =   1, 2,…,T 取均值，得(de)到(dào)個(gè)股π¶↓的(de)平均收益率 E[R_i]。之後用(yò®♥₹πng) E[R_i] 和(hé) β_i, i = 1, 2,↕>γ® …, N 在截面上(shàng)做(zuò)回歸，因此這(zhè‍£)裡(lǐ)隻做(zuò)了(le)一(yī×±)次截面回歸。而 Fama-MacBeth 截面回歸時(shí)在每個(g>♠•εè) t 做(zuò)一(yī)次獨立的(de)截面回歸♦‌（如(rú)果有(yǒu) T = 500↓§±÷ 期數(shù)據，這(zhè)就(jiù)意味著(zhe)進行(xíng) ♥§500 次截面回歸），然後把這(zhè) T 次截面回歸得(de)到(dào)'±★×的(de)參數(shù)取均值作(zuò)為✔±$£(wèi)回歸的(de) estimate：

上(shàng)述方法的(de)巧妙之處在于它把 σ"<T 期的(de)回歸結果當作(zuò) T 個§±(gè)獨立的(de)樣本。參數(shù)的(de)standard errors 刻畫(huà <☆Ω)的(de)是(shì)樣本統計(jì)量在不(bù)同樣本間(jiān)π÷是(shì)如(rú)何變化(huà)的(de)。∏φ→在傳統的(de)截面回歸中，我們隻進行(↔≈₽∑xíng)一(yī)次回歸，得(de)到(dào) λ 和(hé) α 的(d¶₩≠←e)一(yī)個(gè)樣本估計(jì)。而在 Fama'♣♦∞-MacBeth 截面回歸中，我們把T期樣本點獨立εα₽處理(lǐ)，得(de)到(dào) T 個(♦‌gè) λ 和(hé) α 的(de)樣本估計(jì)。由此×φ"♦便能(néng)很(hěn)容易且正确的(de)求出 λ ÷£↓<和(hé) α 的(de)标準誤：

此外(wài)，通(tōng)過 T 個(gè) α  的(de)估計"↑±​(jì)值，很(hěn)容易求出殘差的(de)協方差矩陣并β≤由此檢驗個(gè)股的(de)定價錯(cuò)誤是€≈Ω€(shì)否聯合為(wèi)零。從(cóng)上(s±₽‍hàng)面的(de)描述不(bù)難看(kàn)出，Faα∞₽→ma-MacBeth 截面回歸和(hé)傳統截面回歸的(de)區(qū)别是(→∏¥≤shì)：

所以簡單來(lái)說(shuō)，Fama-MacBeth 先回歸再均值；而傳統截面回歸先均值再回歸。當截面回歸中的(de) regressor，即 β_i≠α，在所有(yǒu) T 期上(shàng)不‌​↓‌(bù)變時(shí)，上(shàng)述兩種截面回歸得(de)到•♥πα(dào)的(de) estimate 是(shì)一(→∑yī)緻的(de)（Fama-MacBeth 在處理(lǐ)殘差的(de)截面←¶∏↕相(xiàng)關性上(shàng)仍然有(yǒu)優勢）。在 Fama and MacBeth (1973) 中，作(zuλ≤€≈ò)者在時(shí)序回歸求解 β_i 時(s→ hí)采用(yòng)了(le)滾動窗(chuāng)口，因此 β_i ✘↓₩在不(bù)同的(de) t 是(shì)會(huì)♥×♠₩發生(shēng)變化(huà)的(de)。如(rú)果我們用(yòng)所有€♣®∑(yǒu)樣本數(shù)據來(lái)一(yī)次估計(jì) β_i✔≥，那(nà)麽它們在所有(yǒu) T 期的(de)取值相(↑↑xiàng)同。

由上(shàng)面的(de)介紹可(kě)知(zhī)，F₽↔ama-MacBeth 回歸的(de)最大(dà)優點是(shì)它排除' ₩ 了(le)殘差截面相(xiàng)關性對(duì)标準誤的(de)§∏δ 影(yǐng)響。股票(piào)的(de)​↔γ×殘差收益率在截面上(shàng)具有(yǒu)很(hěn)高(♠₹gāo)的(de)相(xiàng)關性，因此該修正對(duì)于準确α‍  計(jì)算(suàn)标準誤至關重要(✘↕∞yào)。下(xià)面來(lái)說(shuō)說(shuō)它的(←✘de)不(bù)足。首先，Fama-MacBeth 回歸對(duì)于殘差在時(shí)序上(s↓↓αhàng)的(de)相(xiàng)關性無能₩≠₹(néng)為(wèi)力。如(rú)果殘差在時(shí)序上(shàng← )存在相(xiàng)關性，則需要(yào)對(duì)Fama-M'$≤acBeth 回歸得(de)到(dào)的(₽✔↔αde)标準誤進一(yī)步修正。Peter£→↓sen (2009) 分(fēn)析了(le)不(bù)同的(de)回≤πε‌歸技(jì)術(shù)在分(fēn)析面闆數(shù)據（pane↓£l data）時(shí)由于忽略殘差的(de)時(shí)序或截面相(x✔'‌φiàng)關性而導緻不(bù)準确的(de"α≤)标準誤（低(dī)估了(le)其真實值）。這(zhè)篇文(φεwén)章(zhāng)非常值得(de)♦&>α一(yī)讀(dú)。其次，上(shànβ• ≥g)文(wén)提到(dào)，在截面回歸中用(yòng)到(dào)±α'的(de) β_i 并不(bù)是(shì)已知(zhī)的(de ​)，而是(shì)通(tōng)過時(shí)間(jiān)序£Ω♥‍列得(de)到(dào)的(de)估計(jì)值（§ β↔generated regressors≤β&←），因此存在誤差。Fama-MacBeth 回歸對(duì)此也(Ω§★'yě)無能(néng)為(wèi)力，需要(yào)♠→ Shanken correction。☆©→

如(rú)今我們有(yǒu)了(le) GMM 這(zhè)♣→§樣的(de)大(dà)殺器(qì)，能(nγ♠∏éng)夠方便的(de)處理(lǐ)殘差的(de)各種相(xiàng)關性。但Ωδ↔(dàn)不(bù)要(yào)忘記，Fama-MacBeth 回歸比 GM""≈£M 早提出了(le)近(jìn) 10 年(nián)！★‌∞在沒有(yǒu) GMM 或其他(tā)更先進方法的(de)年(n↔★ián)代，Fama-MacBeth 回歸通(tōng)過在截面回→"歸時(shí)“先回歸、再均值”的(de)思路(lù)巧妙的∞®(de)排除了(le)殘差截面相(xiàng)關性的(de)影(yǐng) ®☆響，得(de)到(dào)了(le)學術(shù)界的(de)←×≥‍廣泛認可(kě)，影(yǐng)響深遠(yuǎn)。時(shí)至今₹✔日(rì)，在計(jì)量經濟學做(zuò)面闆分(fēn)析的©"(de)文(wén)章(zhāng)中，仍∏₹有(yǒu)約 1/3 的(de)文(wén>✘)章(zhāng)采用(yòng) Fama-MacBeth 回歸（π ££Petersen 2009）。

Fama-MacBeth 回歸的(de)要(y​ ≠ào)點總結如(rú)下(xià)：

6 對(duì) Barra 模型的(de)思考

本節是(shì)開(kāi)放(fàng)" ✔性的(de)討(tǎo)論，陳述對(duì'π$£) Barra 模型的(de)一(yī)些(φ♣÷xiē)思考。Barra 模型和(hé)本文(wén)第二、三節介紹的(de)♣ ÷π時(shí)序和(hé)截面回歸都(dōu)有(yǒu)所不(×$bù)同。Barra 的(de)多(duō)因子(zǐ)模型考慮了(l÷∑↑'e)行(xíng)業(yè)因子(zǐ)和(↕§hé)來(lái)自(zì)基本面和(hé)技(jì)術(sh&‍ù)面的(de)風(fēng)格因子(zǐ)。Barra 的(de)模型也(yě)是(shì∏₩)截面回歸模型。但(dàn)是(shì)和(hé)本文(wén)中介紹的(de)↕ ™模型不(bù)同之處是(shì)：在 Barra 模型中，因子(zǐ)暴露并非來(‍π♠lái)自(zì)時(shí)間(jiān)序列回歸，而是(shì)直₹÷¥接來(lái)自(zì)基本面或者技(jì)術(shβ<∞↑ù)面數(shù)據本身(shēn)。我查閱了(le)前後幾代 Barra 的(de)文(β♣☆wén)檔，比如(rú) Grinold and Kahn (1994)，÷∞"Menchero et al. (2011)，Orr et a§>l. (2012)，得(de)到(dào)的(de÷φ↑)都(dōu)是(shì)上(shàng)述結論。

舉個(gè)例子(zǐ)，比如(rú)我們熟悉的(de) Book-to-ε∞Market ratio。在 Fama-French 三因子(z​Ω¥Ωǐ)模型中，BP 被用(yòng)來(lái)構建了(♥®le)一(yī)個(gè) HML 投資組合，而這(z₽ $→hè)個(gè)投資組合的(de)收益率作(zuò)為(wèi)因₹γ&子(zǐ)，個(gè)股在這(zhè)個(gè)因子‌'(zǐ)上(shàng)的(de)暴露由時(shí•★)間(jiān)序列回歸确定，與個(gè)股實際的(de) BP 無®↓¶關。而在 Barra 模型中，BP 直接被用(yòn←δg)來(lái)當作(zuò)因子(zǐ)，↕¥'>個(gè)股在因子(zǐ)上(shàng)的(de)暴露就(jiù> ≥)是(shì)使用(yòng)财報(bà≥σo)中 Book value 和(hé)‍≈♣股價計(jì)算(suàn)出來(lái)的(de)比例經過必要(yà→•o)的(de)标準化(huà)确定的(de)。有(yǒu)了(le)因子(zǐ)暴露後，Bar​™ ✘ra 和(hé)傳統截面回歸一(yī)樣，是(s★ hì)通(tōng)過截面回歸來(lái)确定每個(gè)因子(z↔ ǐ)的(de)收益率（純因子(zǐ)模型）。所以，∏ ♦Barra 模型（業(yè)界代表）和(hé)學術(shù)界流×Ω‌→行(xíng)的(de)因子(zǐ)模型最大(dà)的(de)不←↑(bù)同就(jiù)是(shì)因子(zǐ)暴露 β 的(de)确定。

對(duì)于風(fēng)格因子(zǐ)≈"來(lái)說(shuō)（行(xíng)業(yè)因子(zǐ)我們一(₩£yī)會(huì)兒(ér)另說(shuō)），這(zhè)兩種确定 €<£β 的(de)方法在我看(kàn)來(lái)各有(♥✘yǒu)千秋。時(shí)間(jiān)序列回歸得(de)到( πdào)的(de) β，它的(de)變化(huà)注定是(shì₽λΩ)緩慢(màn)的(de)，且回歸中也(yě)有(yǒu)大(dà)量的(de↑σ←)噪聲。直接用(yòng)基本面或者技(jì)術(sh•→∞←ù)面數(shù)據作(zuò)為(wèi) β，可(k  ×→ě)以更快(kuài)的(de)捕捉公司的(de)變©∞•↓化(huà)。然而，使用(yòng)基本面或者技(jì)術(shù)面數(ε shù)據直接作(zuò)為(wèi) β 則必須進行(x↑>×±íng)标準化(huà)（原始數(shù)據拿(ná)來(lái)直接當≥γ作(zuò)因子(zǐ)暴露會(huì)有(yǒu)很(hěn)大™≈₽(dà)問(wèn)題）。我在本文(wén)反複強調了(le)因子(zǐ)模型是(shì)©♦分(fēn)析個(gè)股平均收益率在截面上(shàn ∞α‌g)随 β 的(de)變化(huà)，即預期收益率的(de)大(dà)★π >小(xiǎo)完全由股票(piào)在因子(z•←♥₹ǐ)上(shàng)的(de)暴露大(dà)小(xiǎo)決£‌'∏定。試想一(yī)下(xià)，如(rú)果我們±↔ 用(yòng)不(bù)經過标準化(huà)的(de)市¶ ε(shì)值作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)暴露，如(rú)果公司 Aγ©¥ 的(de)市(shì)值是(shì) B 的♥ γ(de)市(shì)值的(de) 100 倍，那(nà)難道‍ €(dào)我們能(néng)說(shuō)市(shì)值因子(zǐ)的( γde)收益率對(duì) A 的(de)收益率的("★↓de)影(yǐng)響是(shì)對(duì) B ✔™的(de)收益率的(de)影(yǐng)響的(de) 100 倍₹>π嗎(ma)？顯然是(shì)不(bù)能(néng)的βΩ(de)。所以對(duì)于市(shì)值因子(zǐ)，常見(jiàn)的£¶(de)是(shì)首先取對(duì)數(shù)，然¥>後再進行(xíng)标準化(huà)。對(duì)于其他(tā ¥₽)的(de)風(fēng)格因子(zǐ)，也±♠(yě)需要(yào)采用(yòng)相(x∞©δ‌iàng)應的(de)标準化(huà)處理(lǐ)¥ε£。在 Barra 的(de)文(wén)檔中對(duì)如✘§←♣(rú)何标準化(huà)因子(zǐ)暴露有(yǒu)詳£™細的(de)說(shuō)明(míng)。

對(duì)于行(xíng)業(yè)因子(zǐ)，Barra 将因子(zǐ)→δ↔暴露處理(lǐ)成 binary 變量 —— 比如(rú)工(g € →ōng)商銀(yín)行(xíng)在銀(yín)行(xíng)業(yè) •的(de)暴露是(shì) 1，在其他(tā)行(xíng)業(yè)γ'的(de)暴露為(wèi) 0（對(duì)于業(yè)務涉及不‌♥(bù)同行(xíng)業(yè)的(de)大(dà)公司，≈®γ×Barra 允許該公司以不(bù)同權重屬于多(duō)個(gè)"σ★Ω行(xíng)業(yè)）。我認為(wèi)這(zhè)個(gè)處理(lǐ)&→↓值得(de)考量。假如(rú)某個(gè)公司屬于行(xíng)業(±•yè) X，但(dàn)是(shì)它的(de)收益率和(hé)行(xín↑☆±•g)業(yè) Y 更相(xiàng)關，那(nà)‌≠ 麽從(cóng)建模的(de)角度是(shì)不(bù)是(shì'♣•)把該公司算(suàn)作(zuò)行(xíng)業(yè)ε↑ Y 更有(yǒu)道(dào)理(lǐ)？對(>€£duì)于行(xíng)業(yè)因子(zǐ)暴®™露，可(kě)以嘗試使用(yòng)個(gè)股的(de☆Ωλ↓)收益率和(hé)行(xíng)業(yè)的(de)收益率做(zuò)時•$​£(shí)間(jiān)序列回歸，将回歸系數(shù)當作(¥β¶£zuò)行(xíng)業(yè)因子(zǐ)的(de)暴±§露。我不(bù)清楚 Barra 是(shì)否嘗試過上(shàngπ♥$)述方法，但(dàn)這(zhè)是(shì)一(yī)個(gè)值得(de∑ )思考的(de)問(wèn)題。

7 結語

感謝(xiè)你(nǐ)看(kàn)到(dào)這(∑​σπzhè)裡(lǐ)。本文(wén)介紹了(le)股票(piào)¥β多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗。希望你(nǐ↔π)看(kàn)完後能(néng)夠對(duì)常見(jiàn)的( φ✘de)時(shí)序回歸、截面回歸、Fam‍ ∏>a-MacBeth 回歸、以及 Barra 模型等有(yǒu)更深的(d★∞←e)理(lǐ)解；對(duì)如(rú)何§ ✘确定因子(zǐ)暴露，如(rú)何計(jì)算(suàn)因子(zǐ)€∑♥收益率，以及回歸檢驗的(de)終極目标是(shì)什(shén)麽（所有(yπ♦ǒu)殘差 α_i 是(shì)否在統計(jì)上(shàng)為(wè‌≤ i)零）有(yǒu)清晰的(de)認識。作(zuò)為(wèi)你(nǐ)看(kàn)到(dà♦¶↑o)這(zhè)裡(lǐ)的(de)感謝(xiè)和(hé)鼓↔λ♥勵，我放(fàng)個(gè)彩蛋 —— 檢驗 is NOT everything！

考慮下(xià)面兩個(gè)因子(zǐ)模型，圖中每個(gè)點代表→™®×一(yī)個(gè)股票(piào)。圖中給出了(le)它們殘差 α_i 的¶Ω​★(de)置信區(qū)間(jiān)。按照(z≠ δhào)統計(jì)檢驗的(de)思路(lù)，左圖中大(σ↕✔dà)部分(fēn)殘差的(de)置信區(qū)₹♦∑‌間(jiān)都(dōu)和(hé)那(nà)條截面回歸∞∏★↔關系式沒有(yǒu)交集，說(shuō)明(míng₹β)我們要(yào)拒絕原假設，即 α_i 統計(jì)上←$≤≤(shàng)不(bù)為(wèi)零；右圖&"中大(dà)部分(fēn)殘差的(de)置信☆‍區(qū)間(jiān)和(hé)截面回歸關系式相(xià∞☆ng)交，我們接受原假設。但(dàn)顯然，左邊的(de)模γ™✘→型更好(hǎo)的(de)反映出股票(piào)收益率和(‌↕&hé)因子(zǐ)暴露在截面上(shàng)的(de)關系₽φ；而右邊的(de)模型表現(xiàn)出↔ 的(de)關系則非常弱（從(cóng)這(zhè)些(β∏$xiē)點看(kàn)不(bù)出 E[R_i] 随 β_i 的(de)增大(•​✔dà)而增大(dà)）。所以，從(cóng) ec↓™onomic sense 來(lái)說(shuō)，顯÷♥$然左邊的(de)模型更好(hǎo)。

最後再來(lái)一(yī)點點評價。從(cóng)投資的(de)角度，我們希望因子(zǐ)本身(shēn)有 ×(yǒu)清晰合理(lǐ)的(de)解釋，σ↕$但(dàn)是(shì)從(cóng)多(duō)因子(zǐ)模型的(deλ>)角度來(lái)說(shuō)，隻要(yàoλ$±)這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)收益率均± ≤值能(néng)在截面上(shàng)解£¥φ釋個(gè)股的(de)預期收益率，那(nà)這(zhè)個(gè)模型就"γα(jiù)是(shì)好(hǎo)模型（所以在因子(zǐ)選股時(shí)，我們會(huì)重點關≤§注因子(zǐ)的(de) IC 和(hé) IRα≠♣ 這(zhè)些(xiē)指标）。因子(zǐ)開(kāi)發屬于 empiri€→cal work，HML、SMB 是(shì)從(cóng) real stλ¶∞¶ock return 中挖掘出來(lái)的(de)，它們在解→→•釋截面收益率均值時(shí)有(yǒu)很(hěn)好(hǎo)的(de) ♥φ♣效果。至于 HML，SMB 為(wèi)什(shén)麽有(yǒu)效、©σ↔背後的(de)含義是(shì)什(shén)麽，搞清• 楚它們能(néng)提升我們使用(yòng)因子(zǐ)的(de)信♠​≥♦心，但(dàn)是(shì)對(duì)于評價一₽♦' (yī)個(gè)因子(zǐ)模型的(de)好(hǎo)壞并®↓☆不(bù)重要(yào)。

好(hǎo)了(le)，這(zhè)回真的(de)寫≤ 完了(le)！最後就(jiù)是(shì)來(lái)安利我寫作(z&¶≥uò)本文(wén)時(shí)最重要(yào)的​≈≤♥(de)參考文(wén)獻：芝加哥(gē)大(dà)學★↑¥ Booth 商學院的(de) John ↔♥Cochrane 教授的(de)著作(zuò) Asset Priciδγ$☆ng（Cochrane 2005）。該書(shū)曾獲得(de) Paul Aδγ. Samuelson Award for Outstanding Scho↔≈♣‍larly Writing on Lifelong×♥♣ Financial Security，足見∑ §(jiàn)其地(dì)位。它值得(de)任<∑何對(duì)資産定價感興趣的(de)人(rén)認真讀(d∏∞ú)、仔細讀(dú)、反複讀(dú)。除了(le)這(zhè)本書(shū)外(wài)，對(duì)我幫​φ→‍助巨大(dà)的(de)是(shì) UChicago Onliδ∏'ne 發布到(dào)網上(shàng)的(de) Cochran♣¥©↕e 教授的(de) Asset Pricing 這(zhè)門(mé&↑≠ n)課程。感興趣的(de)朋(péng)友(yǒu)可(kěλε)以搜來(lái)看(kàn)一(yī)看( εkàn)（大(dà)概要(yào)翻牆）。Cochr> ane 教授講的(de)非常生(shēng)動、到(d∞φ↕€ào)位，聽(tīng)完再結合他(tā)的(de)書(shū)♦¶÷ 一(yī)看(kàn)，那(nà)收獲自(zì)÷φ±✘然是(shì)大(dà)大(dà)的(de)。

在介紹 Asset Pricing 這(zhè)門(mén)課的(de)βδ時(shí)候，Cochrane 教授談到(dào)：

The math in real, academic, finance ÷€∞is not actually that hard. Understan∑✘γ♣ding how to use the eq✘&uations, and see what they reallyγ  mean about the world... th∏≥÷αat's hard, and that's what ±∏ I hope will be uniquely rewarding about ✔♦  this class.

我也(yě)真心希望本文(wén)在你(nǐ)使用•₽(yòng)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)道(dào)路(lù)上(≤αshàng)起到(dào)一(yī)點點幫助。

參考文(wén)獻

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投≈§γ資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文(₩≤≠wén)的(de)內(nèi)容、信息及數(shù)¶ ∞據或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù ✘→)構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(♠β$₽xià)，本文(wén)作(zuò)者及所β∏↔÷屬機(jī)構不(bù)對(duì)任何人(rén↑÷•)因使用(yòng)本文(wén)的(de)任何內(n‌♣±₩èi)容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說(♦ππ₽shuō)明(míng)外(wài)，文(wén)中圖表均直↕₹接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàng)應÷←λ論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò)☆↑者和(hé)期刊所有(yǒu)。