機(jī)器(qì)學習(xí)與資産定價: Facts an®♥d Fictions
發布時(shí)間(jiān)：2023-06-21 | ★★ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)
作(zuò)者：石川
摘要(yào)：本文(wén)從(cóng)五方面闡述中低(dī)頻(pín)實證資産 ←≤•定價中的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)應用(yòng)。
自(zì) Gu, Kelly and Xiu (2÷±020) 這(zhè)篇綜述把機(jī)器(qì)學習(xí)ελ£₹方法正式引入實證資産定價研究以來(lái)，學術(shù)界¥∏§的(de)一(yī)衆學者在這(zhè)幾年(nián)将各種（線性的(de)↓φ非線性的(de)）機(jī)器(qì)學習(xí)₹☆&模型都(dōu)應用(yòng)到(dào)了(le)股票(pi'αào)收益率的(de)預測之上(shàng)。
這(zhè)背後的(de)契機(jī)是(shì)大(dà)數(shù ↑)據和(hé)機(jī)器(qì)學習(xí)時(shí)代協變量的(de)激增以及協變量和(hé)未來(lái)收益率之間(jiān)的(de)複雜"λ(zá)關系。這(zhè)二者給傳統基于計(jì)量經濟學方法的(de®≥®)實證研究帶來(lái)了(le)巨大(dà )的(de)挑戰。毫無疑問(wèn)，計(jì)量經濟學方法是(≈✔shì)可(kě)以被用(yòng)來(lái)分(®α ÷fēn)析簡單線性關系和(hé)進行(xíng)參數(shù)審定（pΩ"φarameter adjudication）的(de)利器(qìΩ)，然而它并非處理(lǐ)高(gāo)維預測（predic¥δ<tion）問(wèn)題時(shí)的(de)首選。對(duì)于後者來(π lái)說(shuō)，早在自(zì)然語言處理(lǐ)、圖像識别等其他(✔₩★Ωtā)領域證明(míng)了(le)自(z÷✘☆ì)己的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)算(suàn)法自(≥δzì)然而然地(dì)走進了(le)人(rén)們♠₹的(de)視(shì)野。
伴随而來(lái)的(de)，是(shì)₹δ↓學界的(de)研究從(cóng) diminishing a&$✘nomalies（即提出 ad-hoc 簡約模型來(lái)消滅異象）向 increasing prom₩≥♦inence of machine le¥←arning methods（即如(rú)何通(tōngδ σ&)過機(jī)器(qì)學習(xí)算(suàn)法得(de)到(d©±♣ào)更好(hǎo)的(de)預測）的(de)轉型，并從(cóng)中形成新>&§ 的(de)研究範式。研究悄然從(cóng) procedurally λ×轉向了(le) empirically。無論認可(kě)與否，Ω÷在大(dà)勢面前，一(yī)切似乎都(d✔πōu)不(bù)可(kě)逆轉，那(nà)些(xiē)将機(jī)器(qì)®∏÷學習(xí)算(suàn)法用(yòng)于資産定價并發♦±≠表在頂刊上(shàng)的(de)實證文(wén)章(zhā≈ ÷★ng)就(jiù)是(shì)最好(hǎo)的(de)證明(míng)。
通(tōng)讀(dú)這(zhè)些(xiē)基于美(měi)股₹₩λ市(shì)場(chǎng)（當然，有(yǒu)∑§σ✘不(bù)少(shǎo)已經被 copy & paste 到(dào)了(lγσ✔αe) A 股，sorry for 吐槽）、發表Ω¥在頂刊上(shàng)的(de)實證文(wén)章∞¶λ(zhāng)其實不(bù)難發現(xiàn)，無"♣£∑論是(shì)理(lǐ)論描述還(hái)是(shì)實證結果，它們都(dō₩↑≠u)有(yǒu)很(hěn)多(duō)的(de)共性。§§深入理(lǐ)解它們，有(yǒu)助于加→∞深對(duì)将機(jī)器(qì)學習(γ↔Ωxí)算(suàn)法應用(yòng)于實證資産定價的(de)正确認知±"(zhī)。因此，今天這(zhè)篇小(xiǎo)文(wén)♠σ 就(jiù)以 Facts 和(hé) ≈•÷Fictions 為(wèi)題從(cóng)五方面 ¥•₹梳理(lǐ)這(zhè)類研究的(de)“是(sh★αì)”與“非”。希望通(tōng)過此文(wén)幫♦&'™你(nǐ)客觀了(le)解實證研究的(de)現(xiàn)狀 •€§。
最後想要(yào)強調的(de)是(shì)，本文(wén)的(de)闡述僅限α↔•§于中低(dī)頻(pín)實證資産定價中的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)應用¶ (yòng)。在國(guó)內(nèi)外(₩≈≠wài)的(de)量化(huà)投資實踐中，注定會(huì≤¥)有(yǒu)一(yī)些(xiē)領先于學術(s♠σ¶hù)研究的(de)內(nèi)容，但(dàn)它們不(bù)在本文(wé$&n)討(tǎo)論範圍之內(nèi)。另外(©wài)，本文(wén)參考文(wén)獻中優先引用(β™✔yòng)已發表的(de)版本。
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Fiction: 将數(shù)據無腦(nǎo)扔進高(gāo)級算(suàn)法，單純指λ♣↕§望數(shù)據發聲。
金(jīn)融數(shù)據低(dī)信噪比和(hé)不(bù)滿足→≤α平穩性這(zhè)兩個(gè)特點足以打消人(rén)們單純φ& ε指望數(shù)據發聲的(de)良好(hǎo)願景。就(ji§<ù)資産定價來(lái)說(shuō)，¶>參數(shù)先驗、協變量尺度縮放(fࣶπ≠ng)、正則化(huà)罰項以及調參依據選擇等都(dōu®> )會(huì)影(yǐng)響最終的(de)結果π∏（Nagel 2021，我和(hé)王熙老(lǎo)師(shī)的(de)翻譯在此）。
下(xià)面這(zhè)個(gè)例子(zǐ)來(lái)自✔α✔(zì) Nagel (2021)，雖然簡單♠¥→，但(dàn)能(néng)清晰闡明(míng)上(shàng)面δ★≤©的(de)問(wèn)題。假設我們使用(yòng)過去(q$™σ>ù) 120 期的(de)曆史收益率以及它們的(d↓πλ>e)平方和(hé)三次方作(zuò)為(wèi)協變量來(l→σ¶÷ái)預測下(xià)一(yī)期收益率。下(xià)表總•$✘結了(le)不(bù)同設定下(xià)的(de)✔™π預測結果。其中 Method 一(yī)欄表明(míng)了(le)正則化(huà)的(de)罰項（OLS 表示沒有(yǒu)正則化(huà)）$→，Scaling 一(yī)欄表明(míng)對(duì)協變量進行(xíngδ≤<)了(le)怎樣的(de)标準化(huà)$∏處理(lǐ)（Equal 表示協變量都(dōu)被标準化&φ↓(huà)到(dào)均值為(wèi) 0、标準差☆☆•為(wèi) 1；Unequal 表明(m∏♣íng)協變量标準化(huà)之後的(de)标準差不(bù)同），CV crΩ£≤iterion 一(yī)欄表示調參的(de)依據（例如(€₽&rú)以驗證集 R-squared 或者以投資組合在驗證集上(shàngβ♣)的(de)預期收益率
表中的(de)實證結果顯示，模型設定對(duì)于會(huì)産生(sh♣±≤λēng)怎樣的(de)結果影(yǐng)響很&Ωλ(hěn)大(dà)。然而，當我們面臨衆多(du≥♠ō)選擇時(shí)，不(bù)該也(yě)無←σ¶↕法枚舉所有(yǒu)的(de)排列組合，而是(shì)應該充分 ® &(fēn)利用(yòng)先驗。例如(r∞≠ú)，如(rú)果我們認為(wèi)模型是(shì)非稀疏的(d☆®→e)，那(nà)麽就(jiù)會(huì)傾向 Ridge ↕βγ而非 Lasso；如(rú)果我們認為(wèi)協變量在預測∑'收益率時(shí)的(de)重要(yào)程度不(bù)同☆¥≠，可(kě)能(néng)就(jiù)會(huì)選擇 Unequal 而非 ™βEqual 的(de)處理(lǐ)方式；如(rú)果λ§我們從(cóng)金(jīn)融問(wèn)題核心出發，₹¶÷可(kě)能(néng)會(huì)選擇以最大(σ≥dà)化(huà)夏普比率（或最小(xiǎo)化(™×huà) pricing errors）而非傳統的(de) R-squared•↔ 來(lái)進行(xíng)模型調優。≥®☆↑而這(zhè)些(xiē)的(de)背後，都λ£(dōu)離(lí)不(bù)開(kāi✘ ©✘)資産定價理(lǐ)論。
Fact: 以大(dà)數(shù)據為(wèi)依托₩←、以機(jī)器(qì)學習(xí)算(s'δuàn)法為(wèi)工(gōng)具，圍繞資産定價理(lǐ)論¥≥展開(kāi)。
在實證資産定價這(zhè)個(gè)領域，從(c>₹ óng) CAPM，到(dào) APTπ >/ICAPM，再到(dào) zoo of factors，層出不φ↑"(bù)窮的(de)實證挑戰無疑極大(dà)✔↓推動了(le)學科(kē)的(de)發展。然而，無論範式如(rú)何演化(huà)，研究都(dōu)是(sΩ¥>hì)圍繞著(zhe)實證資産定價理(lǐ)論&ε δ展開(kāi)的(de)。
以最近(jìn)幾年(nián)火(hu♣β↓∞ǒ)爆的(de)幾篇文(wén)章(zhāng)為(wèi)例，Bryz<¥galova, Pelger and Zhu (2020) 以及 Chen,♠ Pelger and Zhu (forth<®↔coming)，雖然前者使用(yòng)了(le)決策樹(shù)而後者使用(<δyòng)了(le)生(shēng)成對(duì)抗網絡（GAN），但(★♦€dàn)它們都(dōu)是(shì)在随機(jī)貼現(xiàn)因子(±zǐ)（SDF）這(zhè)一(yī)框架πλ©下(xià)将不(bù)同的(de)算(suàn)法應$φγ用(yòng)于資産定價。又(yòu)比如(rú)，Kelly, Pruitt and Su (201→₽π9) 的(de) IPCA 以及 Gu, ♦↓∏Kelly and Xiu (2021) 的(de) Autoenco&©®der 則使用(yòng)了(le)隐性多(d∑≠±λuō)因子(zǐ)模型，即把
在實證方面，這(zhè)些(xiē)文(wénδ£$®)章(zhāng)的(de)共性是(shì)使用(yòng)了(le)大(÷♠₹γdà)量的(de)協變量（of course 較傳統研究而言），并通(tōn§ ↔g)過投資組合的(de) OOS 表現(xλ iàn)來(lái)表明(míng)方法的(de)有(♦≥yǒu)效性。雖然它們各自(zì)嘗試了(le)不(bù)φ∏→同的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)算(suàn)法，但±↓∏(dàn)鑒于 SDF 和(hé)多(duō)因子(zǐ)模型的(d&♥e)等價性，它們都(dōu)可(kě)以被放(fàn∞π≥g)在一(yī)統的(de)框架下(xià)審視(shì)和÷→↑λ(hé)學習(xí)。
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Fiction: 機(jī)器(qì)學習(xí)模型是(shì)黑(hēi)箱，學術(shù₹§$)研究不(bù)關注可(kě)解釋性。
對(duì)于傳統的(de) ad-hoc 多(duō→¥ε)因子(zǐ)模型或者異象研究而言，可(k♠≠↑ě)解釋性是(shì)它們的(de)靈魂。比如(rú) FF5 是(shì)✔×Ω基于 DDM、q-factor model 是(shì)基于 q-↕÷↓theory。而各種關于異象的(de)論文(wén)中也(yě)會(huì)有 π(yǒu)解釋（risk-based vs mispricing）。$≤而一(yī)旦把研究目标轉移到(dào)←Ω通(tōng)過複雜(zá)模型構造更準确的(de)收益♦π 率預測，給人(rén)的(de)印象就(§♣♥jiù)是(shì)這(zhè)方面的(de)要(yào)求就(jiù)被淡化✔>®δ(huà)了(le)。然而，事(shì)π÷Ω☆實并非如(rú)此。
對(duì)于線性模型而言，例如(rú) Kozak∞"✔, Nagel and Santosh (×±$2018, 2020) 的(de) PCAβ×>，以及 KPS 的(de) IPCA，模型的(de)解釋是€α(shì)非常清晰的(de)。以前者為(≠☆wèi)例，KNS 在對(duì)通(tōng)過 size 和(∞÷hé) value 劃分(fēn)出的(de™♦≥) 25 個(gè)投資組合進行(xíng) ₩↓♥∑PCA 時(shí)發現(xiàn)前兩個≥∞₩(gè) PCs 完美(měi)對(duì)應著(zhe) SMB 和₩&(hé) HML 因子(zǐ)；而對(duì)于後者而言 ≤，IPCA 雖然在數(shù)學上(shàng)☆→看(kàn)似繁瑣，但(dàn)其背後的(de)直覺解≤♠$>釋卻是(shì)一(yī)系列通(tōng)過★∞ cross-section regression 構造的(de) mφ∑αanaged portfolios 的(de)線性≠≠組合（PCs）。因此，對(duì)于線性模"β型而言，其解釋性恰恰植根于我們熟悉的(de) re↕™☆gression 以及 portfolio sort 方法λ₩中。
而對(duì)于非線性模型而言，其可(kλ≥←ě)解釋性雖然不(bù)如(rú)線性模型那(n βαà)麽直觀，但(dàn)學術(shù)研究依然給予了(le)它足夠的(d¥←αe)重視(shì)（見(jiàn) fact 部分(fēn)>✘）。
Fact: 機(jī)器(qì)學習(xí)揭示的(de)最重要(yà"÷o)預測變量和(hé)大(dà)量實證資産定價結果吻合。
Gu, Kelly and Xiu (2020) 使用(yòng) perm←∏utation importance 揭示了(le)哪些(xiē)協變 π♥量對(duì)解釋預期收益率最重要(yào)（下(xià)圖）。從(cóng∑♣✘)中我們可(kě)以看(kàn)出：（1）最重要(yào✔δ®)的(de)協變量和(hé)以往實證結果相₽ (xiàng)吻合，其中最重要(yào)的(de)變量大(dà)緻可(kě→∞ )以分(fēn)為(wèi)四大(dà)類，即動量/反轉，流動性相(™∏xiàng)關，風(fēng)險相(xiàng)關（比如(rú)®™'™ IVOL）以及基本面相(xiàng)關；（2β←≤≠）不(bù)同的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)模型來(♣"♦•lái)說(shuō)，最重要(yào)的(de)協變量也(∞≠φyě)在很(hěn)大(dà)程度上(shàng)是(Ωλshì)相(xiàng)似的(de)。
Chen, Pelger and Zhu (for•××↕thcoming) 通(tōng)過計(jì)算(s$ λ→uàn) SDF 權重對(duì)協變量的(de)偏導數(shù)來(lái)ασ評價模型的(de)可(kě)解釋性。下(xià)圖顯示，在所有(yε↔≠ǒu)協變量中，最重要(yào)的(de)可(kěεε<)以被分(fēn)為(wèi)交易摩擦、價值βλ、無形資産、盈利、投資以及曆史收益率幾大(dà)∏∞♥類。
另一(yī)篇值得(de)一(yī)提的(♣≈de)文(wén)章(zhāng)是(sε₩✘₩hì) Kozak (2019)。它利用(yòng<↕∞←) kernel trick 巧妙地(dε≠→↕ì)在不(bù)增加運算(suàn)量的(de)前提下(xià)将 σ∏協變量映射到(dào)高(gāo)維并對(duì)映射後£β的(de)協變量進行(xíng) PCA，以此來(lái)進行(xí↑γ$ng)資産定價。在使用(yòng)了(le)非線性β≠¶ kernel 後，我們無從(cóng)知(zhī)道(dào)映射後的(䣩de)協變量是(shì)什(shén)麽→€樣子(zǐ)。但(dàn)是(shì)，通(tōng)過将構造的(≈σ₹£de) SDF 映射到(dào)原始協變量的(de) • managed portfolios，依然能(né↑<∑"ng)夠鑒别出最重要(yào)的(de)解釋變量。
最後，也(yě)可(kě)以通(tōng)γ"過觀察選出股票(piào)（多(duō)σ$✘頭或者多(duō)空(kōng)對(duì)沖組合）在不(bù)同協變量∞•♣☆上(shàng)是(shì)否有(yǒu)共性來(lái)判斷哪些 ∑ ₹(xiē)變量更加重要(yào)，例如(×∞™¥rú) Avramov, Cheng and M $±etzker (2023)。
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Fiction: 複雜(zá)模型容易樣本內(nèi)過拟合，導緻樣本外(wàiγ≠¥)預測誤差加劇(jù)。
對(duì)于模型來(lái)說(shuō×÷→)，其樣本外(wài)表現(xiàn)和(héα¥↑σ)模型複雜(zá)度關系密切。當模型複雜(₽επzá)度很(hěn)低(dī)時(shí)，模型的(de)方®∏♥α差很(hěn)小(xiǎo)，但(dàn)是(shì)偏差很←β(hěn)高(gāo)；當模型複雜(zá)度高(gāo)時(sh γí)，模型的(de)方差變大(dà)，但(dàn€←≥♦)是(shì)偏差降低(dī)。二者的(de)共同作(zuò)用(yòng)≠∞♦∑就(jiù)是(shì)人(rén)們熟悉的(de) bi¶>'as-variance trade-off，因此存在某個(gè)最優的( ← de)超參數(shù)，使得(de)樣本外(wài)的(de)總誤差（風(fēα★ng)險）最低(dī)。
我們還(hái)可(kě)以換個(gè)£'角度來(lái)理(lǐ)解 bias-variance✔® trade-off。當模型很(hěn)簡 π∑☆單時(shí)，它能(néng)夠有(yǒu)效規避過拟合，但(♥™dàn)并非是(shì)真實世界的(de)±↕≥≤很(hěn)好(hǎo)近(jìn)似；而當模型複雜(zá)時(™♥β shí)，它更有(yǒu)可(kě)能(néng)逼近(jìn)真實世界，φ☆≈但(dàn)是(shì)也(yě)的(de)确更☆§容易過拟合。因此 bias-variance trad>♠₩e-off 也(yě)可(kě)以理(lǐ)解為(wèi) a↔↕←♠pproximation-overfit tφ ∏rade-off。
然而，上(shàng)述結論有(yǒu)一(yī)個(gè)人(ré±×♣★n)們習(xí)以為(wèi)常的(de)前提：變量個ε←♥↓(gè)數(shù) < 樣本個(gè)數(shù)。如Ω"♦(rú)果模型複雜(zá)到(dào)變量的(de)個(gè)數(₩γ§shù)超過了(le)樣本的(de)個(gè)數(shù)又(yòu)會(h$±£λuì)怎樣呢(ne)？事(shì)實上(shλ→àng)，這(zhè)一(yī)問(wèn)題并非無≈¥≠↕緣無故的(de)憑空(kōng)想象。對(duì)于複雜↓©→(zá)的(de)神經網絡模型來(lái)說(shuō)，模型參數(shù)的< ©(de)個(gè)數(shù)很(hěn)¶ε•容易超過樣本的(de)個(gè)數(sh☆←§ù)。當變量個(gè)數(shù) ≥ 樣本個(gè)數(s←β÷hù)時(shí)（被稱為(wèi) over-parameteriza$↕★tion），模型在樣本內(nèi)能(néng)夠完美(mě$ ✔i)的(de)拟合全部樣本（當變量個(gè)數(shù)和(hé)樣≤☆&本個(gè)數(shù)相(xiàng)等時(sh•αí)，模型能(néng)夠完美(měi)的→φ¶α(de) fit 所以樣本點。這(zhè)個(gè)現(xiàn)象在機(j✔≥★ī)器(qì)學習(xí)術(shù)語₹¶中被稱為(wèi) interpolationβ←）。由于金(jīn)融數(shù)據的(de)信噪比極低(dī☆★)，對(duì)于這(zhè)樣一(yī)個(gè)妥妥"♦←樣本內(nèi)過拟合了(le)噪聲的(de)模型，人(rén)們通(tō£★↓ng)常的(de)認知(zhī)是(shì)，它在樣本外(wài)的≥§(de)預測誤差一(yī)定會(huì)“爆炸”。然而事(shì)實也(yě)'↕ε€許并非如(rú)此。
Fact: 複雜(zá)模型是(shì)真實 DGP 的(de)更∞∑∑✘好(hǎo)近(jìn)似，在正則化(huà÷α♠)使用(yòng)得(de)當的(de)前提下(xià)，複雜(zá✔±)模型帶來(lái)的(de)好(hǎo)處可(k∞↕§γě)能(néng)優于統計(jì)代價。
近(jìn)年(nián)來(lái)，∑→≈機(jī)器(qì)學習(xí)領域一(yī)個(gè)令人(rén)∏'γ興奮的(de)發現(xiàn)就(jiù)是>λ(shì)樣本外(wài)誤差随模型複雜(zá)度變化(h"≠∏uà)的(de) double descent 現(xi®↓₩àn)象。Belkin et al (2019) 指出，當模型複雜(zá)度突破∑≤樣本個(gè)數(shù)這(zhè)個(gè)“禁忌之地(dì)”後，神奇→&♣∏的(de)事(shì)情發生(shēng)了(le)：樣本外(w♣®Ω♥ài)總誤差并沒有(yǒu)“爆炸”，而是(s• hì)随著(zhe)複雜(zá)度的(de)提升單調下 ¥↔¶(xià)降。正因為(wèi)在樣本個(gè)數(shù)兩™♣ 側都(dōu)出現(xiàn)了(le)誤差單調下(xià)降的(de)₽π♣情況，這(zhè)個(gè)現(xiàn)象被λ≤±稱為(wèi) double descent。
這(zhè)背後的(de)直覺解釋是(shì)：當協變量個(gè)數(s¶$£hù)超過樣本個(gè)數(shù)的(de)時(shí)候，樣本內≈♣≠(nèi)的(de)解是(shì)不(bù)唯<★ Ω一(yī)的(de)，而最優的(de)解可(kě)以理(lǐ)解為(w✘èi)讓參數(shù)的(de)方差最小(xiǎo)的(de)那(nà)個(gε₹∞è)解。随著(zhe)變量越來(lái)越多(duōπ∞£↓)，最優解的(de)方差總能(néng)單調下(xià)降。再來(lá☆¥i)看(kàn)偏差，通(tōng)常來(láφ§→i)說(shuō)，偏差确實會(huì)随著(zhe)複雜(zá) £ 度的(de)提升而增加。但(dàn)是(shì)所有(yǒu)模型都>♣ε&(dōu)是(shì)真實 DGP 的(de)某個(₹φgè) mis-specified 版本。當存在模型設定偏★ε"誤的(de)時(shí)候，可(kě)以證明(míng)當變量個(gè)♣∏σ數(shù)超過樣本個(gè)數(shù)時(shí)©∑<，偏差也(yě)會(huì)在一(yī)定範圍內(nèi)"↓ ∞随著(zhe)複雜(zá)度而下(xià)降。¶φ≥因此，二者的(de)綜合結果就(jiù)是(shì)模型在樣本外(wài)ε£¥↑的(de)誤差表現(xiàn)會(huì)随複雜(zá)度的(de)Ωλ上(shàng)升而下(xià)降。對(duì)于 dou©λble descent 現(xiàn)象↑≥Ω背後的(de)理(lǐ)論，感興趣的(de)÷☆$'小(xiǎo)夥伴請(qǐng)參考 Hasti•$e et al. (2022)。
在實證資産定價方面， Kelly, Malamud and Zhou≥♣π• (forthcoming) 将上(shàng)γφ♦述理(lǐ)念應用(yòng)到(dào)了(le)美(měi)股擇♦✔時(shí)之中，并發現(xiàn)了(le)類似的(de) double d•>≥✔escent 現(xiàn)象：當采用(yòng)協φ₩★÷變量個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎ®∞n)超過樣本個(gè)數(shù)的(de)模型時(shí)，樣本外(wσγ§ài)的(de)夏普比率提升了(le)。客觀的(de)說(sh €₽"uō)，關于模型複雜(zá)度和(hé)樣本αδ外(wài)表現(xiàn)的(de)討(tǎo)論，在資産定價領 域尚處于萌芽階段，且正則化(huà)（或者 implied 正則化λ(huà)）在這(zhè)個(gè)過程中 α∞至關重要(yào)，期待未來(lái)在這(zhè)方面有(yǒu)更多(d♠£→uō)精彩的(de)研究成果。
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Fiction: 非線性模型可(kě)以輕松讓夏普比率翻倍。
我們先看(kàn)一(yī)組似乎足以推翻這(zhè)個(gè) f<♣αiction 的(de)實證結果。Baba-•₩™↑Yara, Boyer and Davis (2'φ021) 複現(xiàn)了(le)最近(jìn)幾年(n∞εβián)最重要(yào)的(de)機(jī)器(qìΩ$→)學習(xí)模型，并将它們的(de)結果和(hé)傳統的≈<≤←(de)多(duō)因子(zǐ)模型進行(xíng≠Ω)了(le)比較。我挑選了(le)幾個(gè)有(yǒu)代表性∞↓的(de)彙總于下(xià)表。
上(shàng)述結果清晰的(de)表明(míng∑★↕∑)，相(xiàng)比于傳統多(duō)因子(zǐ)模型，機(jī)器(q¶γ↑ì)學習(xí)模型的(de)夏普比率确實是(shì)♠π∞δ前者的(de)兩倍甚至是(shì)三倍。但(dàn)不(bù)要(↓™yào)忘了(le)，右邊這(zhè)些(xiē)都(dōu)是(→>♣shì)強加了(le)特設稀疏性的(de)♦σ≈簡約模型（隻用(yòng)了(le)太少±>(shǎo)的(de)變量），因此這(zh£→è)樣的(de)比較是(shì)不(bù¶€)公平的(de)。（另外(wài)，在本節 fact 部分(fēn)我們還∞™(hái)會(huì)再次討(tǎo)論上(shàng)述結果，相✔₹(xiàng)信那(nà)時(shí)候你(nǐ)會(h¶∑uì)更加确信。）另一(yī)方面，如(rú)果你(nǐ)仔細觀察就(jiù)不(bù)難發現(γ≈≥xiàn)，在上(shàng)面的(de)結果中，K↑NS 的(de) PCA 以及 KPS 的(de)γ₹> IPCA（這(zhè)兩個(gè)非條件♣¥(jiàn)和(hé)條件(jiàn)線性σ₩♠☆模型）的(de)夏普比率反而要(yào)高(gāo)于另外(wài®∞®)兩個(gè)分(fēn)别利用(yòng)随機(jī)森€≠✔(sēn)林(lín)和(hé)神經網絡的(de)模型。因此↑♦，非線性模型（至少(shǎo)在上(shà♠ng)述實證結果中）并沒有(yǒu)占得(de)>≠¥₩便宜。
Fact: 非線性模型能(néng)捕捉協變量和(hé)預期 "€收益率之間(jiān)的(de)非線性關系，且現(xiàn)階φ₹™段對(duì)表現(xiàn)隻是(shì♦±)提供邊際增量貢獻。
事(shì)到(dào)如(rú)今，我們無需懷疑協變量和(hé)預期收益率¶≤γ€之間(jiān)存在非線性關系。哪怕是(shì)傳統的≠✔(de) double portfolio ♦↓÷εsort，也(yě)是(shì)考察控制(zh© ì)了(le)變量 A 之後，變量 B 和(hé±∞)預期收益率的(de)關系。由 Nagel (2021) 以及大(dà)量最新λ→☆•實證資産定價論文(wén)的(de)結果可(kě)知(zhī)，在非線λπ性關系中，變量的(de)交互作(zuò)用( ✘ yòng)是(shì)最重要(yào)的(de)。對(duì)于傳統線性回£γ• 歸模型來(lái)說(shuō)，一(yī)旦協變量數(shù)目激增，•☆£枚舉考慮兩兩變量的(de)交乘項是(shì)不(bù)切實際的(de)，因此★•☆σ這(zhè)就(jiù)給了(le)善于處理(lǐ)非線性≤λ∞關系的(de)機(jī)器(qì)學習(xí)模型施展的(de)空('kōng)間(jiān)。
話(huà)雖如(rú)此，我們也(yě)應該對(duì)非線性關系對(du∞✔ì)于預測收益率提供的(de)增量貢獻有(yǒu)正确的(de♥ )預期。Chen, Pelger and Zhu (f£ £§orthcoming) 的(de)實證結果顯示，他(tā)們的↕∑(de)生(shēng)成對(duì)抗網絡在構造 SDF 時(shí)←✔能(néng)夠捕捉到(dào)協變量之間(£₽$jiān)的(de)交互作(zuò)用(yò×®ng)，然而另一(yī)方面，他(tā)們也(yě)•↑>λ強調獨立協變量對(duì)于 SDF 的(de)影(yǐng)響↔π幾乎是(shì)線性的(de)。
下(xià)面讓我們回到(dào) fiction 部分 ₹(fēn)提到(dào)的(de) Baba->≥<Yara, Boyer and Davis (2021) $一(yī)文(wén)。上(shàng)面的(de)這(zhè)個(g★∑☆ è)表來(lái)自(zì)該文(wén)的(de)早期版本，§< ₽其 OOS 實證區(qū)間(jiān)是(shì) 1990 到(dào) ε↑π2020。然而，在最新的(de)版本中，其 OOS 實證區(qū)εΩ★€間(jiān)搖身(shēn)一(yī)變縮短(duǎn)為(wèi) 199₹'0 到(dào) 2016。論文(wén)的(de)版本更新了(leφφ→)，而實證區(qū)間(jiān)卻倒退了(le)，實在令人(rén)不(πβbù)解。而更讓人(rén)匪夷所思的(de)是(shì∞≥≤')，作(zuò)者給出的(de)解釋竟然是(shε♣ì)作(zuò)為(wèi)比較的(de) ad-hoc₩÷π≈ 模型 Stambaugh-Yuan 的(de)數(shù)Ω↓☆據隻到(dào) 2016 年(nián)（你(nǐ•σ≤)們在複現(xiàn)機(jī)器(qì)學習(xí←∑)模型！拜托！）。既然早期工(gōng)作(zuò)版本中能(n♥★₹éng)複現(xiàn)到(dào) 2020 年(nián)，為(wèi) €什(shén)麽在新的(de)版本中卻又(yòu)以此為(wèi)借口放σ÷(fàng)棄了(le)？真正的(de)動機(jī)恐怕♦&£>隻有(yǒu)作(zuò)者自(zì)己清楚♥×。
在這(zhè)個(gè)短(duǎn)一(yī)些(xiē)的(de)實 ₹證區(qū)間(jiān)內(nèi)，實證結果如(rú)下(xiàε<)（下(xià)表中括号內(nèi)數(shù)據是(shì)¥"截至到(dào) 2020 年(nián)的(de)結果，放(fàng©Ω)在這(zhè)裡(lǐ)方便比較）。有(yǒu)>≥意思的(de)是(shì)，當實證區(qū®≈φ≈)間(jiān)的(de)終點選為(wèi) 2016 之後，四個(gè)機≈ (jī)器(qì)學習(xí)模型都(dōu)不(bù)同程度的φ©β(de)變差了(le)（BPZ 有(yǒu)些(xiē)讓人(rén)意外$>©(wài)），而四個(gè) ad-hoc 模型卻'↑都(dōu)提升了(le)（SY 發表在 201•φ7，FF6 = FF5 + Carhar₽←α t Mom 而 FF5 以及 HXZ 都(dΩ≈σ✔ōu)發表在 2015，玄妙吧(ba)）。β§♠₩
Anyway，讓我們聚焦于機(jī)器(qì)學習(xí)模型。上(s₩δhàng)述對(duì)比說(shuō)明(míng)，随著(zhe)×σ→>實證區(qū)間(jiān)的(de)不(bù)同，模型的(de)結果也(♦↔♦yě)會(huì)有(yǒu)較大(dà)的(de)波動。而另一(δ≈yī)方面，所有(yǒu)這(zhè)些(xiē©→♥)發表在頂刊上(shàng)的(de)論文(wén)，雖然它們都( $dōu)是(shì)使用(yòng) rolling ®≠或者 expanding 窗(chuān™₽g)口進行(xíng)訓練和(hé)驗證，然後∏"< 再預測樣本外(wài)的(de) next month、如(✔₩rú)此往複，但(dàn)是(shì)這(zhè)些(xiē)文(w↓↕&αén)章(zhāng)并沒有(yǒu)對(duì)調參的(d"♣εe)過程以及不(bù)同參數(shù)下(xià↕₹)模型的(de)穩健性進行(xíng)多(duō)少•♠ ♣(shǎo)（if any!）的(de)描述。從(cóng)這(©≈zhè)個(gè)意義上(shàng)說(shuō)，機(j♠×ī)器(qì)學習(xí)應用(yòng)σ→₹于資産定價的(de)研究生(shēng)态還(hái)遠(yuǎn)談不®λ≤(bù)上(shàng)完善（呼籲有(y•↓ǒu)大(dà)佬能(néng)站(zhàn)出來(lái)，提出學界認可(£kě)的(de)研究生(shēng)态）。
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Fiction: 機(jī)器(qì)學習(xí)模型可(kě)以很(hěn)容易地(dì)被應 γ¥∏用(yòng)于實踐。
雖然機(jī)器(qì)學習(xí)模型在實證資産定價的(♣≠de)學術(shù)研究中取得(de)了(le)令人(rén)欣β✔λ慰的(de)結果，但(dàn)并不(bù)意味著(zhe)它們能(∞δnéng)夠被輕易的(de)用(yòng)于實踐，并獲得(de)可(k± δě)觀的(de)費(fèi)後超額收益。這(zhè)方面一¶ (yī)個(gè)最重要(yào)的(de)經∞↑驗事(shì)實是(shì)，機(jī)器→✔>(qì)學習(xí)模型構造的(de)投資組合都(→←∑≥dōu)有(yǒu)很(hěn)高(gāo)的(de)換手率。☆"≠
在這(zhè)方面，Avramov, Cheng and Met'§zker (2023) 複現(xiàn)了(le) Gu, Kelly a≈&♦nd Xiu (2020) 中的(de)神經網絡模型、CPZ 的(de) ×GAN、KPS 的(de) IPCA 以及 Gu, Kelly and Xiu '<↑ (2021) 的(de)（Conditional）Autπoencoder (CA)。這(zhè)些(xiē)§λΩ↓模型的(de)月(yuè)均換手率如(rú)下≈©γ←(xià)。作(zuò)為(wèi)對(du₩γì)比，像 size 和(hé) value 這(zhè)←✔¶®種傳統低(dī)頻(pín)風(fēng)格因子(zǐ)的(→π¥de)月(yuè)均換手率通(tōng)常低(dī)于 10∏$%（即 0.1）。通(tōng)過對(duì)交易成本的(de)估計(ε₹ελjì)，Avramov, Cheng and Metzker (σ♠↓2023) 指出，在如(rú)此高(gāo)的(de)£↑♥換手率下(xià)，對(duì)于一(yī)般投資者（averag¶∞e investors）來(lái)說(shuō)，很(hěn© λ)難通(tōng)過機(jī)器(qì)學習($↓xí)模型賺取額外(wài)的(de)超額收益（當然不(b≈±ù)排除有(yǒu)些(xiē)投資者能(néng)夠很(hěn)好(h±<ǎo)的(de)将這(zhè)些(xiē)模型工(gōng)程化(huà)，并" 在高(gāo)換手率的(de)前提下(xià)依然獲得(σ de)超額收益）。
為(wèi)了(le)應對(duì)交易成本帶來(lá ™<γi)的(de)挑戰，Jensen et al. (2022) 提出了(le∑™♥→) implementable efficient front•≠ier 的(de)概念，即在構造策略的(de)時(shí©∑$≥)候直接通(tōng)過費(fèi)後收益率進行(xíng)評估，÷從(cóng)而将帶有(yǒu)交易成本的(de)投✔δ'♣資組合優化(huà)問(wèn)題融入到(dào)機(jī)器(qì)學習(♠σ'xí)的(de)框架之中，并取得(de)了(le)不(bù♠←✔✘)錯(cuò)的(de)結果。
Fact: 機(jī)器(qì)學習(xí)發現(xiàn)的(de)可(kě✘δ)預測性部分(fēn)集中于套利成本和(γ↕hé)交易成本高(gāo)的(de)股票(piào)，對(duì)一(yī•✔↔γ)些(xiē)機(jī)構投資者價值有(yǒu)限。
實證結果表明(míng)，諸多(duō)異象的(de)超額收益主要(yào)來σ>&α(lái)自(zì)空(kōng)頭（Avramov et al. ¥ 2013）或者微(wēi)小(xiǎo)市(shì)值₩→α股票(piào)（Novy-Marx and Velikov 20€₩→©16）。而對(duì)于機(jī)器(qì)學習(xí)模型來(lái)說(sδεhuō)，它們也(yě)善于從(cóng)套利和&©(hé)交易成本更高(gāo)的(de)股票(piào)中挖掘可₩γ(kě)預測性，因而削弱了(le)它們的(de)實踐價值。仍以 Avramov, Cheng and Metzker (2023Ω♥) 的(de)實證結果為(wèi)例。除 full s™≥≥→ample 外(wài)，該文(wén)還(hái)分(fēn)别考察了(l"¶e)剔除微(wēi)小(xiǎo)市(shì)∞®值、剔除無 credit rating 公司以及剔除β" financially distressed 公÷α♦α司的(de)三個(gè)子(zǐ)樣本。結果（下(xià)表，表中括号內↓§↔♣(nèi)為(wèi) t-statistics）顯示，和(hé) full ↔♣sample 相(xiàng)比，主流機(jī)器(qì™φ✘)學習(xí)模型（IPCA 除外(wài)）☆ φ™在這(zhè)三個(gè)子(zǐ)樣本中的(de)表現(xià♠<♦∑n)均有(yǒu)明(míng)顯的(de)下 ™φβ(xià)降，且一(yī)些(xiē)模型較傳統 ad-hoc 多 ₩(duō)因子(zǐ)模型（例如(rú) FF6≠ ）的(de)
以 GAN 為(wèi)例，其在剔除微(wēi)小('×♥φxiǎo)市(shì)值子(zǐ)樣本中γ☆的(de)月(yuè)均收益率和(hé) full sample¶®₽ 相(xiàng)比，降低(dī)了(le)超過 50%。在上(shàn✔÷∞g)述四個(gè)模型中，除 IPCA 之外(wài)都(dōu)是↑¥ε↑(shì)非線性模型，而唯有(yǒu) IPCA 的(de)結果比較穩健（∞₹在 full 和(hé)幾個(gè)子(zǐ)樣本中的(de)結果較為(w§èi)一(yī)緻）。需要(yào)說(shuō)明(míng)的(de)是₹γ(shì)，上(shàng)述針對(duì)三個(gè)子(zǐ)樣本的♥↔(de)結果仍然是(shì)使用(yòng)基于 ™"§<full sample 訓練出的(de)模型得(de)到(d×✔•ào)的(de)。這(zhè)也(yě)許會(huì)讓一(γ↕yī)些(xiē)讀(dú)者頗有(yǒu)微(wēφ↔¥>i)詞。對(duì)于此，Avramov, Cheng anΩ≈d Metzker (2023) 進一( ™↓yī)步使用(yòng)子(zǐ)樣本進行(xíng)訓練和(hé)£₹樣本外(wài)預測，但(dàn)發現(xiàn)結果并沒有(yβ¶♦ǒu)實質的(de)改變，而且在一(yī)些(xiē)子→®(zǐ)樣本中 OOS 的(de)表現(x$αiàn)還(hái)下(xià)降了(le)。換句話(±$ huà)說(shuō)，原本打算(suàn)通(tōng ↓♦ε)過約束讓模型學習(xí)目标樣本，然而結果卻是(shì)更少(shλ∏ǎo)的(de)樣本量（子(zǐ)樣本 vs full）卻Ω¥>導緻了(le)更差的(de) OOS 表現(xiàn)。成功 twea↕↕k 非線性模型使其聚焦于套利和(hé)交易成本低(dī)的(de)股票(pi☆♠δào)，将會(huì)是(shì)機(jī)器(qì)學×≤βπ習(xí)模型落地(dì)的(de)重要(yào)前提。
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以上(shàng)從(cóng)五方面的(de) facts and f♣αictions 梳理(lǐ)了(le)近(jìn)幾年¶ (nián)最重要(yào)的(de)機(jī)器(qì)學習(xσ↕↓í)資産定價實證發現(xiàn)。
作(zuò)為(wèi)本文(wén)的(de)結尾↔↑←γ，我想最後強調的(de)是(shì)，雖然這(zhè)些(xiēπ≠♦)論文(wén)的(de)實證結果都(dōu)是(shì™$) OOS（即用(yòng)曆史數(shù)據建♦β&模和(hé)調參，然後預測下(xià)一(yī)個(gè) pe₩€₹¶riod），然而它們使用(yòng)的(de)協變量幾乎都( ♥®dōu)是(shì)來(lái)自(zì)以往實證δ∞資産定價研究所挖出來(lái)的(de) anomaly。© ™σ從(cóng)這(zhè)個(gè)意義上(shàng)÷α說(shuō)，我不(bù)得(de)不(bù)再抛出一(yī)直以來(lá>★≠>i)的(de)觀點“所有(yǒu)曆史數(shù)據都(dōu)是(shì)樣本內(nèi)”。
在協變量和(hé)收益率存在非線性關系，∑€以及協變量都(dōu)是(shì)在曆史上(shàng)¶§顯著的(de)前提下(xià)，我們似乎不(bù)用(yòng)對(duγ£÷ì)這(zhè)些(xiē)模型在 OOS 的(de)優越表現₹€ε←(xiàn)感到(dào)特别的(de)意外(₽☆wài)。然而，另一(yī)個(gè)值得(de)思考的(de)$≠∞問(wèn)題是(shì)，如(rú)果以 agnostic 視(sh×βì)角出發，将機(jī)器(qì)學習(xí)模型應用(yòng)實證資産定價≤φε✘之中，又(yòu)會(huì)有(yǒu)怎樣的(de)結果？在這≈©(zhè)方面，Nagel (2021) 有(yǒu)過初步的(de)嘗試，發₹×'現(xiàn)機(jī)器(qì)學習(xí"¥×φ)能(néng)夠從(cóng)諸多(duō)ασ™變量中識别出和(hé)預期收益率相(xiàng)關的(de)那(nà)₹★©些(xiē)。
希望本文(wén)的(de)梳理(lǐ)能(néng)幫助你(nǐ)對(du→★Ω≠ì)基于機(jī)器(qì)學習(xí)≥☆★σ模型的(de)實證資産定價研究形成正确的(de)預期，在抱有(yǒ☆<≠↓u)期待的(de)同時(shí)也(yě)客觀認♠♦識到(dào)研究的(de)現(xiàn)狀和(hé)面臨的(de)挑戰。π<↑最後，我想引用(yòng) Bryan Ke✘∏lly 在某 Q&A 環節就(jiù)機↓↓φ(jī)器(qì)學習(xí)正确預期的(de >)回答(dá)總結本文(wén)。作(zuò)為(wèi)學界新☆φ>生(shēng)代當仁不(bù)讓的(de)扛把子(zǐ)之一(yī)以及 γ™AQR 的(de) Head of Machine Learning✔≈☆Ω，Kelly 的(de)觀點值得(de)認真體(tǐ)會(huì)。
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