Anomalies, Factors, and Multi-Factor '→♠γModels

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：本文(wén)解釋了(le)異象、因子(zǐ)以™ε♦及多(duō)因子(zǐ)模型的(de)區(qū)别和(hé)聯系；梳→αδ♠理(lǐ)了(le)從(cóng)異象到(dào)因子(zǐΩ )再到(dào)模型背後的(de)邏輯；介紹了(leσ±)學術(shù)界研究多(duō)因子(zǐ)模型的(de)主流₹₽統計(jì)手段。

1 引言

在 empirical asset pricing •​ δ和(hé) factor investing 中， ¥anomalies（異象）、factors（因子(zǐ)）以及 •δ×multi-factor models（'↕α多(duō)因子(zǐ)模型）是(shì)三個(gè)常見(jiàn)的(‍₽φ★de)概念。從(cóng)這(zhè)些(xiē)概念出‍→ 發又(yòu)能(néng)很(hěn)ε↔♣↓自(zì)然的(de)引發出一(yī)系列問(wèn)&↔₩題：

在過去(qù)幾十年(nián)裡(lǐ)，海(hǎi)外(wài)學術(sh≥↔ù)界對(duì)上(shàng)述問(wèn)✔☆®題進行(xíng)了(le)大(dà)量的(de)探索，留下(xi∑¥à)了(le)很(hěn)多(duō)寶貴的(de)實證€↕♥≈結果和(hé)分(fēn)析手段。而對(duì↕>₽)于像你(nǐ)、我一(yī)樣進行(xíng)因子(zǐ)投資λ★₽的(de)投資者來(lái)說(shuō)，搞清楚這(zhè♠™∞§)些(xiē)問(wèn)題對(duì)于構建系統和γφ©≤(hé)全面的(de)因子(zǐ)投資分(fē<♦☆n)析體(tǐ)系至關重要(yào)。本文(wén)試圖回答(d☆↔§á)上(shàng)述五個(gè)問(wèn)題。

2 Anomalies

多(duō)因子(zǐ)模型是(shì) empirical​ ™ asset pricing 的(de)一←♣≤∏(yī)種常見(jiàn)方法；其研究的(de)核心問(wèn)題×π是(shì)找到(dào)一(yī)組能(néng£♠™)夠解釋股票(piào)預期收益率截面差異的(de)因子‍•<₽(zǐ)（見(jiàn)《股票(piào)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗》）。假使我們根據基本面特征或量價指标（或 whatever，下(xià)面統稱為(₩→λ→wèi)特征）挑選出一(yī)攬子(zǐ)股票(piào)并構建多(duō)空©φ↕©(kōng)投資組合；如(rú)果該組合的(de)收益率無法被用(yòng)于 as☆¥✘≠set pricing 的(de)多(duō)因子(zǐ)模型解釋，則稱€$該特征為(wèi)一(yī)個(gè)異象（anδφomaly）。在數(shù)學上(shàng)，這(zhα£è)意味著(zhe)該組合有(yǒu)模型無法解釋的(de) α 收益率：♥δ以使用(yòng)該特征構建的(de)多(du€σō)空(kōng)組合收益率為(wèi)被解釋變量放(fàng)在回歸方≤≤ 程的(de)左側，以多(duō)因子(z®→ ↔ǐ)模型中因子(zǐ)收益率為(wèi)解釋變量放(fàng'€)在回歸方程的(de)右邊，進行(xíng)時(shí)序回歸，回 £<歸的(de)截距項就(jiù)是(shì) α 收益率；如(rú)果 π✔™€α 顯著不(bù)為(wèi)零，則說(shuō∏☆)明(míng)該特征是(shì)一(yī)個(gè)異象。

舉個(gè)例子(zǐ)。《獲取 α 的(de)新思路(lù)：科(kē)技(jì)關聯♥βσ度》一(yī)文(wén)介紹了(le) Lee et al. (2018) 這(σβzhè)篇文(wén)章(zhāng)；使用(yòng)科(kē)∞¶¶π技(jì)關聯度選股的(de)多(duō)空(kōng)對(duì)沖投$♦資組合獲得(de)了(le)主流多(duō)因子(zǐ)模型無法解>¶釋的(de) α 收益率（下(xià)圖），因此它是(shì)₹★φ一(yī)個(gè)異象。

從(cóng)有(yǒu)效市(shì)場(chǎng)假說≈£♥∞(shuō)的(de)觀點出發，市(shìΩ↑ )場(chǎng)中不(bù)應該存在很(hě"&n)多(duō)異象。當然，有(yǒu)效市(shì)場(chǎng)假說(s♥•huō)并不(bù)完美(měi)，再加上(shàng​←δ)學術(shù)界幾十年(nián)來(lái)的(de)“不(→σbù)懈努力”，針對(duì)美(měi)股₽>挖掘出了(le) 400+ 個(gè)異象，這(zhè ♥)些(xiē)異象在樣本內(nèi)的(de)統計(•←jì)檢驗中都(dōu)獲得(de)了(le)很(hěn)高(gāo÷↔)的(de) t-statistics。産生(shēng)如(rú)此多(duō)的(de)異象主要♥§(yào)有(yǒu)兩個(gè)原因：

談及對(duì)異象的(de)研究，不(bù)能(néng)不(bù)提♠₩σγ的(de)一(yī)篇文(wén)章(zhāng)是(shì) Hou, Xu↕λe and Zhang (2017)。這(zh♦✘è)篇長(cháng)達 146 頁的(de)文(wén)‌≤章(zhāng)驚人(rén)的(de)複現(xià↕‌ n)了(le)學術(shù)界提出的(de) 447 個'±™φ(gè)異象，涵蓋動量（57個(gè)）、價值/成長(cháng)（α≈₽ 68個(gè)）、投資（38個(gè)）、盈利（79個(gè)）、無形資産（≠±π103個(gè)）、以及交易摩擦（102δ↑個(gè)）六大(dà)類。下(xià)圖節選了(le)少(shǎo)量動量∞↓ 類異象說(shuō)明(míng)，感受一→✘&<(yī)下(xià)。

對(duì)于這(zhè) 447 個(gè)異象，當排除了(↑δ‌le)微(wēi)小(xiǎo)市(shì)值股票(piào)的(de)♣<÷影(yǐng)響後，其中 286 個(gè)（64%）不(bù)再↔∏♣顯著（在 5% 的(de)顯著性水(shuǐ)平下(xià)，下(xià≈₩)同）；如(rú)果按照(zhào) Harvey, L∏≠₩iu and Zhu (2016) 的(de)建議(yì)把♠λ✘§ t-statistic 阈值提升到(dào) 3.0，則其中 380 ₩↕$個(gè)（85%）異象不(bù)再顯著；最後，如(rú)果使用(yòn↕≤ ✘g) Hou, Xue and Zhang (2015) 提出的(de)≠β♥ 4 因子(zǐ)模型作(zuò)為(wèi)定價模型，那(nà)麽其中 43®<≥6 個(gè)（98%）異象不(bù)再顯著，剩餘存活←<&的(de)僅有(yǒu) 11 個(gè ≤)。好(hǎo)一(yī)個(gè)數(shù)據挖掘！

除此之外(wài)，Linnainmaa ↓§•♥and Roberts (2018) 花(huā)♥₩費(fèi)了(le)很(hěn)大(dà)的(de)經曆構建了(le)全新的∞β(de)樣本外(wài)數(shù)據，研究了(le)美(měi)股中源于會(↔∞λ$huì)計(jì)數(shù)據的(de) 36 個(gè)異象在←₽✘λ樣本內(nèi)、外(wài)的(de)表現(xiàn)的(de)λ∏差異。分(fēn)析表明(míng)，絕大(dà)部分(f$‍δγēn)異象在樣本外(wài)明(míng)顯失效，它們的(de)失效說(λ&£shuō)明(míng)這(zhè)些(™₩xiē)異象并非來(lái)自(zì)未知(zhī)風(‌>fēng)險以及錯(cuò)誤定價這(zh↔γ←è)兩種解釋，而更有(yǒu)可(kě)能(néng)僅僅是(shì)數(s‍ hù)據挖掘的(de)産物(wù)。

3 Factors

上(shàng)一(yī)節介紹了(le)異象，本節€₩♠&就(jiù)來(lái)看(kàn)看(kàn)什(shén)麽是(shì♥ )因子(zǐ)（factors）。一(yī)個(gè)異象是(shì)可(kěλ♠↔π)能(néng)成為(wèi)一(yī)個(gè)優秀因子÷γ(zǐ)的(de)；然而由于異象之間(jiān)的(dγ&e)相(xiàng)關性，并不(bù)是(shì)所有(yǒu)異象都β£(dōu)是(shì)因子(zǐ)。一(yī)個(gè)因子(zǐ)應該能(néng)夠對(d$₽↕uì)解釋資産（可(kě)以是(shì)個(gè)股也(↔ ₹∞yě)可(kě)以是(shì)個(gè)股組成的(de)投資組合）預期π✘收益率的(de)截面差異有(yǒu)顯著的(de)增量貢獻♣↓​₹。如(rú)果異象滿足上(shàng)述條件(ji↓♣↔∏àn)，它就(jiù)可(kě)以被稱之為(wèi)一δ¶(yī)個(gè)因子(zǐ)。在這(zhè)個(gè)定義中，有(yǒu)兩個(gè)∑륩關鍵詞值得(de)解讀(dú)，它們是(shì)“解釋”和(§‍↑☆hé)“增量貢獻”：

舉個(gè)例子(zǐ)。我們知(zhī)道(dào)價值因子(zǐ)✔ &≥是(shì)一(yī)個(gè)靠譜的(d×≤e)選股因子(zǐ)。然而，很(hěn)多(duō)指标 —— 比如(rú×♣) E/P 或 B/P 都(dōu)可(kě)以用(yòng)來(lái®σ↕")構建價值因子(zǐ)的(de) High-Minus-Low 組合。如¥±λ(rú)果同時(shí)基于 E/P 和(hé©↔) B/P 構建了(le) HML_EP 和(hé) HML_BP 兩個(g±♦è)因子(zǐ)，它們之間(jiān)的(de)相(xiࣣng)關性注定是(shì)非常高(gāo)的(de)$↑ε。一(yī)旦選擇了(le)其中之一(yī)作(zuò)為(wèi)♦♣價值因子(zǐ)，另一(yī)個(gè)♣‌對(duì)于資産預期收益率截面差異解釋∑≤≥能(néng)力的(de)增量貢獻就(jiù)不×±σ(bù)再顯著、無法成為(wèi)因子(zǐ)。從(cóng)資産定價的(de)理(lǐ)論角度來(lái¥₽$)說(shuō)，多(duō)因子(zǐ)模型中的(de)因子(zǐ)之間(j÷∏πiān)應盡可(kě)能(néng)獨立；但(dàn)是(shì)從(cóng)投資實踐來(lá>σ®i)說(shuō)，上(shàng)面例子(zǐ)中的(•§™₹de) E/P 和(hé) B/P 可(kě)以被同時(shí)使用(yònΩ÷♣®g)構建一(yī)個(gè) HML 價值因子(zǐ)，這(zhè)有(✔γ'↔yǒu)助于降低(dī)波動且增加因子(zǐ)的(d✔∑e)魯棒性。

在從(cóng)一(yī)攬子(zǐ)異≠α 象中篩選因子(zǐ)時(shí)，常見(j©≈iàn)的(de)做(zuò)法是(shì)将它們同時(&→↓shí)作(zuò)為(wèi)回歸分(f'↑≥∑ēn)析中的(de)解釋變量，采用(yòng) Fama-MacBeth≤↔ Regression（Fama and MacBeth 1973≤‍δγ）來(lái)分(fēn)析這(zhè)些(xiē)異象的(deΩ•)收益率是(shì)否顯著。在這(zhè)方面，Green, Hand and Zhang ↕αγ(2017) 是(shì)一(yī)個(gè)很(hěn)好(h÷α£ǎo)的(de)例子(zǐ)。Green, Hand and Zhang (20♥φ17) 使用(yòng) Fama-MacBet¥&πh Regression 同時(shí)σ<檢驗 94 個(gè)異象，并考慮了(le) mu☆¥δltiple testing 對(duì) t-statistic 以及¶× p-value 造成的(de)影(yǐng)響，最終發現( ₩♠xiàn)僅有(yǒu) 12 個(gè)異象可(kě)能(néng)÷∞π$成為(wèi)潛在的(de)因子(zǐ)：1. 賬面市(shì)值比；±$★≤2. 現(xiàn)金(jīn)；3. φ£©→分(fēn)析師(shī)數(shù)量的(de)變化(huà)；4. ±•α<盈餘公告宣告收益；5. 一(yī)個(gè)月(yuè)的(de)動§γπ∏量；6. 六個(gè)月(yuè)動量的(de)變化(huàσ↑∑)；7. 盈利同比增長(cháng)的(d≠ ≤e)季度數(shù)量；8. 年(nián)度研™→×發支出占市(shì)值的(de)比重；9. 收益€$©₽波動性；10. 股票(piào)換手率；11. 股票(piào)換手率的(γ≈←de)波動性；12. 零交易的(de)天數(shφ★¶ù)。上(shàng)述結果告訴我們：在修正 multiple testing 的(de)數(shù)據挖掘、 ↕₩$以及考察了(le)不(bù)同異象的(de)相(xiàng)關性之後，←₽真正能(néng)夠解釋資産預期收益率截面差異的(φ"©de)獨立因子(zǐ)少(shǎo)之又(yòu)少(shǎo™σ₽)。

4 Multi-Factor Models

現(xiàn)在我們已經了(le)解了(le)異象，并通(tōn©§g)過回歸分(fēn)析從(cóng)異象中找出了(le)因子(zǐ)，接下(★↓‌¥xià)來(lái)就(jiù)是(shì)挑‍σ ∞選因子(zǐ)構建多(duō)因子(zǐ)模型了(le∞")。在構建多(duō)因子(zǐ)模型時(shí)，兩個(gè)必須要('‌↔yào)回答(dá)的(de)問(wèn)題是(shì)：（Ω₹1）選擇多(duō)少(shǎo)個(gè)因子(zǐ)合适？（2）選→¶↕擇哪些(xiē)因子(zǐ)更好(hǎo)？學←​€★術(shù)界對(duì)于第一(yī)個(™♠ ™gè)問(wèn)題的(de)共識為(wèi)主流因子(zǐ)模型奠定₹★了(le)基調；而第二個(gè)問(wèn)題則涉及不(bù)同多(d✔↓£ uō)因子(zǐ)模型之間(jiān)的(de÷±γ")比較。對(duì)于第一(yī)個(gè)問(wèn)題，我們總可∑∑(kě)以僅使用(yòng)一(yī)個(gè)因子(zǐ)，比 ♣®如(rú) CAPM 模型僅使用(yòng)了(le)市(shì)♣Ω€場(chǎng)因子(zǐ)；又(yòu)或≥ε者我們可(kě)以使用(yòng)許多(duō)因子(zǐ)。一(yī)÷>∞個(gè)極端的(de)情況是(shì)把每個(gè)上(shàng)€♣ε市(shì)公司作(zuò)為(wèi)一(yī)個(gè)因子(zǐ)★¶"↕，每個(gè)公司的(de)股票(piào)隻在自(zì)己公司↕∑¶→的(de)因子(zǐ)上(shàng)有(yǒ↑® αu)暴露，在代表其他(tā)公司的(de)因子(zǐ)上(s"γ♠↓hàng)零暴露。這(zhè)樣的(de)模型顯然能(néng)完美(měπ÷÷i)解釋股票(piào)預期收益率的(de)截面差異，但(dàn)在現(‍βxiàn)實中沒人(rén)會(huì)那(nà)麽用(€εyòng)。以樣本內(nèi)過拟合為(wèi)代價，更多¶β £(duō)的(de)因子(zǐ)總能(néng)更好(hǎo)的(de)解釋收 ‌≤益率的(de)截面差異。

在學術(shù)界，“幾個(gè)因子(zǐ)合适”這(πσ'zhè)個(gè)問(wèn)題所遵循的(de)準則是(shì) The Law of Parsimony（​​≠✘簡約法則），它還(hái)有(yǒu)一(yī)個(gè)更為(wè≈✘★βi)人(rén)熟知(zhī)的(de)名字 —— Occam’s ra¥γzor（奧卡姆剃刀(dāo)）。如(rú)果從(cóng) ICAPM（Intert✔£emporal CAPM）的(de)角度來(lái)理(lǐ)解多(duō)因↓‍子(zǐ)模型，每個(gè)因子(zǐ)代表某種 <‍state variable；而 state v↑γ©ariable 是(shì)投資者想要(yào)對(duì ₽‍)沖的(de)某種風(fēng)險。從(cóng)這(zhè)個(gè)意義上(shàng)說(shuō÷β€)，因子(zǐ)的(de)個(gè)數(shù)應該是(shì©©λ&)有(yǒu)限的(de)。依據簡約法則，學術(shù)界主流的(de)多(duō)因子(zǐ)模型包括α✘ ←以下(xià)幾個(gè)（按時(shí)間(j'×←iān)順序、排名不(bù)分(fēn)先後，不(​♦βbù)完整 list），它們的(de)因子(zǐ)個(gè)數(shù)≤₩"∏均在 3 到(dào) 5 個(gè)之間(≠$$αjiān)：

如(rú)何比較不(bù)同的(de)多(duō)因子(zǐ)模型呢(ne≥>$")？學術(shù)界主要(yào)有(yǒu)以下(xià)三種方法：

GRS tests（Gibbons, Ross and Shanken 1989÷®∑γ）檢驗 n 個(gè)資産在給定因子(zǐ)模型下(xià)的(<¶de)定價錯(cuò)誤（pricing error）—— 即 α≠₩±φ —— 是(shì)否在統計(jì)上(£‍§σshàng)聯合為(wèi)零（jointlyδα equal to zero）。在比較兩個(gè)多(duō)Ω<Ω因子(zǐ)模型時(shí)，使用(yòng​ ♦)兩個(gè)模型的(de)因子(zǐ)互為(wèiβ♣π)資産和(hé)定價模型進行(xíng)檢驗。舉個(gè)例子(zǐ)。《中國(guó)版的(de) Fama-French ₽∏∏三因子(zǐ)模型，了(le)解一(yī)下(xià)？》一(yī)文(wén)中比較了(le)兩個(gè)不(bù)同 ∞ε®版本的(de)價值和(hé)市(shì)值因子(zǐ)的(de)效果。 ¥✔結果（下(xià)表）顯示，當使用(yòng‌♦) SMB 和(hé) VMG 為(wèi)因子(z‌ •ǐ)模型時(shí)，FFSMB 和(hé) FFHML≥"₩ 的(de)定價錯(cuò)誤可(kě)以認為(wèi)是©λσ(shì)零（p-value = 0.41）；反過來&λ(lái)，當使用(yòng) FFSMB 和(h↑∑é) FFHML 為(wèi)定價模型時(shí)，SMB 和(hé) ×€VMG 依然存在顯著不(bù)為(wèi)Ωσ零的(de)定價錯(cuò)誤（p-value 是(shì) 1β>Ω0 的(de) -13 次方這(zhè)個(₩ "gè)量級）。這(zhè)意味著(zhe) SMB 和(§‌hé) VMG 優于 FFSMB 和(hé) FFHML。

Mean-Variance Spanning tests 考察 n 個(gè)已知(zhī)資産構建的(de) mean-varia&γ™nce 有(yǒu)效前沿能(néng)否包含某個(g☆↕è)新資産（Huberman and Kandel 1987）。在比較兩個(gè)多(duō)因子(z®±₽ ǐ)模型時(shí)，使用(yòng)每個(gè)模型的(de>₹γ♣)因子(zǐ)構建有(yǒu)效前沿，并逐一(y←∞ →ī)檢驗其能(néng)否包含另一(yī)個(gè)模型中≥≈ε的(de)因子(zǐ)。舉個(gè)例子(zǐ)。《美(měi)股上(shàng)一(yī)個↕‍(gè)跨越時(shí)間(jiān)尺度的(de)趨£✘↓‌勢因子(zǐ)》介紹了(le)一(yī)個(gè)新的(de<♣∑)趨勢因子(zǐ)。考慮新的(de)趨勢因子(zǐ)和(h‌™×é)三個(gè)已有(yǒu)因子(zǐ)（SREV、MOM 以及 L≤σσ$REV）的(de)回歸模型如(rú)下(xià)♠∑♣：

該檢驗的(de) null hypothesis 是(shì)：

檢驗結果顯著的(de)拒絕原假設，說(shuō)明(✘≥míng)已有(yǒu)三因子(zǐ)無法解釋新的(de)趨勢因子₹'∏(zǐ)。最後來(lái)看(kàn)看(kàn) Bayesian approach。假設比較兩個(gè)多(duō)因子(zǐ)模型 M_1 和≤✔"(hé) M_2；相(xiàng)關數(shù)據集用(yòng) D 表€ €示。令 prob(M_1) 和(hé) pro÷∑b(M_2) 為(wèi)這(zhè)兩個(gè)模型的(£βde)先驗概率，且有(yǒu) prob(M_1) + prob(M≠✔α✘_2) = 1（這(zhè)裡(lǐ)假設把多(duō)個(gè)♠βδ₹模型兩兩比較）。根據貝葉斯定理(lǐ)有(yǒu∏₽ )：

其中：

上(shàng)式中，prob(θ_i) 是(shì)模型 i 參α≈€∞數(shù)的(de)先驗分(fēn)布，prob(D|θ_i) 是(shì)β'®®模型 i 的(de)似然函數(shù)。上(shΩε ☆àng)述貝葉斯方法的(de)核心在于确定 prob(θ_i)。根據→ ™♠ Pastor and Stambaugh (2000) 以及 Baσ™αrillas and Shanken (2018) 的(de)€δ理(lǐ)論，它和(hé)以兩個(gè)模型中的(de)φ& §全部因子(zǐ)作(zuò)為(wèi)資産所構成的♥♠Ωσ(de)投資組合的(de)預期最大(dà)夏普率的(de)平方與↔¥↕市(shì)場(chǎng)夏普率的(de)比值有(y≤φ'ǒu)關。使用(yòng)貝葉斯方法，Stambaugh and Yuan (δεγΩ2016) 比較了(le)他(tā)們的(de)<λ四因子(zǐ)模型（記為(wèi) M-4）和(hé<&δ<) Fama-French 五因子(zǐ)模型（記為(wèi) FF-¶↓​5）以及 Hou-Xue-Zhang 四因子(zǐ™<)模型（記為(wèi) q-4）。下(xià& ∞π)圖中，左圖是(shì) M-4 和(hé) FF-5 模型的(de)比較； ©​右圖是(shì) M-4 和(hé) q-4 模型的(d∑✔δe)比較。圖中，橫坐(zuò)标均為(wèi)先驗，即兩模型中全部因子(<​δ↓zǐ)能(néng)達到(dào)的(de)最大(d¥β®↔à)預期夏普率平方和(hé)市(shì)場(chǎng)≠→夏普率的(de)比值；縱坐(zuò)标為(wèi)不(bù)同模←' ☆型的(de)後驗概率。

結果說(shuō)明(míng)，當先驗這(zhè)個(gè)比值分(fēn)₩π☆别大(dà)于 1.05 和(hé) 1.2 的(de)時₩φ‍(shí)候，M-4 因子(zǐ)模型就(jiù)分(fēn)别強于 FF-₽©✔5 和(hé) q-4 模型。顯然，使用(yòng÷"✘)多(duō)個(gè)因子(zǐ)得(de)到(dào)的(de)最大 ♠&←(dà)夏普率很(hěn)容易是(shì)市(shì)場(chǎ↑♥π≥ng)夏普率的(de) 1.05 或 1.2 倍，意味著(zhe)數(sh>φ¥ù)據更加傾向于支持 M-4 模型。需要(yào)特别強調的(de)是(shì)，無論采用(δ$‍yòng)哪種方法，比較多(duō)因子(zǐ)模型的δ'≥(de)目的(de)是(shì)為(wèi)了(le)得(de)到(d®→§ào)新的(de)啓發，而非一(yī)定‌¶÷要(yào)排個(gè)一(yī)二三四。這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)模型之間(jiāεδΩ≠n)孰優孰劣并無定論，它們的(de)提出豐富了(le)>"<我們對(duì)于 empirical asset pricing 的(de"→™)理(lǐ)解并指導著(zhe)因子(zǐ)投資。

5 模型複雜(zá)度討(tǎo)論

在結束本文(wén)之前，再來(lái)簡單討(tǎo)論下(xià)構建 ≥®因子(zǐ)模型時(shí)遵循的(de✔ ) The Law of Parsimony。在美(měi)國(guó)金(jīn)融協會(huì) 2018 年(nγ↔✘"ián)的(de)年(nián)會(huì♦∞±)上(shàng)，Daniel, Hirshleifer and Sun •<(2018) 報(bào)告了(le)他(tā)們的(de∞≠∑≥)複合因子(zǐ)模型，并對(duì)模型複雜(zá)度和(hé)模型的(d★$e)解釋效果做(zuò)了(le)探討(λγβtǎo)，頗有(yǒu)新意。具體(tǐ)的(de)，他(tā‌♥β‍)們提出了(le)兩個(gè) Parsimony <∑♣Index，通(tōng)過懲罰因子(z♥♥ǐ)和(hé)用(yòng)于構建因子(zǐ)的(de)指标個(gè)數(sh"≈ù)來(lái)計(jì)算(suàn)模型複雜(zá)度。

按照(zhào)上(shàng)述定義，本文(wén)第四節介紹的(de)主流<←因子(zǐ)模型的(de)兩個(gè) Parsimon♥β£>y Index 取值分(fēn)别為(wèi)：

使用(yòng)上(shàng)述 7 個(gè)因子(zǐ)模≤δ↑'型來(lái)檢驗 34 個(gè)異象，₩≤根據 5% 顯著性水(shuǐ)平下(xià)顯著的(de)異象的(de)個(¶≤•gè)數(shù)以及所有(yǒu)異象的(de)平均β¥ α 收益率的(de)絕對(duì)值分(fēn)别&<作(zuò)為(wèi)模型解釋力度，最後将模型解釋力度σ¥和(hé)這(zhè)兩個(gè) Parsimony Index 分(¶↔↓↑fēn)别做(zuò)回歸以觀察解釋度和(hé)模型複雜(zá)度之間(jiā↔♥©÷n)的(de)關系。結果如(rú)下(xià)。以 5% 顯著性水(shuǐ)平的(de)異象個(gè)數(shù↕'♥)作(zuò)為(wèi)解釋力度：

以全部異象平均 |α| 為(wèi)解釋力度：

随著(zhe)模型複雜(zá)度的(de)←λ提升（表現(xiàn)為(wèi) Paγ✔rsimony Index 的(de)取值更小(xiǎo)），模©÷σβ型的(de)解釋力度上(shàng)升（體(tǐ Ω)現(xiàn)為(wèi) 5% 顯著性下(xià ↑≤₽)的(de)異象變少(shǎo)和(hé)λ↑異象平均 |α| 降低(dī)）。這(zhè)個(gè)結論符合預期，它也(yě)再次×→♥​強調了(le)不(bù)同因子(zǐ)模型之間(jiān)的(£↔↑de)好(hǎo)壞并無定論 —— 我們總能(néng)通(tōng)過增加 λ模型複雜(zá)度來(lái)提升模型（樣本內(nèi)）的(de)解釋效↓φ±果，因此需要(yào)在模型複雜(zá)度和 ↓✘(hé)樣本內(nèi)的(de)解釋力度之間(jiān)取舍。γ ↕在 The Law of Parsimony 的(de)指導思想下(x© ià)，一(yī)個(gè)優秀的(de)因子(zǐ↑φΩ×)模型通(tōng)常有(yǒu)較少(shǎo)的(de)因子(✘ αΩzǐ)或者基本面或量價特征；而作(zuò)為γ≥÷(wèi)使用(yòng)者，我們應該盡量搞清楚每一(yī)個 ≠✔β(gè)因子(zǐ)背後代表的(de)風(fēng)險。

6 結語

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)沒有(yǒφ¶↔★u)告訴你(nǐ)哪個(gè)異象能(néng)賺取 σ♠φ α。這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)沒有(yǒu)告訴你(nǐ)ε ∞哪個(gè)因子(zǐ)能(néng)賺>≤"&取高(gāo)性價比的(de) β。這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)也(y‍✘ě)沒有(yǒu)告訴你(nǐ)哪家(jiā)的(de)多(duō)因 φ®子(zǐ)模型更勝一(yī)籌。

OK, enough for “自(zì)我否定”。既然如(rúδ ‌‌)此，為(wèi)什(shén)麽要(yà×✘o)寫這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)呢λ∑× (ne)？如(rú)今，學術(shù)論文(wén)Ω↕πδ和(hé)賣方報(bào)告中開(kāi)發出新“因子(zǐ)”的(de±δ®)速度已遠(yuǎn)超我能(néng)理(lǐ)解、消化(huà)的(de≤→)速度。以學術(shù)界的(de) 447 個(gè)​γ♠≠異象為(wèi)例，如(rú)果每周寫一(yī)篇介↓♦ ←紹一(yī)個(gè)，要(yào)寫 9 ∞£β年(nián)。異象被當作(zuò)“因子(zǐ)”來(©≤♦lái)使用(yòng)，但(dàn)它背後往往沒有(y✔& εǒu)合理(lǐ)的(de)金(jīn)融學解釋（即無法代表™ 合理(lǐ)的(de)系統性風(fēng)險），或者沒有(yǒu)用(yòn✔&g)已有(yǒu)因子(zǐ)對(duì)其分(fēn)析從≈ε♦♥(cóng)而評判它對(duì)解釋股票(pià←¶α™o)預期收益率截面差異的(de)增量貢獻，僅僅是(shì)數(shù)據挖₩≠∞掘的(de)産物(wù)。它們中大(dà)多(duō)數± (shù)根本不(bù)是(shì)因子(zǐ)，甚至連異象♠ ∞•都(dōu)談不(bù)上(shàng)。出于這(zhè)♣↓✔≤個(gè)原因，我希望能(néng)介紹一(yī)些(xiē✘♠γ®)方法，幫助因子(zǐ)投資的(de)踐行(xíng)者去(β®β$qù)僞存真。這(zhè)就(jiù)是(s¶λ↑↕hì)寫作(zuò)本文(wén)的(de)初衷。

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)回答δ♦♣(dá)了(le)開(kāi)篇提出的(de)五個(gè)問(±λδwèn)題；解釋了(le)異象、因子(zǐ)以及多(duō)因子(zǐ)≈φ→模型的(de)區(qū)别和(hé)聯系；梳理(lǐ≤∞σ)了(le)從(cóng)異象到(dào)因子(zǐ↓≤±)再到(dào)模型，一(yī)步步使用(y™↔<òng)多(duō)因子(zǐ)模型背後的(de)邏輯；介紹了(l​™e)學術(shù)界在研究多(duō)因子(zǐ)時(shí)使用(λΩyòng)的(de)主流統計(jì)手段。希望它能(néng)夠作(zuò) ↔δ為(wèi)一(yī)個(gè)完善的(÷ ÷≈de)工(gōng)具箱，為(wèi)你(nǐ)的(de)多‍'✔(duō)因子(zǐ)研究和(hé)投資添一(yλ ∞ī)分(fēn)助力。

參考文(wén)獻

Barillas, F. and J. Shanken ε©→₹(2018). Comparing asset pri≥∞cing models. Journal of Finance 73(2), 715 – 754.

Carhart, M. M. (1997). On persis→↑♣☆tence in mutual fund pe™₩₹rformance. Journal of Finance 52(1), 57 – 82.

Daniel, K. D., D. A. Hirs‌©×hleifer and L. Sun (2018). Short- and long-horizon behavioral fac♠​'φtors. Columbia Business School Research Pap☆↕★​er No. 18-5.

Fama, E. F. and K. R. French (1993)←←. Common risk factors in the returns λ↓£αon stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Fama, E. F. and K. R. Fre₩≈nch (2015). A five-factor asset prβφ↕£icing model. Journal of Financial ↔™≠↕Economics 116(1), 1 – 22.

Fama, E. F. and J. D. MacB♣αeth (1973). Risk, return&​← , and equilibrium: Empirical tests. Journal of Political £α♦Economy 81(3), 607 – 636.

Green, J., J. R. M. Hand and♠≠ β X. F. Zhang (2017). The characteris™≤✘&tics that provide indepe§↓™>ndent information about average U.<σS. monthly stock returns. Review of Financial Stud∑λαies 30(12), 4389 – 4436.

Gibbons, M. R., S. A. Ross and J. Shank"↕×en (1989). A test of the effγ♥₩iciency of a given portfolio. Econometrica 57(5), 1121 – 1152.

Harvey, C. R., Y. Liu an  αd H. Zhu (2016). … and the crosπ★¶→s-section of expected return<↓♠®s. Review of Financial Stu★≤•dies 29(1), 5 – 68.

Hou, K., C. Xue and L. Zhang β✘(2015). Digesting anomaliβ≤ &es: An investment approach. Review of Financial Studies 28(3), 650 – 705.

Hou, K., C. Xue and L. Z←✘hang (2017). Replicating Anomalie→©>‍s. Fisher College of Business Workπα₩ing Paper No. 2017-03≠®↑-010; Charles A. Dice✔↕ Center Working Paper No. 2017-10π↓.

Huberman G. and S. Kandel (1987)π¶δ★. Mean-variance spanning.↔≤ Journal of Finance 42(4), 873 – 888.

Lee, C. M. C., S. T.¥α Sun, R. Wang and R. Zhang (20±♠​18). Technological Links '∏<and Return Predictability. ≥σ±Journal of Financial Economics forthcoming.

Linnainmaa, J. T. and M. R. Roberts ("π2018). The history of Ω♣the cross-section of stoc₽₩σk returns. Review of Financial Studie‍>♥s 31(7), 2606 – 2649.

Liu, J., R. F. Stambaugh and Y.$​α$ Yuan (2018). Size and Value in China. λ>Journal of Financial Economics forthcoming.

Novy-Marx, R. (2013). β≈₽The other side of val♦¶ue: The gross profitability premi ♣um. Journal of Financial₩↓♣ Economics 108(1), 1 – 28.

Pastor, L. and R. F. Stambaφ$≥ugh (2000). Comparing asset pricing mod→£els: an investment perspecti' ve. Journal of Financial Economics 56(3), 335 – 381.

Stambaugh, R. F. and Y. Yuan (2∞₽016). Mispricing Fac"δtors. Review of Financial Studies 30(4), 1270 – 1315.

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