出色不(bù)如(rú)走運 (III)？

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：本文(wén)使用(yòng)随機(jī)因子(≈¥zǐ)的(de)實證結果定量說(shuō)明(míng)了(le)僅靠運氣§≤φ就(jiù)能(néng)夠達到(dào)的(de)選股效果，幫助判斷選股因子<σ(zǐ)是(shì)否真正有(yǒu)效。

1 引言

使用(yòng)因子(zǐ)選股的(de)邏輯是(shì)因子(zǐ‍​) —— 無論是(shì)來(lái)自(zì)基本面、量價還(hái)是‍π€(shì)宏觀經濟等 —— 都(dōu)對(duì)股‍ £票(piào)未來(lái)的(de)收益率有(yǒu)預測性←₽♠。在定量評價一(yī)個(gè)因子(zǐ)是(↑→®®shì)否有(yǒu)效時(shí)，主要(←¥yào)的(de)考察方式之一(yī)是(shì)計(​ε₽jì)算(suàn)該因子(zǐ)的(de)收益率是(shì)否顯著不(bù)$>λ♥為(wèi)零（原假設）。假設因子(zǐ)的(de)預期收益率和(hé)該♥ 預期收益率的(de) standard error¶‍≈÷ 分(fēn)别為(wèi) E[f] 和(hé) s.e.(E♣™®∏[f])，則假設檢驗的(de) t-statiγ∞stic 為(wèi)：

在進行(xíng)單因子(zǐ)檢驗時(shí)，一(yī♦€≤σ)般要(yào)求該因子(zǐ)的(de) t-stat¶∑↑♥istic 大(dà)于 2，從(cóng)而以 5% 的(de)顯著性水÷↓✔(shuǐ)平拒絕原假設，并認為(wèi)該因子(zǐ)确實有(yǒu)★€預測股票(piào)收益率的(de)能(néng)力。然而，如(rú)果同時(shí)考慮衆多(duō)因子(zǐ)（多(duō₹σ‍Ω)重假設檢驗，multiple hypoth✘>esis testing）并從(cóng)裡(lǐ)面挑ε•♦★出來(lái)最好(hǎo)的(de)，由于 data mining γ×的(de)問(wèn)題（即運氣），即便最好(hǎo♦★'≥)因子(zǐ)的(de) t-statistic 大(dà)于 ‌¥∞↓2，也(yě)不(bù)能(néng)認為(wèi)© ♣它是(shì)有(yǒu)效的(de)。之前的(de)兩篇文(wén)章(zhāng)《出色不(bù)如(rú)走運?》以及《出色不(bù)如(rú)走運(II)?←∞¶σ》對(duì)這(zhè)個(gè)問(wèn)題進行(xíng)了>®•✘(le)探討(tǎo)。今天這(zhè)篇是(shì)《出色不(bù)如(rú)走運(III)?》。

假設同時(shí)考察 n 個(gè)因子(zǐ)、這(zhè)些(xγγ iē)因子(zǐ)對(duì)于股票(piào)∞≠ε₹收益率的(de)預測能(néng)力滿足 Unε♣iform distribution。如(•ε$rú)果從(cóng)這(zhè) n 個(gè¥☆β)因子(zǐ)中挑出效果最好(hǎo)的(de)，這¥$(zhè)個(gè)“最好(hǎo)的(de)”因子(zש™ǐ)的(de) t-statistic 和(hé) p-♠λ¥value 有(yǒu)哪些(xiē)性質呢(ne)？我們™®想要(yào)回答(dá)的(de)問(wèn)題是(shì)：在多(duō)重檢驗的(de) n 選 1 問(wèn)題中，對(du ✘&ì)于給定的(de)顯著性水(shuǐ)平 p（比如(rú) 5%），單一(♦™ yī)因子(zǐ)的(de) p-value 或 t-statist™σ<ic 應滿足什(shén)麽條件(jiàn)才能(néng)拒絕原假設。根據 order statistic 的(de)概率知(zhī)識可(kě) "‌知(zhī)，這(zhè) n 個(gè)因子(zǐ)中第 i 好(hǎo)♣€的(de)滿足 Beta distribution：

從(cóng) n 個(gè)裡(lǐ)面挑φ‌™®出最好(hǎo)的(de)相(xiàng)當于令 §"™i = n。根據 Beta distribution £✘≠的(de)定義和(hé)簡單計(jì)算(suàn)₹>¥™有(yǒu)：

令 x = (1 – p)^{1/n} 并利用(yòng)↕✔" prob(U < x) = 1 – prob(U ≥ x←​∞≥) 可(kě)知(zhī)：

在因子(zǐ)分(fēn)析中，通(tōng)常關注的(de)是(shσ"ì)因子(zǐ)收益率是(shì)否顯著不(bù)為(wèi)零∑↕ —— 可(kě)正可(kě)負 —— 因此一(yī)般使用(yòng)雙邊檢≥¶✘¶驗。對(duì)于給定的(de) p-value（單邊 p/2），由上(¶∑‌shàng)式可(kě)知(zhī)（将 p♦£ 換成 p/2），這(zhè) n 個(gè)因子(zǐ)中最好(hǎ  "o)的(de)那(nà)個(gè)的(de) t-Ωφπstatistic 的(de)絕對(duì)值需不(bù)小$≠(xiǎo)于以下(xià)阈值才能(néng)拒絕原假設：

當 n 很(hěn)大(dà)時(shí)，從(cóng)上(shànλ±σαg)式可(kě)進一(yī)步推導出單一♦✘↕(yī)因子(zǐ)的(de) p-value ↕​₩需要(yào)小(xiǎo)于 p/n 才能(néng)在 n 選 1λ'→₹ 的(de) multiple hypothesis testing 下(₩≈★xià)拒絕原假設。舉例來(lái)說(shuō)，我們考察 10 €"≈個(gè)因子(zǐ)并希望以 5% 的(dπ£e)顯著性水(shuǐ)平找到(dào)真正有(yǒ•↔δu)效的(de)因子(zǐ)，則這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)各自(z€₹ì)的(de) p-value 隻有(yǒ•∑₽δu)小(xiǎo)于 5%/10 = 0.5% 才能₽ ₹(néng)拒絕原假設。這(zhè)正是>$(shì)大(dà)名鼎鼎的(de) Bonferroni correction（邦費(f↓φèi)羅尼校(xiào)正）。實際因子(zǐ)選股面臨更複雜(zá)的(d★" ←e)問(wèn)題：如(rú)何從(cóngβ§) n 個(gè)因子(zǐ)中選出最好(hǎo)的(de) €≈k 個(gè)，而非 1 個(gè)；如(rú)何配置選出來(lái♠∏)的(de)這(zhè) k 個(gè)因子(zǐ) —— 等權配置β®₽$還(hái)是(shì)按照(zhào)它✔✔×們樣本內(nèi)的(de)表現(xiàn)好(hǎo)壞配置。如(rú)果♥✔不(bù)妥善解決 multiple hypothesis testing 的(de)問(wèn)題，上(shàβ₽'ng)述這(zhè)些(xiē)做(zuò)法會(huì)≠¶導緻選擇偏差（selection bias）以及過拟合偏差（overfitting bias）'®。

2 選擇偏差和(hé)過拟合偏差

在選擇因子(zǐ)時(shí)，通(tō∏&↔ng)常的(de)做(zuò)法是(shì)在回測中使用(yòng)✘♦因子(zǐ)定期構建投資組合，然後分(fēn)析因子(zǐ)預☆¥期收益率的(de) t-statistic。如(rú)果該 t ×←>值小(xiǎo)于零（且顯著為(wèi)↓→¶負）則把該因子(zǐ)反過來(lái)使用(yòng)。假設同時(shíφ"λ​)考察 n 個(gè)因子(zǐ)，并根據因子(zǐ) t₩♥→-statistic 絕對(duì)值的(de)大(dà)小(xiǎo)©¥✔♥采用(yòng)下(xià)列做(zuò)法之≈α一(yī)：

Novy-Marx (2015) 研究了(l↓₩✔∞e)多(duō)因子(zǐ)選股回測中的(d±∏e) selection bias 和(hé) o↑¶↔&verfitting bias 問(wèn)題。本文(wén)第一(yī≥₽≤€)節中的(de)數(shù)學推導正是(s←ε&hì)來(lái)自(zì) Novy-Marx (2015)，而它僅僅是(₹δ‌shì) n 選 1 的(de)一(yī)種簡化(huà)情況。在¶<↕投資實務中，更常見(jiàn)的(de) •✘是(shì)上(shàng)述第二種 n 選 k'α • 的(de)問(wèn)題，它面臨“因子(zǐ)怎麽選”和(hé)“因子(zǐ)如(rú)何配”這(zhè)兩個(gè)嚴峻的(de)問(wèn£λ)題，一(yī)不(bù)小(xiǎo)心就(jiù)會(huì)引π©入大(dà)量的(de)噪聲。

毫無疑問(wèn)，multiple hypot"σ♦$hesis testing 下(xià)的(de)↑$數(shù)據挖掘是(shì)因子(zǐ)選股的(de)大(dà)敵。$ 通(tōng)過 data mining，僅僅依靠運氣，挑出來('$lái)的(de)因子(zǐ) —— 哪怕再沒有(yǒu)業(yè)務含義 σ÷₹—— 也(yě)會(huì)在樣本內(nèi)©±獲得(de)顯著不(bù)為(wèi)零‍× 的(de)選股收益率，但(dàn)它隻是(shì)過拟♥' ¶合而已。針對(duì) multiple hypothesis•π↔× testing 中的(de) data mini♦δβ↔ng，Novy-Marx (2015) 從(cóng)理(lǐ)論和(hé)≥αγ±實證經驗兩個(gè)角度分(fēn)析了(le)上(shàng)述 n 選★✔​ n、n 選 1、n 選 k 三個(gè)問(wèn)題中，多(✔≥λduō)因子(zǐ)策略的(de) t-statistic 的(∞✘de)分(fēn)布問(wèn)題。該文(wén)使用(yòng)純随機(j≤→ī)産生(shēng)的(de)因子(zǐ) —— 理(lǐ)論αβ>上(shàng)沒有(yǒu)任何預測性 —— ​↓→在美(měi)股上(shàng)選股、以美(měi)股的(dΩ♦ e)真實收益率計(jì)算(suàn)這(zhè)些(xiē)随↑ 機(jī)因子(zǐ)的(de)因子(zǐ)收益率，從(có∞÷π☆ng)而定量分(fēn)析上(shàng)述三個(gè)問γ (wèn)題中多(duō)因子(zǐ)選股策略的(de) t-statiβ₹☆"stic 的(de)阈值。這(zhè)些(xiē) t-statistic 的(de)阈值遠(≠αyuǎn)超單因子(zǐ)檢驗中的(de) 2.0，而如♥β(rú)此之高(gāo)的(de)阈值更是(shì)僅♠↑僅來(lái)自(zì)于運氣和(hé)∏‍<& data mining。在實際選股中，使用(yòng)多(duō)因子(z ✘ǐ)構建的(de)策略的(de) t-statistic 唯有(yǒu♠α>)超過這(zhè)些(xiē)阈值才意味著(zhe)它們真的(de)對(λ♥♠☆duì)收益率有(yǒu)統計(jì)上(sh§¶≈'àng)非顯著為(wèi)零的(de)預測性。

本文(wén)下(xià)一(yī)節借鑒 Novy-Marx±γ≥→ (2015) 的(de)思路(lù)産生(shēng)随機(jī) ÷因子(zǐ)，使用(yòng)中證 500 指數(shù)的(de♥♥✔)成分(fēn)股進行(xíng)實證分(fēn)析。

3 實證研究

本節針對(duì)中證 500 進行(xíng)實證。實證中的(de)回測期γ♣§φ從(cóng) 2010 年(nián) 1 月(yuè)到(&αdào) 2019 年(nián) 1 月(yuè)，考察 n 個(gè×®)随機(jī)因子(zǐ)的(de)選股能(néng)力。具​≤×÷體(tǐ)的(de)：

舉個(gè)例子(zǐ)。下(xià)圖是(‌♥shì)當 n = 20，k = 3（即從(∞→$☆cóng) 20 個(gè)随機(jī)因子(zǐ)中選出樣本內(nèi) ¥≠t-statistic 絕對(duì)值最大(dà)的(de) ★  3 個(gè)，并按 t-statistic 絕對( &σ©duì)值大(dà)小(xiǎo)配置）時(shí)，5000 ≥α次仿真得(de)到(dào)的(de)該策略的(de) t-statist λ®>ic 的(de)經驗分(fēn)布，其均值<ש為(wèi) 3.2，其 5% 顯著性水(shu★λ•ǐ)平下(xià)對(duì)應的(de) t-sta'Ωtistic（即該分(fēn)布中 95% 分(fēn)位數(shù&ε)）高(gāo)達 4.16。

該結果表明(míng)，如(rú)果我們從(cóng) 20 個(‍≠✔≥gè)源于業(yè)務邏輯（或者很(hěn)多(duō)人(r☆×én)樂(yuè)此不(bù)疲的(de) data mining）的(de)÷ ×≥因子(zǐ)中選擇 3 個(gè)最好(ε™'¥hǎo)的(de)來(lái)選股時(shí)，該策↑β略的(de) t-statistic 要(yào)超過 4.1↔♦6 才能(néng)認為(wèi)這(zhè) 3 個(gè)因子(±®±®zǐ)的(de)選股效果不(bù)僅僅是(shì)運氣。接下(xià)來(lái)看(kàn)看★≤(kàn)不(bù)同 n 和(hé) k 的(÷π÷de)取值下(xià)，5% 顯著性水(shuǐ)平對(duì)應的(de)→€α‍ t-statistic 的(de)阈值的(de←€←)情況。下(xià)圖比較了(le)不(b§♥€¥ù)同 n 取值下(xià)，n 選 1 和(hé) n 選 n 兩種極端情"‍£σ況 —— n 選 1 代表僅有(yǒu) selec&βΩ←tion bias；n 選 n 代表僅有(yǒu) overfittingφ₽¶σ bias。下(xià)圖傳遞出以下(xià)信息：

再來(lái)看(kàn)看(kàn)更一(yī)般的(dβσ&Ωe) n 選 k 的(de)情況。下(xià)圖顯示了(le) n ₽♦‌®= 10、20、40 和(hé) 100 時(shí)，不(bù)‍ε€δ同 k 取值下(xià)的(de)選股策略的(de) t-sta‌βδ↓tistic 阈值。在一(yī)般的(de)投資實務中，嘗試 100÷↕ 甚至幾百個(gè)因子(zǐ)并選擇其中某些(xiē)好(hǎo)Ω♠×的(de)是(shì)十分(fēn)常見(jiàn)的↕​×∏(de)。從(cóng)該實證結果中可(kě)以觀察到(dào)：

上(shàng)述實證結果中，最有(yǒu)意思的(de)大(dà)概是α←(shì)第三條。對(duì)于等權配置的(de)情況，在₽÷♣≈一(yī)開(kāi)始，使用(yòng)更₹ 多(duō)的(de)因子(zǐ)可(kě)以降低(dī)策略的(∏♦de)波動率，從(cóng)而提升 t-statistic 的(de)阈值₹♥Ω；而一(yī)旦因子(zǐ)個(gè)數(shù)超過最優值，←♦₹越來(lái)越多(duō)排名靠後的(de)因子(zǐ)被選入，它們會(hu≤≈ì)降低(dī)策略的(de)收益率，從(cóng)∏₹而降低(dī) t-statistic 的(de)阈值。©€£¶這(zhè)是(shì)在因子(zǐ)投資實務中需≠α↔要(yào)考慮的(de)問(wèn)題≤←。從(cóng)圖中可(kě)以看(kàn)到(dào)，對(duì)于×​Ω>實證中考察的(de)最極端情況，即“從(cóng) 1γ>≠00 個(gè)因子(zǐ)選 10 個(gè)最好(hǎo)的←★ ↔(de)”，僅僅靠運氣，以随機(jī)因子(zǐ)構★★∞​建的(de)策略在中證 500 成分(fēn)股‍©β♠的(de)樣本內(nèi)回測中就(jiù)能(néng)取得(de)高(gā÷αo)達 7 以上(shàng)的(de) t≠γ$≥-statistic 阈值。Data mining 造↕←成的(de) selection bias 和(hé↑∏✔λ) overfitting bias 不(bù)容小(xi★φ↕ǎo)視(shì)。

4 結語

近(jìn)年(nián)來(lái)，海(hǎi)外(wài∏∑)學術(shù)界越來(lái)越意識到(dào) multiple hypo×ε✘thesis testing 造成的(dΩ✘₽×e)因子(zǐ)分(fēn)析中 data minin$→ ♠g 的(de)問(wèn)題。一(yī)些(xiē)先進的(de)統計(jì>↕ )手段被提出以幫助鑒别哪些(xiē)是(shì)真正有(yǒu)效的(de)∏ ↑因子(zǐ)，哪些(xiē)僅僅是(sh≠★≤ì)運氣。這(zhè)些(xiē)文(wén)獻包括《出色不(bù)如(rú)走運(II)?》中介紹的(de)那(nà)些(xiē)，以及本文(wén φ±)提及的(de) Novy-Marx (2015)。

在 empirical asset pricing 和(hé) fa♦£<<ctor investing 方面，我們都('‍‌dōu)是(shì) data mining 的(de)好(hǎ≥✘γγo)手。拿(ná)來(lái)一(yī)個(gè)因子(zǐ)，如(rú)果不↓₹(bù)好(hǎo)使，可(kě)以對(duì)它進行(xíng)差分(fē₩≤n) —— 美(měi)其名曰增長(cháng)率；再不(bù)好(hǎo)φ✘♦使，二階差分(fēn) —— 美(měi)其名曰加速度；還(hái)不(bù)≈★好(hǎo)使，行(xíng)業(yè)中性、市(s ∞×∑hì)值中性試一(yī)下(xià)、用(y♠₹òng)各種其他(tā)因子(zǐ)回歸得(dΩ e)到(dào)殘差再試一(yī)下(xi✘​↓λà)；對(duì)于選出的(de)因子(zǐ)，等≈←Ω®權配如(rú)果效果不(bù)理(lǐ)想，可(kě)↑'以按照(zhào)事(shì)後夏普率配一(yī)下§ε(xià)；還(hái)不(bù)理(lǐ)想≤•≥→？使用(yòng)滾動窗(chuāng)口進行(xíng)動♥φ态因子(zǐ)擇時(shí)……

誠然，對(duì)于有(yǒu)嚴謹金(jīn)融±λ邏輯的(de)因子(zǐ) —— 比如(rú) α×ROE —— 我們沒有(yǒu)必要(yào)把它和(hé)一(yī∑×↑)幫其他(tā)“邪門(mén)”因子(zǐ)一(yī)起比較，然後•φ要(yào)求 ROE 也(yě)有(yǒu)非常高(gā'&™©o)的(de) t-statistic，這(zhè)是(shì)對(duì)統¶β計(jì)手段的(de)走火(huǒ)入魔。但(dàn)是(shì)​&，對(duì)于很(hěn)多(duō)純粹靠 data minin∏>♥g 加工(gōng)出來(lái)的(de)因子(zǐ)，♥←γ本文(wén)使用(yòng)随機(jī)因子(zǐ)的→≠(de)實證結果定量說(shuō)明(míng)了(le)僅靠運氣就(ji ±↔ù)能(néng)夠達到(dào)的(de)效果，從(cóng)而幫助ε 判斷選股因子(zǐ)是(shì)否真正有(y±↔>₹ǒu)效。

While one should combine mul↑ελtiple signals they belie‌ ve in, one should not belie✘÷ve in a combination of si♣₹↑‌gnals simply because they←∏  backtest well together.

參考文(wén)獻 

Novy-Marx, R. (2015). Backtesting strategies based≥σ on multiple signals. NBER Working Paper, No. 21329.$♠≈

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下¥★ (xià)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、 $☆±信息及數(shù)據或所表述的(de)意>δ見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)任σ✔₽何人(rén)的(de)投資建議(yì)。>↔ ↔在任何情況下(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機‌π♣δ(jī)構不(bù)對(duì)任何人(rén)因使用(y☆↓★òng)本文(wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de​≈≈)任何損失負任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外(w&>ài)，文(wén)中圖表均直接或間(jiān)接來(lá→≠ ≈i)自(zì)于相(xiàng)應論文(wλπén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò↔∑π<)者和(hé)期刊所有(yǒu)。